Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 22

Cho hàm số \(y =  - {x^3} - 6{x^2} + \left( {4m - 9} \right)x + 4\). Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 15;15} \right]\) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 1\). Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị là:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2;7;5} \right),B\left( {3;6;4} \right),C\left( {1;8;2} \right),D\left( {4;3;2} \right)\). Toạ độ điểm \(M\) sao cho biểu thức \(T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị biểu thức \(P = \frac{{ab}}{c}\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2x + \frac{5}{{{x^2}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là:    

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh \(a\). Người ta cắt ở 4 góc của tấm nhôm 4 hình vuông bằng nhau cạnh \(x\), rồi gập tấm nhôm lại để được một cái hộp không nắp (tham khảo hình vẽ)

Để thể tích cái hộp không nắp lớn nhất thì cạnh đáy của nó phải là:

Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{mx + \sqrt {{x^2} - 2x + 5} }}{{3x + 2}}\) có một tiệm cận ngang là: \(y = 3\)?    

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm của phương trình \(2f\left( x \right) - x + 1 = 0\) là:

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^x} + x\) là:   

Biết ∫abfxdx=10 và ∫abgxdx=5. Tính tích phân I=∫ab3fx−5gxdx(nhập đáp án vào ô trống).

__

Một mảnh vườn hình elip có trục lớn bằng 100 m, trục nhỏ bằng 80 m được chia thành 2 phần bởi một đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp của elip. Phần nhỏ hơn trồng cây con và phần lớn hơn trồng rau. Biết lợi nhuận thu được là 2000 đồng mỗi \({m^2}\) trồng cây con và 4000 đồng mỗi \({m^2}\) trồng rau. Hỏi thu nhập từ cả mảnh vườn là bao nhiêu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn)

Một vật ở trạng thái cân bằng khi hợp của tất cả các lực tác dụng lên vật được biểu diễn bởi vectơ không. Trong không gian Oxyz, biết rằng đang có ba lực biểu thị bởi ba vectơ \({\vec F_1}\left( {10; - 9;5} \right),\overrightarrow {{F_2}} \left( {1;5;10} \right),\overrightarrow {{F_3}} \left( {9; - 8; - 3} \right)\) tác dụng lên một vật. Vectơ biểu thị lực \(\overrightarrow {{F_4}} \) để khi tác dụng thêm lực này vào vật thì vật ở trạng thái cân bằng có tọa độ là \({\vec F_4}\left( {a,b,c} \right)\). Tính \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\)(nhập đáp án vào ô trống).

____

Biết giá trị của tích phân  bằng. Biết \(I = a \cdot \ln 2 + b \cdot \ln 3 - c \cdot {\rm{ln}}5\), với \(a,b,c\) là các số tự nhiên. Giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\) bằng:    

Nhiệt độ (tính bằng\(\;^\circ {\rm{C}}\)) tại thời điểm \(t\) giờ trong khoảng từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương nọ vào một ngày nào đó được cho bởi hàm số \(T\left( t \right) = 20 + 1,5\left( {t - 6} \right),6 \le t \le 12\). Nhiệt độ trung bình trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ngày hôm đó là:    

Một thùng gỗ ủ nước mắm có dạng khối tròn xoay như hình vẽ bên, gồm hai đáy là hai hình tròn bằng nhau có bán kính là 1,8 dm, khoảng cách giữa hai đáy là 8 dm. Đường cong mặt bên của thùng là một phần của đường elip có độ dài trục lớn bằng 10 dm. Dung tích của thùng gỗ ủ nước mắm này là:

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( {2;1;1} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = t}\\{z = - 2 - t}\end{array}} \right.\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và cách \(A\) một khoảng lớn nhất là:    

Cho hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):3x - 2y + 2z + 7 = 0\) và \(\left( \beta \right):5x - 4y + 3z + 1 = 0\). Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ \(O\) đồng thời vuông góc với cả \(\left( \alpha \right),\left( \beta \right)\) là:    

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\); \({d_2}:\frac{{x + 2}}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2};\)\({d_3}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1 - t\left( {t \in \mathbb{R}} \right)}\\{z = t}\end{array}} \right.\). Phương trình đường thẳng d cắt 3 đường thẳng \({d_1};{d_2};{d_3}\) lần lượt tại \(A,B,C\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(AC\) có véctơ chỉ phương \(\vec u = \left( {a;b;c} \right)\). Tỉ số \(T = \frac{{a + b}}{c}\) bằng:    

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4; - 1;2} \right)\) và \(B\left( { - 4;2;3} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa \(Oy\) và đi qua \(B\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là (nhập đáp án vào ô trống):

__

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;5; - 2} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại điểm \(C\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn \(OC\). Tính giá trị của biểu thức \(T = {M^2} + {m^2}\).    

Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu hỏi từ 22 đến 24.

Bảng số liệu dưới đây thể hiện chiều cao của 40 học sinh trong một lớp (đơn vị: cm):

Trung bình chiều cao các học sinh trong lớp là:

Trung vị chiều cao các học sinh trong lớp là bao nhiêu?

Phương sai chiều cao các học sinh trong lớp gần nhất với giá trị nào sau đây:

Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu hỏi từ 25 đến 27.

Có 20 sinh viên thi Xác suất-Thống kê, trong đó có 4 sinh viên giỏi (trả lời đúng \(100{\rm{\% }}\) các câu hỏi), 5 sinh viên khá (trả lời \(80{\rm{\% }}\) các câu hỏi), 3 sinh viên trung bình (trả lời được \(50{\rm{\% }}\) câu hỏi). Gọi ngẫu nhiên 1 sinh viên vào thi và phát đề có 4 câu hỏi (được lấy ngẫu nhiên từ 20 câu). Sinh viên được gọi trả lời được cả 4 câu. Tìm kết quả gần nhất.

Tính xác suất để sinh viên đó là sinh viên khá.

Tính xác suất để sinh viên đó là sinh viên giỏi (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Xác suất để sinh viên đó là sinh viên trung bình bằng (nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

_____

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {0;0;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và cắt khối cầu \(\left( S \right)\) theo thiết diện là một hình tròn có diện tích nhỏ nhất là:    

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục \(Ox\) và đồ thị hàm số y \( = f'\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) và \(\left[ {1;4} \right]\) lần lượt bằng 9 và 12. Cho \(f\left( 1 \right) = 3\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { - 2} \right) + f\left( 4 \right)\) bằng

Tìm số giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) sao cho bất phương trình \(\left( {m + 4} \right){x^2} - 2mx + 2m - 6 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) (nhập đáp án vào ô trống).

___

Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam và 4 bạn nữ thành một hàng ngang. Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho trong hàng ngang ấy có đúng 2 bạn nữ đứng cạnh nhau?

Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat A = 120^\circ ,\widehat B = 45^\circ ,AB = 10\). Tính độ dài cạnh \(AC\).

Cho lưới ô vuông như hình vẽ.

Chỉ được phép đi theo hai hướng, đó là \( \uparrow \) (lên) hoặc \( \to \) (qua phải) dọc theo đường lưới, có bao nhiêu cách di chuyển từ \(A\) đến \(B\) mà không đi qua \(P\) và \(Q\) (nhập đáp án vào ô trống).

___

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\), \(N\) là điểm trên cạnh \(CD\) sao cho \(CN = 2ND\). Biết \(M\left( {\frac{{11}}{2};\frac{1}{2}} \right)\) và đường thẳng \(AN\) có phương trình \(2x - y - 3 = 0\). Tổng giá trị hoành độ của các điểm \(A\) thỏa yêu cầu bài toán là:

Một nhóm gồm 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ nhóm học sinh đó. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất 1 học sinh nữ.

Một vật dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng \(O\), có quỹ đạo là một đoạn thẳng trùng với trục \(Ox\). Tọa độ \(x\) của vật trên trục \(Ox\) vào thời điểm \(t\) (giây) được xác định bởi công thức \(x = 4{\rm{sin}}\left( {2\pi t - \frac{\pi }{2}} \right)\left( {{\rm{cm}}} \right)\). Từ thời điểm \({t_1} = 2\left( {\rm{s}} \right)\) đến thời điểm \({t_2} = 2,5\left( {\rm{s}} \right)\), thời điểm nào vật có tọa độ \(x =  - 2{\rm{\;cm}}\)(nhập đáp án vào ô trống, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, đơn vị: giây)?

_____

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_5} = 18\) và \(4{S_n} = {S_{2n}}\). Tính \({u_{10}}\).

Cho dãy số: \({u_n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \ldots + \frac{1}{{{n^2}}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?    

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thỏa mãn \({a^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}5}} = 9,{b^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}6}} = 64,{c^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_7}3}} = 49\). Tính giá trị biểu thức \(T = {a^{{\rm{log}}_3^25}} + {b^{{\rm{log}}_4^26}} + 3{c^{{\rm{log}}_7^23}}\) (nhập đáp án vào ô trống).

____

Tìm tập xác định của hàm số \(y = {\rm{ln}}\left( {{\rm{ln}}\left( {2{x^2} - \frac{1}{x}} \right)} \right)\).

Bất phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\frac{{{x^2} - 9}}{{125}} \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\frac{{{x^2} - 9}}{{27}}\) có bao nhiêu nghiệm có giá trị nguyên (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình \({21^{2x}} - 3 \cdot {21^x} + 1 = 0\) là    

Đạo hàm của hàm số \(y = {\rm{ln}}\left( {{3^x} + 2} \right)\) là:   

Cho hàm số \(y = x \cdot \sqrt {2 - {x^2}} \). Tổng các nghiệm của phương trình \(y' = 0\) là:    

Người ta tiến hành phỏng vấn 40 người về một mẫu áo sơ mi mới. Người điều tra yêu cầu cho điểm mẫu áo đó theo thang điểm là 100. Kết quả được trình bày trong bảng dưới đây:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên (nhập đáp án vào ô trống, kết quả cuối cùng làm tròn đến hàng đơn vị).

__

Một nhóm gồm có tổng cộng 20 học sinh, trong đó có 10 bạn giỏi Toán, 8 bạn giỏi Tiếng Anh, 4 bạn giỏi cả Toán và Tiếng Anh. Chọn ngẫu nhiên từ nhóm ra một bạn học sinh. Tính xác suất để học sinh được chọn không giỏi cả Toán lẫn Tiếng Anh (nhập đáp án vào ô trống).

____

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh \(a\). Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD\). Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {A'B'CD} \right)\) là:    

Cho \(f\left( x \right)\) là đa thức thỏa mãn: limx→1fx−5x−1=10. Tính T=limx→14fx+73−fx+4x2+x−2.    

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a,\widehat {BAD} = 135^\circ \). Biết \(SA = 2a\) và tạo với mặt phẳng đáy một góc \(60^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SO,\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(BI\) và song song với cạnh \(AC,\left( P \right)\) chia hình chóp \(S.ABCD\) thành hai phần. Biết thể tích của phần nhỏ hơn là \(\frac{{{a^3}\sqrt m }}{n}\), với \(m,n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}};m + n < 60\). Tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{n}{{{m^2}}}\)(nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy cạnh 2 và chiều cao \(SO = 4\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của \(SA,SB,SC,SD\). Thể tích khối chóp cụt đều \(ABCD.MNPQ\) bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).