Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 16

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ:

_____

Cho \(f\left( x \right) = m{x^2} - 2mx + 4\). Tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) là    

Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 20 m, độ dài trục bé bằng 16 m. Người ta dự định trồng hoa trong hình chữ nhật nội tiếp elip như hình vẽ.

Tính diện tích phần trồng hoa (m²), biết chiều dài của phần trồng hoa là (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) (nhập đáp án vào ô trống).

____

Thống kê điểm thi giữa kì môn Giải tích của các sinh viên năm nhất ở một lớp nọ theo bảng sau:

Số giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên là

Một cửa hàng bán hoa có 4 loại hoa hồng: hoa hồng trắng 30 bông, hoa hồng xanh có 40 bông, hoa hồng đỏ 20 bông, hoa hồng cam có 30 bông. Người ta muốn xếp các loại hoa lại với nhau để bó thành các bó hoa hồng mỗi bó có 15 bông hoa hồng. Cửa hàng cần bó 7 bó hoa theo đơn hàng. Có bao nhiêu cách chọn hoa để bó hoa có đúng 5 bông hồng xanh và trong mỗi bó hoa đều có các màu hoa trắng, hồng, cam? Biết rằng các bông hoa mỗi loại là giống nhau.

Một bệnh truyền nhiễm có xác suất lây bệnh là 0,95 nếu tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang; có xác suất lây bệnh là 0,2 nếu tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang. Anh Thành tiếp xúc với một bệnh nhân hai lần, trong đó có một lần đeo khẩu trang và một lần không đeo khẩu trang. Tính xác suất anh Thành bị lây bệnh truyền nhiễm từ người bệnh mà anh tiếp xúc (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \(m\) là tung độ của điểm \(A\) thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\) cắt hai đường tiệm cận lần lượt tại \(H,K\) và độ dài \(HK\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tích các giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là:    

Một công ty chuyên bán buôn rau, củ, quả sạch có doanh thu một loại rau được ước tính bởi hàm số \(f(x) = {x^2} - 29000x + 1000100000\) (đồng) và tiền lãi thu được là \(g(x) = 1000x + 100000\) (đồng) với \(x\) là giá bán cho mỗi kg rau tươi. Biết doanh thu bằng tổng tiền lãi và tiền vốn. Công ty nên bán loại rau đó với giá bao nhiêu đồng để vốn bỏ ra là ít nhất?    

Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số \(a\) thuộc khoảng \(\left( {0;2025} \right)\) để \({\rm{lim}}\sqrt {\frac{{{5^n} + {3^{n + 2}}}}{{{4^{n + 1}} + {5^{n + 2a}}}}}  \le \frac{1}{{125}}\) (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Một hộp chứa 4 quả bóng được đánh số từ 1 đến 4. An lấy ngẫu nhiên một quả bóng, bỏ ra ngoài, rồi lấy tiếp một quả bóng nữa. Xét các biến cố:

\(A\): "Quả bóng lấy ra lần đầu ghi số chẵn"

\(B\): "Quả bóng lấy ra lần hai ghi số lẻ".

Xác suất để quả bóng lấy ra lần hai ghi số lẻ biết quả bóng lấy ra lần đầu ghi số chẵn là

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), biết \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {2 - x} \right)\). Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?    

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx + 1\) (\(m\) là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\) (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {2m - 3} \right)x + 5m - 6} }}\) (\(m\) là tham số). Số giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số đã cho xác định với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\) là    

Một vật nặng treo bởi một chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng. Khoảng cách \(l\) từ vật đến vị trí cân bằng ở thời điểm \(t\) giây được tính theo công thức \(l = \left| d \right|\) trong đó \(d = 20{\rm{cos}}\left( {10t + \frac{\pi }{6}} \right){\rm{cm}}\). Ta quy ước rằng \(d > 0\), khi vật ở trên vị trí cân bằng, \(d < 0\) khi vật ở dưới vị trí cân bằng. Hỏi trong dây đầu tiên, có bao nhiêu thời điểm vật ở xa vị trí cân bằng nhất (nhập đáp án vào ô trống)?

__

Phương trình \(\frac{{{\rm{cos}}x}}{{{x^2} + x}} = \frac{1}{2}\) có bao nhiêu nghiệm?    

Một hộp chứa 20 chiếc thẻ được đánh số tự nhiên từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên 6 chiếc thẻ từ hộp. Tính xác suất để trong 6 chiếc thẻ lấy ra, có ít nhất 1 thẻ được đánh số chia hết cho 6.

Một đường ống dẫn dầu dài 100 km có tiết diện thay đổi dọc theo chiều dài ống. Vận tốc dòng chảy tại điểm cách đầu ống x km được mô tả bởi hàm \(v\left( x \right) = \frac{{300}}{{1 + {x^2}}}\left( {{\rm{km}}/{\rm{h}}} \right)\). Tiết diện của đường ống cũng thay đổi theo chiều dài và được cho bởi hàm \(A\left( x \right) = 0,5 + 0,1{\rm{sin}}x\left( {{m^2}} \right)\). Tính tổng lượng dầu chảy qua đoạn đường ống trong 5 giờ đầu tiên? Tất cả kết quả làm tròn theo quy tắc làm tròn đến hàng đơn vị.    

Biết \(F\left( x \right)\) là một họ nguyên hàm của \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\) và \(F\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\). Khi đó \(F\left( 1 \right) + F\left( 2 \right)\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến phần trăm) (nhập đáp án vào ô trống)?

_____

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x + 1} \right){\left( {x - 2} \right)^5}{\left( {x - 4} \right)^3}\). Tổng giá trị các điểm cực tiểu của hàm số \(f\left( x \right)\) là:    

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành, cạnh \(AB = 2a,BC = 2a\sqrt 2 ,OD = a\sqrt 3 \). Tam giác \(SAB\) nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Gọi \(d\) là khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\). Giá trị \({\left( {\frac{d}{a}} \right)^2}\) bằng (nhập đáp án vào ô trống).

__

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 3;2} \right)\) và \(B\left( { - 2;1; - 4} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 4\). Giá trị lớn nhất của \[\left| {AM - BN} \right|\] bằng    

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 - t}\\{z = - 3}\end{array}} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t'}\\{y = 1 - t'}\\{z = - 3}\end{array}} \right.\).Vị trí tương đối của \({\rm{\Delta }}\) và \({\rm{\Delta '}}\) là    

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Cho hàm số \(y = {x^3} + b{x^2} + cx + d,\left( {b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(y = \frac{{3{x^2} - 8x + 6}}{{{x^2} - 2x + 1}}\) là:    

Cho một đa giác gồm 8 đỉnh. Ta chia đa giác thành các tam giác bằng cách vẽ các đường chéo không cắt nhau trong đa giác. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) có \({a_n} = - {n^2} + 4n + 11,\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\). Tìm số hạng lớn nhất của dãy số \(\left( {{a_n}} \right).\)    

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị dương của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 12} \right)x - m\) đạt cực trị tại \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| \le 4\sqrt {11} \). Tính số phần tử của \(S\) (nhập đáp án vào ô trống).

__

Cho hàm số \(y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right)x - 3\) có hai điểm cực trị là \(A,B\). Gọi \(M,N\) là hai giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A,B\) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 16\) sao cho khoảng cách \(MN\) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm \(E\left( {2;1} \right)\) đến đường thẳng \(AB\) là:    

Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu từ 30 đến 32.

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M \in SA\) sao cho \(SM = \frac{1}{3}SA\), \(N \in SB\) sao cho \(BN = \frac{1}{2}SN\) và \(P\) là trung điểm của \(SC\). Kẻ \(AB\) cắt \(MN\) tại \(H,MP\) cắt \(AC\) tại \(K,NP\) cắt \(BC\) tại \(I\).

Phân tích vectơ \(\overrightarrow {MH} \) theo các vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {SA} \)?

Phân tích vecto \(\overrightarrow {MK} \) theo các vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {SA} \)?    

Phân tích vecto \(\overrightarrow {MI} \) theo các vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {SA} \)?    

Trong buổi lễ khai mạc trước trận chung kết bóng đá nam, có 4 trọng tài và 2 đội bóng, mỗi đội gồm 11 cầu thủ tham gia bắt tay với nhau. Mỗi cầu thủ của hai đội bắt tay một lần với mọi người trừ đồng đội của mình, những trọng tài không chủ động bắt tay với người khác. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu cái bắt tay (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Cho một mạch điện kín gồm nguồn điện có suất điện động \(E\left( V \right)\) và điện trở trong \(r\left( {\rm{\Omega }} \right)\) không thay đổi; mạch ngoài có biến trở \(R\left( {\rm{\Omega }} \right)\). Khi đó, công suất tiêu thụ ở mạch ngoài là \(P = \frac{{{E^2}R}}{{{{\left( {R + r} \right)}^2}}}\). Tìm giá trị lớn nhất của công suất tiêu thụ mạch ngoài \(P\).    

Diện tích phần hình phẳng tô đậm trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\). Gọi giao điểm của đường thẳng \(d\) và và mặt phẳng tọa độ \(\left( {Oxz} \right)\) là \(I\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(S = a + b + c\) (nhập đáp án vào ô trống).

_____

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 4} }}\) là    

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số\(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\left( {1 + \frac{x}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right),\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\) là    

Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + \left( {m - 1} \right)x - 10}}{{x + 2m}}\) có khoảng cách giữa hai điểm cực trị không lớn hơn \(10\sqrt {10} \) là (nhập đáp án vào ô trống).

__

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) nằm trong khoảng \(\left( { - 10;10} \right)\)để hàm số \(y = \frac{1}{{m{\rm{log}}_3^2x - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x + m + 3}}\) xác định trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)?    

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right);y = 0;x = a;x = b\,\,\left( {a < b} \right)\) quanh trục hoành bằng:    

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có diện tích bằng 20. Đỉnh B và C nằm trên đường thẳng: \(x - y - 5 = 0\), điểm \(A\left( {1; - 2} \right)\). Đỉnh B có tọa độ dạng \(B\left( {a,b} \right)\), với \(a > 0\). Tính tổng \(a + b\)(nhập đáp án vào ô trống).

___

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và luôn dương trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Biết ∫02fxdx=5, tính tích phân ∫02e2+lnfx+3dx.    

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2; - 1;1} \right),B\left( {0; - 2;3} \right),C\left( {1;0; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - z + 5 = 0\). Điểm \(M\left( {a,b,c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) thỏa mãn \(MA = MB = MC\). Tính \(T = a + 3b - 2c\).

Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi \(x\) đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là phần trăm tổng thu nhập, mô hình \(y = x\) sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz \(y = f\left( x \right)\) biểu thị sự phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với \(0 \le x \le 100\), biểu thị "sự bất bình đẳng về thu nhập" của một quốc gia. Năm 2005, đường cong Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số: \(y = {\left( {0,00061{x^2} + 0,0218x + 1723} \right)^2},0 \le x \le 100\). Trong đó \(x\) được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, \({8^{{\rm{th\;}}}}\) edition, Cengage Learning, 2009). Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ năm 2005?

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{1}\), đường thẳng \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = - 1 - t{\rm{\;}}}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\), điểm \(M\left( {1; - 4;3} \right)\). Xác định phương trình đường thẳng đi qua \(A\) và cắt hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)    

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 3 = 0\). Gọi \(M,N\) là các điểm lần lượt thuộc \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) sao cho vectơ \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương với vectơ \(\vec u = \left( {1;0;1} \right)\). Giá trị lớn nhất của độ dài \(MN\) là:    

Cho tam giác \(ABC\) có diện tích là \(12{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\). Dựng tam giác \({A_1}{B_1}{C_1}\) sao cho \({A_1},{B_1},{C_1}\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,CA,AB\). Dựng tam giác \({A_2}{B_2}{C_2}\) sao cho \({A_2},{B_2},{C_2}\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \({B_1}{C_1},{C_1}{A_1},{A_1}{B_1} \ldots \) Tiếp tục quá trình này cho đến khi diện tích tam giác dựng được bằng 0. Tính tổng diện tích các tam giác đã dựng (nhập đáp án vào ở trống, đơn vị cm2).

__

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = {x^3} + 3\int\limits_0^1 {{x^4}f\left( x \right)dx} ,\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(f\left( { - 1} \right)\).    

Xác định hệ số của \({x^{26}}\) trong khai triển \({\left( {{x^3} - \frac{2}{x}} \right)^{10}}\).