Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 23
48 câu hỏi
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Tồn tại hai mặt phẳng cắt nhau và lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau.
Một đường thẳng và một mặt phẳng không có điểm nào chung thì song song với nhau
Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
Thống kê thời gian dùng điện thoại thông minh của 40 học sinh lớp 10B trong 1 ngày được cho trong bảng sau:
Thời gian(giờ) | \(\left[ {0;1} \right)\) | \(\left[ {1;2} \right)\) | \(\left[ {2;3} \right)\) | \(\left[ {3;4} \right)\) | \(\left[ {4;5} \right)\) |
Số học sinh | 5 | 18 | 10 | 5 | 2 |
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là
\([5;18)\).
\(\left[ {2;3} \right)\).
\(\left[ {0;1} \right)\).
\(\left[ {1;2} \right)\).
Một hộp chứa 4 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi từ hộp. Xác suất để cả ba viên bi lấy ra cùng màu là:
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{{34}}{{455}}\).
\(\frac{2}{{65}}\).
\(\frac{6}{{91}}\).
Biết \({2^x} + \frac{1}{{{2^x}}} = 3\), tính giá trị của biểu thức \(T = {8^x} + \frac{1}{{{8^x}}}\) (nhập đáp án vào ô trống).
___
18
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Khoảng cách từ \(D\) đến đường thẳng \(SB\)bằng.
a.
\(\frac{a}{2}\).
\(\frac{a}{3}\).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Một công ty tăng lương cho nhân viên hàng năm bằng cách thêm 1 số tiền cố định vào lương của họ. Ví dụ: Nếu lương ban đầu của một nhân viên là 10 triệu đồng và công ty tăng lương 2 triệu đồng mỗi năm thì lương của nhân viên sẽ là bao nhiêu triệu đồng nếu làm cho công ty 19 năm (nhập đáp án vào ô trống)?
___
46
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x + 1}} > 1\) là
\(\left( { - \infty ;0} \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\).
\(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\).
Một cái hồ có dung tích rất lớn đang chứa \(10{m^3}\) nước ngọt. Người ta tiến hành bơm nước biển có nồng độ muối là 25 gam/lít vào hồ với tốc độ không đổi. Khi thời gian đủ dài, nồng độ muối trong hồ đạt trạng thái bão hòa. Tính nồng độ bão hòa của muối trong hồ.
\(20\)gam/lít.
\(25\) gam/lít.
\(30\)gam/lít.
\(35\) gam/lít.
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(AA' = a\). Các mặt bên \(\left( {A'AB} \right)\) và \(\left( {A'AC} \right)\) cùng hợp với đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc \(60^\circ \). Thể tích khối chóp \(A'.ABC\) là:
\(\frac{{3\sqrt 7 }}{{28}}{a^3}\).
\(\frac{{3\sqrt 7 }}{4}{a^3}\).
\(\frac{{\sqrt 7 }}{4}{a^3}\).
\(\frac{{\sqrt 7 }}{{28}}{a^3}\).
Cho phương trình \(3{\rm{ta}}{{\rm{n}}^3}x - {\rm{tan}}x + \frac{{3\left( {1 + {\rm{sin}}x} \right)}}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} - 8{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right) = 0\). Khi đó \(3{\rm{ta}}{{\rm{n}}^2}x + 1\) bằng (nhập đáp án vào ô trống).
__
2
Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(C,F\) là điểm đối xứng với \(C\) qua \(B,I\) là điểm thuộc cạnh \(SA\) sao cho \(SI = \frac{1}{3}SA\). Mặt phẳng \(\left( {IEF} \right)\) cắt \(SC\) tại \(J,\left( {IEF} \right)\) cắt \(SB\) tại \(K\). Khi đó, giá trị biểu thức \(\frac{{SI}}{{SA}} \cdot \frac{{SJ}}{{SC}} \cdot \frac{{SK}}{{SB}}\) là
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{9}\).
\(\frac{4}{9}\)
\(\frac{2}{9}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = x \cdot {5^x}\) và \(g\left( x \right) = {25^x} + f'\left( x \right) - x \cdot {5^x} \cdot {\rm{ln}}5 - 2\). Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
\(f\left( 0 \right) = g\left( 0 \right)\).
\(f\left( 0 \right) = g\left( 0 \right) + 1\).
\(2f\left( 0 \right) + g\left( 0 \right) = 3\).
\(f\left( 1 \right) - 5.g\left( 1 \right) = 2\).
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 cầu trắng, 7 quả cầu đỏ và 15 quả cầu xanh. Hộp thứ hai chứa 10 quả cầu trắng, 6 quả cầu đỏ và 9 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Xác suất để hai quả lấy ra có màu giống nhau bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
_____
0,33
Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?
\({\rm{ln}}\left( {2{e^2}} \right) = 2 + {\rm{ln}}2\).
\({\rm{ln}}e = 1\).
\({\rm{ln}}\left( {\frac{2}{e}} \right) = {\rm{ln}}2 - 1\).
\({\rm{ln}}\sqrt {4e} = 1 + {\rm{ln}}2\).
Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x - {\rm{ln}}\left( {\frac{{x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right) = 0\). Số phần tử của tập \(S\) là:
1.
3.
0.
2.
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn?
99.
50.
20.
16
Cho tam giác \(ABC\) thỏa mãn điều kiện \({\rm{sin}}B = 2{\rm{sin}}C\cos A\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\).
Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\).
Tam giác \(ABC\) cân tại \(B\).
Một nhà máy sử dụng hai dây chuyền để sản xuất bánh kẹo và cho ra thị trường hai loại sản phẩm: sản phẩm loại A và sản phẩm loại B. Thời gian sử dụng tối đa của các dây chuyền I và II lần lượt là 18 giờ và 16 giờ. Bảng dưới đây cho biết thời gian sử dụng mỗi dây chuyền để sản xuất ra 1 tấn sản phẩm các loại và lợi nhuận mà nhà máy thu được trên mỗi tấn khi bán sản phẩm.
|
Sản phẩm |
Thời gian sử dụng (giờ/tấn) |
Lợi nhuận (triệu đồng/tấn) | |
|
Dây chuyền I |
Dây chuyền II | ||
|
Loại A |
3 |
2 |
30 |
|
Loại B |
3 |
4 |
40 |
Lợi nhuận tối đa mà nhà máy thu được khi bán sản phẩm là (nhập đáp án vào ô trống, đơn vị tính: triệu đồng).
____
200
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) và \(B\left( { - 3;3} \right)\). Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(B\) sao cho khoảng cách từ \(A\) đến \(d\) là \(\sqrt 5 \). Một vectơ chỉ phương của \(d\) là:
\(\left( {1; - 2} \right)\).
\(\left( {2;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( {2; - 1} \right)\).
Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {a{x^2} - \frac{{2a}}{x}} \right)^5}\) với \(x \ne 0\), biết hệ số của \({x^4}\) trong khai triển bằng −9720 .
\( - 2430\)
2430.
\( - 810\).
810.
Cho hàm số \(y = \frac{{x + b}}{{ax - 2}},\left( {ab \ne - 2} \right)\). Biết rằng \(a,b\) là các giá trị thỏa mãn tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\) song song với đường thẳng \(d:3x + y - 4 = 0\). Khi đó giá trị của \(a - 3b\) bằng
−2.
4.
−1.
5.
Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
\(y = {x^3} - x + 1\).
\(y = {x^4} - {x^2} + 1\).
\(y = {x^3} + x + 1\).
\(y = {x^4} + {x^2} + 1\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc 3 và có đồ thị như hình vẽ.
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {2{x^3} + x - 1} \right) + m\). Với giá trị nào của m thì giá trị nhỏ nhất của \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) bằng −20.
−19.
2.
−21.
11.
Biết đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - {x^2} + 3x + 1}}{{x + 2}}\) có hai đường tiệm cận. Tính cosin góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
\( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
1.
−1.
Để làm một chiếc bể cá hình chữ nhật không nắp có chiều cao là 60 cm, người ta sử dụng loại kính có giá thành 700 nghìn đồng/\({m^2}\) để làm các mặt bên và loại kính có giá thành 1 triệu đồng/\({m^2}\) để làm mặt đáy. Kinh phí hiện có là 832 nghìn đồng. Thể tích tối đa của cái bể cá có thể làm là:
\(80d{m^3}\).
\(72d{m^3}\).
\(96d{m^3}\).
\(108d{m^3}\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 20;20} \right]\)để bất phương trình\(\frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 1}} \ge m\) có nghiệm \(x \in \left[ {0;1} \right]\) (nhập đáp án vào ô trống)?
___
24
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{\left( {f\left( {x + 1} \right) - 4} \right)\sqrt {{x^2} - 4} }}\) có bao nhiêu đường tiệm cận (nhập đáp án vào ô trống)?
__
4
Một chất điểm \(A\) xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v\left( t \right) = \frac{1}{{150}}{t^2} + \frac{{59}}{{75}}t\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), trong đó \(t\) là khoảng thời gian tính từ lúc \(A\) bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm \(B\) cũng xuất phát từ \(O\), chuyển động thẳng cùng hướng với \(A\) nhưng chậm hơn 3 giây so với \(A\) và có gia tốc bằng \(a\,\,\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}} \right)\) (\(a\) là hằng số). Sau khi \(B\) xuất phát được 12 giây thì đuổi kịp \(A\). Vận tốc của \(B\) tại thời điểm đuổi kịp \(A\) bằng:
\(20\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
\(16\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
\(13\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
\(15\left( {{\rm{m/s}}} \right)\).
Hình phẳng \(\left( H \right)\) được giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số đa thức bậc ba và parabol \(\left( P \right)\) có trục đối xứng vuông góc với trục hoành. Phần tô đậm như hình vẽ có diện tích bằng \(\frac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{Z};\left( {a,b} \right) = 1} \right)\). Giá trị của biểu thức \(a - 3b\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
__
1
Biết họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\frac{x}{2} - 3\sqrt x \) là \(a{\rm{sin}}x + bx + c{\sqrt x ^3} + C\), trong đó \(a,b,c\) là các số hữu tỉ. Tính T=a+b−c (nhập đáp án vào ô trống).
__
3
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \) và \(y = {x^2}\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) bằng
\(\frac{{3\pi }}{{10}}\).
\(\frac{{9\pi }}{{70}}\).
\(\frac{{7\pi }}{{40}}\).
\(\frac{{5\pi }}{{33}}\).
Biết ∫abfxdx=10 và ∫abgxdx=5. Tính tích phân I=∫ab3fx−5gxdx.
\(5\).
\(10\).
\(15\).
\(20\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( { - 1;2;5} \right),B\left( {3; - 1;0} \right);C\left( { - 4;0; - 2} \right)\). Điểm \(M\left( {a,b,c} \right)\) sao cho \(\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0\). Tính \(T = a + b + c\) (nhập đáp án vào ô trống).
____
- 8
Một cửa hàng tạp hóa bán hai loại chậu bao gồm 5 chiếc chậu màu xanh và 4 chiếc chậu màu đỏ (tất cả các chậu giống nhau chỉ khác màu sắc). Chị Hoa ra cửa hàng tạp hóa mua ngẫu nhiên một chiếc chậu, sau đó về nhà chị thấy vẫn cần một chiếc nữa nên quay lại mua tiếp một chiếc. Cả hai lần chủ cửa hàng đều lấy ngẫu nhiên cho chị một chiếc chậu trong số chậu có sẵn ban đầu mà không bổ sung thêm. Xác suất chị Hoa mua được chậu màu xanh vào lần sau là bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
_____
0,56
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\) và đường thẳng \(d:\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\). Đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\), đi qua giao điểm của \(d\) với \(\left( P \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là
\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 + 4t}\\{z = - 1 + 3t}\end{array}} \right.\).
\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 1 - 4t}\\{z = - 1 + 3t}\end{array}} \right.\).
\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 1 + 4t.}\\{z = 1 + 3t}\end{array}} \right.\)
\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + 2t}\\{y = - 1 - 4t}\\{z = 1 + 3t}\end{array}} \right.\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng ( \(\alpha \) ) vuông góc với \({\rm{\Delta }}:\frac{x}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{z}{3}\) và \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\), trục \(Oy\) và tia \(Oz\) lần lượt tại \(M,N,P\). Biết rằng thể tích khối tứ diện \(OMNP\) bằng 6. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm nào sau đây?
\(C\left( {1; - 1;2} \right)\).
\(B\left( {1; - 1;1} \right)\).
\(A\left( {1; - 1; - 3} \right)\).
\(D\left( {1; - 1; - 2} \right)\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\), biết \(P\left( A \right) = 0,6;P\left( B \right) = 0,7;P\left( {A \cap B} \right) = 0,3\). Tính \(P\left( {\overline A \cap B} \right).\)
\(\frac{4}{7}\).
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{2}{5}\).
\(\frac{1}{7}\).
Mái của một căn nhà nghiêng đều một góc \(\alpha \) so với mặt đất được minh họa như hình vẽ. Biết rằng nếu đặt trong không gian \(Oxyz\) thì mặt đất nằm tương ứng với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), đoạn \(AB\) là một cạnh của mái nhà với \(A\left( {3; - 2;3} \right)\) và \(B\left( { - 3;1;5} \right)\). Góc \(\alpha \) bằng bao nhiêu độ (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
___
49
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 7x + 5}}{{x - 3}}\).
\(I = {x^2} - x + 2{\rm{ln}}\left| {x - 3} \right| + C\).
\(I = {x^2} - x + {\rm{ln}}\left| {x - 3} \right| + C\).
\(I = 2{x^2} - x + 2{\rm{ln}}\left| {x - 3} \right| + C\).
\(I = 2{x^2} - x - 2{\rm{ln}}\left| {x - 3} \right| + C\).
Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu hỏi từ 42 đến 43.
Bảng số liệu sau thống kê chiều cao của 40 học sinh trong một lớp
Chiều cao (cm) | \(\left[ {150;155} \right)\) | \(\left[ {155;160} \right)\) | \(\left[ {160;165} \right)\) | \(\left[ {165;170} \right)\) | \(\left[ {170;175} \right)\) | \(\left[ {175;180} \right)\) |
Số học sinh | 3 | 6 | 10 | 12 | 7 | 2 |
Tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
_____
41,3
Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
3,52.
5,68.
8,14.
6,42.
Trong không gian với hệ trục \(Oxyz\), cho hai đường thẳng\({d_1}:\frac{{x - 4}}{3} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 5}}{{ - 2}}\) và \({d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{z}{1}\). Mặt cầu cóbán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng và có phương trình
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + y - z = 0\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 2z = 0\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 2z = 0\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - y + z = 0\).
Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu hỏi từ 45 đến 47.
Giả sử \(5{\rm{\% }}\) email của bạn nhận được là email rác. Bạn sử dụng một hệ thống lọc email rác mà khả năng lọc đúng email rác của hệ thống này là \(95{\rm{\% }}\) và có \(10{\rm{\% }}\) những email không phải là email rác nhưng vẫn vị lọc
Xác suất email nhận được một email rác là bao nhiêu?
0,06.
0,05.
0,07.
0,03.
Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc bất kể có là rác hay không là?
0,1425.
0,1524.
0,2145.
0,4215.
Xác suất chọn một email trong số những email bị lọc thực sự là email rác là bao nhiêu?
\(\frac{7}{{19}}\).
\(\frac{1}{{19}}\).
\(\frac{1}{3}\).
\(\frac{1}{4}\).
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {2; - 3; - 5} \right),I\left( {2;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z + 5 = 0\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(IM = 5\) và độ dài đoạn \(AM\) lớn nhất. Khi đó, tính giá trị của biểu thức \(T = a + b + 2c\).
10.
12.
11.
13.
Có hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chưa có nước. Vòi thứ nhất chảy một mình thì mất 23 phút đầy bể, trong khi vòi thứ hai chỉ mất 16 phút. Hỏi nếu mở trước vòi thứ nhất để nước chảy vào bể, thì sau bao nhiêu phút nên mở tiếp vòi thứ hai để lượng nước chảy ra từ vòi thứ nhất gấp đôi lượng nước chảy ra từ vòi thứ hai khi bể đầy?
7.
9.
10.
12.
Để cứu được công chúa, Thạch Sanh cần chặt hết tất cả đầu của Chằn tinh. Tuy nhiên khi Thạch Sanh chặt được ba đầu của Chằn tinh, một đầu mới sẽ ngay lập tức mọc lên. Cuối cùng, Thạch Sanh đã cứu được công chúa sau khi chặt hết tổng cộng 16 cái đầu. Hỏi ban đầu Chằn tinh có mấy đầu?
10.
12.
11.
13.
