Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 17

Một câu lạc bộ gồm 27 học sinh yêu thích thể thao, mỗi bạn đều chơi giỏi ít nhất một trong 3 môn thể thao là bóng đá, cầu lông và bóng chuyền. Có 14 học sinh giỏi bóng đá, 12 học sinh giỏi bóng chuyền, 10 học sinh giỏi cầu lông, 4 học sinh giỏi cả bóng đá và bóng chuyền, 3 học sinh giỏi cả bóng chuyền và cầu lông, 3 học sinh giỏi cả bóng đá và cầu lông. Hỏi có bao nhiêu học sinh chỉ chơi giỏi bóng đá (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \sqrt {8 + 2x - {x^2}} = 2m\) có nghiệm là    

Lúc 6 giờ 15 phút sáng, bạn Hoàng đi xe đạp từ nhà ở điểm \(A\) đến trường ở điểm \(B\). Khoảng cách từ nhà Hoàng đến trường theo đường chim bay là 900 m. Trong quá trình đi, Hoàng phải đạp xe lên và xuống trên một con dốc có đỉnh \(C\) với độ dốc khi lên và xuống lần lượt là \(6^\circ \) và \(5^\circ \) như hình vẽ bên dưới.

Biết tốc độ trung bình lúc lên dốc và xuống dốc của Hoàng lần lượt là \(5,4{\rm{\;km/h}}\) và 21,6 \({\rm{km/h}}\). Thời điểm Hoàng đến trường gần nhất với thời điểm nào dưới đây?

Bạn đang đứng trước hai cánh cửa, một cánh cửa dẫn đến thiên đường, một cánh cửa dẫn đến địa ngục. Có hai người đứng gác cửa, một người luôn nói dối, một người luôn nói thật. Bạn không biết cánh cửa nào dẫn đến địa ngục, cũng không biết ai nói dối hay nói thật. Làm thế nào bạn chỉ cần hỏi một câu hỏi duy nhất để biết chắc chắn cánh cửa nào dẫn đến thiên đường?

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H\left( {3;2} \right)\) và trọng tâm \(G\left( {\frac{5}{3};\frac{8}{3}} \right)\). Đường thẳng \(BC\) có phương trình là \(x + 2y - 2 = 0\). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\). Biết rằng \(AB = AC = 3\), \(\widehat {BAC} = 120^\circ \) và số đo của góc nhị diện \(\left[ {A,B'C',A'} \right]\) bằng \(30^\circ \). Khoảng cách giữa đường thẳng \(BC\) và mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) là    

Cho \(a\) và \(b\) là hai số thực dương thỏa mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_9}\left( {ab} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?   

Dòng điện xoay chiều là dòng điện có chiều biến thiên tuần hoàn và cường độ biến thiên điều hoà theo một chu kỳ nhất định. Một một đoạn mạch có biểu thức cường độ dòng điện xoay chiều là \(i = 2{\rm{cos}}\left( {100\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\) (A). Trong 3 giây đầu tiên, số lần cường độ dòng điện có độ lớn bằng 1A là    

Người ta trồng 10000 cây thành nhiều hàng theo cách như sau: hàng thứ nhất trồng 1 cây, hàng thứ hai trồng 3 cây, hàng thứ ba có 5 cây, v.v... Hỏi hàng cuối cùng trồng bao nhiêu cây (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Một mật khẩu mở cửa gồm có 3 ký tự là các chữ số tự nhiên từ 0 đến 9. Mật khẩu chính xác là một số tự nhiên có 3 chữ số sao cho chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng trăm. Xác suất để một người nọ không biết mật khẩu, sau một lần bấm mở được cửa là:    

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn bất phương trình \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)?    

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {2x + 1} - \sqrt {x + 5} }}{{x - 4}}}&{{\rm{khi\;}}\,\,x \ne 4}\\{a + 2}&{{\rm{khi}}\,\,x = 4}\end{array}} \right.\). Tìm \(a\) để hàm số đã cho liên tục trên tập xác định của nó.    

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật. Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) đều cạnh bằng \(2a\), nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\frac{a}{2}\). Tính thể tích khối chóp?    

Hàm số \(f\left( x \right) = {\rm{sin}}\frac{x}{{10}} + {\rm{tan}}\frac{x}{8}\) có chu kì tuần hoàn nhỏ nhất là bao nhiêu?    

Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thực của phương trình \({2^{{x^2} - 3x + 2}} - {2^{{x^2} - x - 2}} = 2x - 4\). Số phần tử của \(S\) là (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho đa thức \(f\left( x \right)\) thỏa mãn: . Tính giới hạn: \(\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{3f\left( x \right) + 34}} - 4}}{{2{x^2} - 3x + 1}}\).    

Từ độ cao 60 m của một tòa nhà, người ta thả rơi tự do một quả bóng cao su. Sau mỗi lần chạm đất, quả bóng lại nảy lên độ cao bằng \(\frac{1}{5}\) độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Biết quỹ đạo chuyển động của quả bóng nằm trên một đường thẳng. Tính tổng độ dài hành trình mà quả bóng đã di chuyển kể từ lúc được thả rơi tự do cho đến lúc nằm yên trên mặt đất (nhập đáp án vào ô trống).

___

Tại một nhà máy, gọi hàm số \(C\left( x \right) = 0,00024{x^3} - 0,03{x^2} + 5x + 30\) (đơn vị: triệu đồng) là tổng chi phí sản xuất \(x\) tấn sản phẩm \(A\) trong một tháng. Tốc độ tăng của tổng chi phí khi nhà máy sản xuất 100 tấn sản phẩm \(A\) là:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(ABCD,BC = 2a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng (\(SAB\)) là    

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\sqrt 6 \), \(SC = a\sqrt {15} \). Hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Tính \({\rm{co}}{{\rm{t}}^2}\alpha \) (nhập đáp án vào ô trống).

__

Viết phương trình tiếp tuyến \(d\) của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - {x^2} + 2\) tại điểm có hoành độ dương, biết \(d\) tạo với trục hoành một góc \(45^\circ \).    

Tìm số giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{mx + 10}}{{2x + m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\)(nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( { - 2; + \infty } \right)\) là:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Có mấy giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {\left| {x - 2025} \right|} \right) - 2m = 0\) có 4 nghiệm (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Tìm số thực \(a < - 1\) để ?

Thuốc lá gây hại cho sức khỏe và tính mạng con người. Theo WHO, trong năm 2022, cứ 5 người trưởng thành lại có 1 người hút thuốc hoặc tiêu thụ các sản phẩm thuốc lá. Giả sử tỉ lệ người dân của một tỉnh nghiện thuốc lá là \(30{\rm{\% }}\); tỉ lệ người bị bệnh phổi trong số người nghiện thuốc lá là \(80{\rm{\% }}\), trong số người không nghiện thuốc lá là \(10{\rm{\% }}\). Hỏi khi ta gặp ngẫu nhiên một người dân của tỉnh đó thì khả năng mà người đó bị bệnh phổi là bao nhiêu?    

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right),M\left( {5;3;1} \right),N\left( {4;1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(y + z - 27 = 0\). Gọi \(B\) là điểm thuộc tia \(AM,C\) là điểm thuộc \(\left( P \right)\) và \(D\) là điểm thuộc tia \(AN\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình thoi. Tọa độ điểm \(C\) là:    

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + 2xf'\left( x \right) = 6{x^2}\sqrt x ,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( 4 \right) = 33\). Tính ∫19fxdx.    

Trong không gian \(Oxyz\), cho bốn điểm \(S,A,B,C\) như hình vẽ.

Biết vectơ \(\vec u = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BS} \) có tọa độ là \(\left( {a;b;c} \right)\). Tính giá trị biểu thức \(T = a + 2b + 3c\) (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và \(N\left( { - 3; - 2; - 1} \right)\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của \(MN\) và vuông góc với đường thẳng \(MN\) là    

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 5 = 0\) và các điểm \(A\left( {2;1;2} \right),B\left( {3; - 2;2} \right)\). Gọi \(M\) là điểm thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn đường thẳng \(MA\) và \(MB\) tạo với \(\left( P \right)\) các góc bằng nhau. Biết \(M\) luôn nằm trên một đường tròn \(\left( C \right)\) cố định. Tọa độ tâm của đường tròn \(\left( C \right)\) là:    

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2; - 1;0} \right)\) và cắt các tia \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại \(A,B,C\) sao cho độ dài \(OA,OB,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai \(d = 3\). Tính khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\). Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị (nhập đáp án vào ô trống).

__

Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{4x + 1}}\) là:    

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y - 2z - 6 = 0\). Vectơ nào dưới đây không phải là vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\)?    

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng chéo nhau là \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\) lần lượt có phương trình: \({{\rm{\Delta }}_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2};\,\,{{\rm{\Delta }}_2}:\frac{x}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Gọi \({\rm{\Delta }}\) là đường vuông góc chung của \({{\rm{\Delta }}_1}\) và \({{\rm{\Delta }}_2}\). Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là    

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {6;2; - 5} \right)\) và \(B\left( { - 4;0;7} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là:    

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - my + z + 3m - 2 = 0\). Gọi \(P\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \). Tính tổng các phần tử của \(P\)?    

Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\) cho ba điểm \(A\left( { - 2;1;3} \right),B\left( {0; - 2;1} \right),C\left( { - 1;4,3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 6 = 0\). Gọi \(M\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho biểu thức: \(T = \left| {\overrightarrow {MC}  - 5\overrightarrow {MA} \left|  +  \right|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {2MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất. Biết rằng \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\). Tính \(A = {x_0} + {y_0} + {z_0}\)(nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 2;1;2} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right)\). Xét các điểm \(B,C,D\) thuộc (S) sao cho \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc với nhau. Tính thể tích khối tứ diện \(ABCD\) có giá trị lớn nhất (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho hai biến cố \(A\) và \(B\), biết \(P\left( A \right) = 0,6;P\left( B \right) = 0,7;P\left( {A \cap B} \right) = 0,3\). Tính \(P\left( {\overline A \cap B} \right)\)    

Trong không gian hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\;3x - 2y + z - 6 = 0\). Điểm \(M\left( {a,b,c} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho \(|MA - MB{|_{{\rm{max}}}}\), biết điểm \(A\left( { - 1;2;2} \right),B\left( {2;1; - 1} \right)\). Tính tổng \(T = a + b + c\)(làm tròn kết quả đến hàng phân trăm) (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) + 2xf\left( x \right) = 2x{e^{ - {x^2}}}\). Biết \(f\left( 1 \right) = \frac{2}{e}\), tính \(f\left( 0 \right)\) (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) để hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2mx + {m^2} + 1} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\). Tính tổng giá trị các phần tử của \(S\) (nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\), \(AC = 2a,\widehat {SAB} = \widehat {SCB} = 90^\circ \). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right),\beta \) là góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\). Biết \({\rm{sin}}\alpha = \frac{{\sqrt 2 }}{4},{\rm{sin}}\beta = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\) và \(SB\) không vượt quá \(a\sqrt 6 \), tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).         

Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu từ 45 đến 47.

Một cuộc kiểm tra sức khỏe của lớp \(11{A_1}\) gồm 40 học sinh thống kê lại bảng cân nặng của học sinh như sau:

Mốt của mẫu số liệu trên gần với giá trị nào nhất?

Xác định ngưỡng cân nặng để chọn ra \(25{\rm{\% }}\) bạn có cân nặng cao nhất? 

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên gần với giá trị nào nhất?

Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu từ 48 đến 50.

Trong bài kiểm tra môn Khoa học tự nhiên, thầy giáo lớp bạn Sơn đã chuẩn bị sẵn hai hộp đựng phiếu thi, mỗi phiếu ghi một câu hỏi. Hộp thứ nhất có 20 phiếu thi môn Vật lý, hộp thứ hai có 15 phiếu thi môn Hóa học. Bạn Sơn biết làm tổng cộng 30 câu ghi trên các phiếu thi, trong đó có 18 câu Vật lý. Khi Sơn bắt đầu kiểm tra, thầy giáo rút ngẫu nhiên từ hộp thứ nhất ra 2 phiếu và từ hộp thứ hai ra 1 phiếu.

Giả sử bài kiểm tra của Sơn gồm cả 3 câu hỏi ghi trên các phiếu mà thầy giáo đã rút ra. Xác suất để Sơn không biết làm cả 3 câu là    

Giả sử trong số các phiếu thầy giáo đã rút ra, Sơn được phép chọn ngẫu nhiên 1 phiếu để làm bài. Xác suất để Sơn biết làm câu hỏi ghi trên phiếu đó là

Giả sử trong số các phiếu thầy giáo đã rút ra, Sơn được phép chọn ngẫu nhiên 2 phiếu để làm bài. Biết rằng Sơn biết làm cả 2 câu hỏi ghi trên 2 phiếu đó. Tính xác suất để cả 2 phiếu Sơn chọn đều ghi câu hỏi môn Vật lý