Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 18
47 câu hỏi
Cho tập \(A = \left\{ {x\mid x \in \mathbb{N},10 \le x \le 50} \right\}\). Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập hợp \(A\), xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là
\(\frac{{20}}{{533}}\).
\(\frac{{19}}{{533}}\).
\(\frac{1}{{26}}\).
\(\frac{{29}}{{533}}\).
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(O\),\(O'\) lần lượt là tâm 2 đáy \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\). Gọi \(m,n\) là hai số thực thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow {AO'} = m\overrightarrow {DB} + n\overrightarrow {C'B} \). Tính tổng \(m + n\) (nhập đáp án vào ô trống).
_____
-0,5
Xác định hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {{x^4} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\) biết \(n\) là nghiệm của phương trình: \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + \ldots {2^n} \cdot C_n^n = 243\) (nhập đáp án vào ô trống).
___
10
Miền nghiệm \(OABC\) trong hình vẽ dưới đây (kể cả bờ) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \le 0}\\{x - y \ge 2}\\{x + y \le 6}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x - y \ge 2}\\{x + y \le 6}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x - y \le 2}\\{x + y \ge 6}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x - y \le 2}\\{x + y \le 6}\end{array}} \right.\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)\). Khi đó \(f'\left( 1 \right)\) bằng
\(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{2\ln 2}}\).
\(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\).
\(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{2}\).
\(f'\left( 1 \right) = 1\).
Hai quần thể sinh vật \(A\) và \(B\) sinh trưởng tuân theo quy luật sau: quần thể \(A\) có kích thước \(A\left( t \right) = {12^t}\), quần thể \(B\) có kích thước \(B\left( t \right) = {3^{2t + 1}}\), với \(t\) là số ngày được tính từ ngày bắt đầu quan sát. Sau bao nhiêu ngày kể từ ngày bắt đầu quan sát thì kích thước của hai quần thể này bằng nhau (nhập đáp án vào ô trống, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
__
4
Phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}{\left( {4 + x} \right)^3}\) có bao nhiêu nghiệm?
Vô nghiệm.
Một nghiệm.
Hai nghiệm.
Ba nghiệm.
Cho các cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 4}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 3}\end{array}} \right.\) và \(\left( {{v_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 1}\\{{v_{n + 1}} = {v_n} + 5}\end{array}} \right.\). Có bao nhiêu số \(m\) bé hơn 2025 sao cho \(m\) vừa là số hạng của \(\left( {{u_n}} \right)\), vừa là số hạng của \(\left( {{v_n}} \right)\)?
134.
326.
458.
215.
Trong một dãy số nguyên dương, biết rằng từ số thứ 3 trở đi, các số luôn bằng tích của hai số đứng ngay trước đó. Nếu số thứ 6 có giá trị là 4000 thì số đầu tiên là bao nhiêu?
3.
4.
5.
6.
Tập nghiệm của bất phương trình \({9^x} + 2 \cdot {3^x} - 3 > 0\) là
\(\left( { - \infty ; - 3} \right)\).
\(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( { - 3;1} \right)\).
Kết quả khảo sát thời gian sử dụng liên tục (đơn vị: giờ) từ lúc sạc đầy cho đến khi hết của pin một số máy vi tính cùng loại được mô tả bằng biểu đồ sau
Hãy xác định giá trị trung bình của thời gian sử dụng pin (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).
\(7,67\).
\(7,76\).
\(7,66\).
\(7,77\).
Xác định phương trình elip đi qua điểm \(M\left( {2;\frac{{ - 5}}{3}} \right)\), biết tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn bằng \(\frac{2}{3}\).
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 0\).
\(\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(SD\) và \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(BM\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính tan \(\alpha \) (nhập đáp án vào ô trống).
_____
0,33
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), khoảng cách từ \(C\) đến đường thẳng \(BB'\) bằng 2, khoảng cách từ \(A\) đến các đường thẳng \(BB'\) và \(CC'\) lần lượt bằng 1 và \(\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là trung điểm \(M\) của \(B'C'\) và \(A'M = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:
\(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
1.
\(\sqrt 3 \).
2.
Hai chiếc thuyền xuất phát cùng một lúc, tại cùng một vị trí ở ngoài khơi xa, chạy về hai hướng hợp với nhau một góc \(60^\circ \). Tốc độ của mỗi chiếc thuyền lần lượt là \(15{\rm{\;km/h}}\) và \(24{\rm{\;km/h}}\). Khoảng cách giữa hai chiếc thuyền sau khi di chuyển được 20 phút là
12 km.
10,5 km.
9 km.
7 km.
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\), với \(P\left( A \right) = 0,6,P\left( B \right) = 0,7,P\left( {A \cap B} \right) = 0,3\). Tính \(P\left( {\bar B\mid A} \right)\).
\(\frac{3}{7}\)
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{6}{7}\).
\(\frac{1}{7}\).
Cho hàm số \(y = {x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + 2\left( {2 - m} \right)x + 4\). Với giá trị nào của tham số \(m\) thì đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành?
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 2}\\{ - \frac{5}{2} \ne m \le - 2}\end{array}} \right.\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{ - \frac{5}{2} \ne m < - 2}\end{array}} \right.\).
\( - 2 < m < 2\).
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{m < - 2}\end{array}} \right.\).
Phương trình chính tắc của đường trung tuyến tại đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\), với \(A\left( {1;3;2} \right),B\left( {1;2;1} \right),C\left( {4;1;1} \right)\), là
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{2}\).
\(\frac{{x - 1}}{5} = \frac{{y - 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{2}\).
\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 2}}{2}\).
\(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\).
Cho hàm số \(y = \cos 3x \cdot {\rm{sin}}2x\). Tính \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\) (nhập đáp án vào ô trống).
__
1
Bảng dưới đây cho biết về phân bố tần số về số liệu chiều cao (tính bằng cm) của 100 học sinh trong một trường học. Chiều cao được chia thành các khoảng có độ dài bằng nhau. Tính trung vị của mẫu số liệu này.
Chiều cao (cm) | \(\left[ {140;150} \right)\) | \(\left[ {150;160} \right)\) | \(\left[ {160;170} \right)\) | \(\left[ {170;180} \right)\) | \(\left[ {180;190} \right)\) |
Số học sinh | 10 | 20 | 40 | 20 | 10 |
165.
155.
175.
160.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{\rm{sin}}x + 1} \right) = 2\) trên đoạn \(\left[ { - \pi ;2\pi } \right]\) là:
5.
3.
6.
7.
Trong không gian Oxyz, xét mặt cầu (S) có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0\). Tập hợp các giá trị thực của a để (S) có chu vi đường tròn lớn bằng \(8\pi \) là:
\(\left\{ {1;10} \right\}\).
\(\left\{ {2; - 10} \right\}\).
\(\left\{ { - 1;11} \right\}\).
\(\left\{ {1; - 11} \right\}\).
Hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 3} - \frac{1}{2}x - 1\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( { - 3;0} \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\).
\(\left( {1;5} \right)\).
Cho hai biến cố \(A\) và \(B\) với \(P\left( A \right) > 0,P\left( B \right) > 0\). Cho các khẳng định sau:
(1) \(P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( A \right)\).
(2) \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{P\left( B \right) \cdot P\left( {A\mid B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).
(3) \(P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{P\left( B \right) \cdot P\left( {A\mid B} \right)}}{{P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right) \cdot P\left( {A\mid \overline B } \right)}}\).
(4) \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right) \cdot P\left( {A\mid \overline B } \right)\).
(5) Cho hai biến cố \(A\) và \(B\), với \(P\left( B \right) = 0,8,P\left( {A\mid B} \right) = 0,7,P\left( {A\mid \overline B } \right) = 0,45\). Khi đó \(P\left( A \right) = 0,5\).
Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng (nhập đáp án vào ô trống)?
__
4
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 5x \cdot {\rm{cos}}3x\) là:
\( - \frac{1}{2}{\rm{sin}}8x - \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + C\).
\( - \frac{1}{{16}}{\rm{sin}}8x - \frac{1}{4}{\rm{sin}}2x + C\).
\(\frac{1}{{16}}{\rm{cos}}8x + \frac{1}{4}{\rm{cos}}2x + C\).
\( - \frac{1}{{16}}{\rm{cos}}8x - \frac{1}{4}{\rm{cos}}2x + C\).
Trong không gian \(Oxyz\) cho các điểm \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;6} \right),D\left( {2;4;6} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\left( P \right)\) cách đều \(D\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Phương trình của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(ax + by + 2z + d = 0\) với \(a,b,d \in \mathbb{Z}\). Giá trị của \(d\) bằng bao nhiêu?
6.
−6.
24.
−24.
Dựa vào thông tin sau đây và trả lời các câu hỏi sau từ câu 29 đến câu 31:
Hai vận động viên \(A\) và \(B\) tham dự một cuộc thi chạy bộ trên một đường thẳng, xuất phát cùng một thời điểm, cùng vạch xuất phát và chạy cùng chiều với vận tốc lần lượt là\({v_A}\left( t \right) = \frac{1}{{450}}{t^3} - \frac{{47}}{{450}}{t^2} + \frac{{64}}{{45}}t\left( {{\rm{m/s}}} \right)\), \({v_B}\left( t \right)\left( {{\rm{m/s}}} \right)\) với \(t \ge 0\) là là thời gian tính bằng giây.Hàm số \(y = {v_B}\left( t \right)\) có đồ thị là một phần của parabol như hình vẽ sau:
Vận tốc chạy lớn nhất của vận động viên \(A\) trong khoảng 20 giây theo đơn vị m/s tính từ khi bắt đầu xuất phát là
4.
5.
6.
7.
Sau 30 giây tính từ khi bắt đầu xuất phát, hai vận động viên cách nhau một khoảng bằng bao nhiêu mét?
60.
50.
55.
65.
Biết rằng một trong hai vận động viên có vận tốc khi về đích bằng 0, khi đó chênh lệch giữa thời gian hoàn thành đường chạy của hai vận động viên khoảng bao nhiêu giây?
12.
13.
14.
15.
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu (\(S\)) có tâm \(I\left( {1;1; - 1} \right)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y - z + 3 = 0\). Bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\) là
\(\frac{4}{3}\).
4.
\(\frac{4}{9}\).
\(\frac{2}{3}\).
Cho một hộp kín có 6 thẻ ATM của BIDV và 4 thẻ ATM của Vietcombank. Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (lấy không hoàn lại). Tìm xác suất để lần thứ hai lấy được thẻ ATM của Vietcombank nếu biết lần thứ nhất đã lấy được thẻ ATM của BIDV.
\(\frac{5}{9}\).
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{7}{9}\).
\(\frac{4}{9}\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{{\rm{cos}}x - 3}}{{{\rm{cos}}x - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) (nhập đáp án vào ô trống)?
__
2
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3\). Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\) có mấy cực trị?
3.
1.
4.
5.
Thống kê số thẻ vàng của mỗi đội bóng thuộc giải bóng đá ngoại hạng Anh mùa giải 2021-2022 theo bảng số liệu sau:
101 | 79 | 79 | 78 | 75 | 73 | 68 | 67 | 67 | 63 |
63 | 61 | 60 | 59 | 57 | 55 | 55 | 50 | 47 | 42 |
Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được hình thành từ mẫu số liệu gốc trên, biết các nhóm có độ dài bằng nhau và một trong số các nhóm đó là \(\left[ {70;80} \right)\).
60.
70.
50.
80.
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{z}{4}\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 2z + 4 = 0\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và tiếp xúc với \(\left( S \right)\). Gọi \(M,N\) là tiếp điểm. \(H\left( {a;b;c} \right)\) là trung điểm của \(MN\). Khi đó \(a + b + 2c\) bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?
__
4
Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa.
Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng \(S = \frac{a}{b}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\) với \(a,b \in \mathbb{N};b \ne 0\); a và b nguyên tố cùng nhau. Tính \(a + b\)?
800.
803.
403.
250.
Tính \({\rm{lim}}\frac{{{{2025}^{n + 1}} + 3 \cdot {{2024}^n}}}{{{{45}^{2n}} - 2026 \cdot {{2024}^{n + 1}}}}\) (nhập đáp án vào ô trống).
_____
2025
Một chiếc đồng hồ cát được thiết kế bằng cách quay phần hình phẳng bị giới hạn bởi đường lemniscate có phương trình \({x^4} - {x^2} + {y^2} = 0\) quanh trục hoành (xem hình minh họa).
Thể tích của chiếc đồng hồ cát là
\(\frac{{2\pi }}{{15}}\).
\(\frac{{4\pi }}{3}\).
\(\frac{{4\pi }}{{15}}\).
\(\frac{{2\pi }}{5}\).
Cho hàm số \(y = 2{x^3} + a{x^2} - bx + c\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết rằng tiếp tuyến \(d\) của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ −1 cắt \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ 2 (xem hình vẽ). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(d\) và \(\left( C \right)\) (phần gạch chéo trong hình) bằng
\(\frac{{25}}{2}\).
13.
\(\frac{{27}}{2}\).
11.
Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật , trong đó (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc (m/p) của khí cầu là
__
9
Trong quân sự, một máy bay chiến đấu của đối phương có thể xuất hiện ở vị trí X với xác suất 0,55. Nếu máy bay đó không xuất hiện ở vị trí \(X\) thì nó xuất hiện ở vị trí \(Y\). Để phòng thủ, các bệ phóng tên lửa được bố trí tại các vị trí \(X\) và \(Y\). Khi máy bay đối phương xuất hiện ở vị trí \(X\) hoặc \(Y\) thì tên lửa sẽ được phóng để hạ máy bay đó. Xét phương án tác chiến sau: nếu máy bay xuất hiện tại \(X\) thì bắn 2 quả tên lửa còn nếu máy bay xuất hiện tại \(Y\) thì bắn 1 quả tên lửa. Biết rằng, xác suất bắn trúng máy bay của mỗi quả tên lửa là 0,8 và các bệ phóng tên lửa hoạt động độc lập. Máy bay bị bắn hạ nếu nó trúng ít nhất 1 quả tên lửa. Tính xác suất để máy bay đối phương bị bắn hạ trong phương án tác chiến nêu trên?
0,888.
0,864.
0,846.
0,866.
Nếu ∫132fx+1dx=5 thì ∫13fxdx bằng? (Nhập đáp án vào ô trống)
____
1,5
Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(M\left( {3; - 1;2} \right)\) và \(N\left( { - 1;2;1} \right)\). Viết phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(M\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 5 = 0\) sao cho khoảng cách từ \(N\) đến \({\rm{\Delta }}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
\({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{2}\).
\({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\).
\({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\).
\({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{{ - 2}}\).
Một cái hồ chứa 600 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối 30 g/l vào hồ với tốc độ 15 (l/phút). Nồng độ muối trong hồ khi \(t\) dần về dương vô cùng (đơn vị g/l) là
28.
29.
30.
31.
Một bãi cỏ lớn lên từng ngày với tốc độ không đổi. Biết rằng, với 200 con cừu sẽ ăn hết bãi cỏ trong 100 ngày và với 150 con cừu sẽ ăn hết bãi cỏ trong 150 ngày. Tốc độ ăn của mỗi con cừu là như nhau. Hỏi với 100 con cừu thì sẽ ăn hết bãi cỏ đó trong bao nhiêu ngày (nhập đáp án vào ô trống)?
____
300
Trong không gian \(Oxyz\) phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu?
\({x^2} + {y^2} + {z^2} + x - 2y + 4z - 3 = 0\).
\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0\).
\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 10 = 0\).
Số giờ có ánh sáng mặt trời của một địa phương năm không nhuận được cho bởi \(y = 4{\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{{178}}\left( {x - 60} \right)} \right) + 10\) với \(1 \le x \le 365\) là số ngày trong năm. Ngày 25/5/2025 thì số giờ có ánh sáng mặt trời của địa phương này gần với con số nào nhất?
2 giờ.
12 giờ.
13 giờ 30 phút.
14 giờ.
