Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 trường THCS Lê Quý Đôn (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án
5 câu hỏi
a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = 1\).
b) Rút gọn biểu thức \(B\).
c) Cho \[P = \frac{A}{B}\]. Tìm \(x\) để \[P = \frac{3}{4}\].
a .Thay x = 1 (TMĐK) vào A, ta được:
\[A = \frac{{2.1 + 6}}{{1 - 5}} = \frac{8}{{ - 4}} = - 2\]
Vậy \[A = - 2\] khi x = 1.
b. \[B = \left( {\frac{4}{{x - 5}} + \frac{{3x - 1}}{{{x^2} - 25}} - \frac{1}{{x + 5}}} \right).\frac{{{x^2} + 5x}}{{x + 4}}\]
\[ = \left[ {\frac{{4\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{3x - 1}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{x - 5}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}} \right].\frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{x + 4}}\]
\[ = \frac{{4\left( {x + 5} \right) + 3x - 1 - \left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}.\frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{x + 4}}\]
\[ = \frac{{6\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}.\frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{x + 4}}\]
\[ = \frac{{6x}}{{x - 5}}\]
c. Cho \[P = \frac{A}{B}\]. Tìm x để \[P = \frac{3}{4}\].
\[P = \frac{A}{B} = \frac{{2x + 6}}{{x - 5}}:\frac{{6x}}{{x - 5}} = \frac{{x + 3}}{{3x}}\] \[\left( {x \ne - 4\,;\,\,x \ne \pm 5\,;\,\,x \ne 0} \right)\]
Với \[P = \frac{3}{4}\] thì \[\frac{{x + 3}}{{3x}} = \frac{3}{4}\]
Suy ra \[4\left( {x + 3} \right) = 3 \cdot 3x\]
\[\,4x + 12 = 9x\]
\[5x = 12\]
\[x = \frac{{12}}{5}\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)\]
Một xưởng may theo kế hoạch mỗi ngày may được \(30\) chiếc áo. Nhờ cải tiến kĩ thuật nên thực tế mỗi ngày xưởng may được nhiều hơn so với kế hoạch \(10\) chiếc áo. Do đó xưởng đã vượt kế hoạch \(20\) sản phẩm và còn hoàn thành sớm hơn dự định 2 ngày. Tính số áo xưởng phải may theo kế hoạch.
Gọi số áo xưởng phải may theo kế hoạch là x (chiếc) (ĐK: \[x \in {\mathbb{N}^*}\])
Thời gian xưởng may theo kế hoạch là: \[\frac{x}{{30}}\] (ngày)
Thực tế mỗi ngày xưởng may được số chiếc áo là: 30 + 10 = 40 (chiếc)
Tổng số áo xưởng may được trên thực tế là: x + 20 (chiếc)
Thời gian xưởng may thực tế là: \[\frac{{x + 20}}{{40}}\] (ngày)
Ta có phương trình: \[\frac{x}{{30}} - \frac{{x + 20}}{{40}} = 2\]
Giải phương trình ra x = 300 (TMĐK).
Vậy số áo xưởng phải may theo kế hoạch là 300 chiếc.
1) Giải phương trình sau: \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {x^2} = 2x\left( {x + 3} \right) - 7\].
2) Cho hàm số \[y = x + 4\] có đồ thị là đường thẳng \(\left( d \right)\).
a) Vẽ đường thẳng đã cho trên hệ trục tọa độ \(Oxy\).
b) Cho đường thẳng \(\left( {d'} \right):\,y = 2x + 1\). Tìm tọa độ giao điểm \(I\)của đường thẳng \(\left( d \right)\) với đường thẳng \[\left( {d'} \right)\].
1 \[{\left( {x + 1} \right)^2} + {x^2} = 2x\left( {x + 3} \right) - 7\]
\({x^2} + 2x + 1 + {x^2} = 2{x^2} + 6x - 7\)
\({x^2} + 2x + 1 + {x^2} - 2{x^2} - 6x + 7 = 0\)
\[ - 4x + 8 = 0\]
\[x = 2\].
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = 2\].
2
a Cho x = 0 suy ra y = 4
Cho y = 0 suy ra \[x = - 4\]
Đồ thị của hàm số \[y = x + 4\] là một đường thẳng đi qua hai điểm có tọa độ \[\left( {0\,;\,\,4} \right)\] và \[\left( { - 4\,;\,\,0} \right)\]
Vẽ đồ thị (d) của hàm số \[y = x + 4\]
b Gọi giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) với đường thẳng \[\left( {d'} \right)\] là \[I\left( {{x_I}\,;\,\,{y_I}} \right).\]
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}I\left( {{x_I};{y_I}} \right) \in d\\I\left( {{x_I};{y_I}} \right) \in d'\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}{y_I} = {x_I} + 4\\{y_I} = 2{x_I} + 1\end{array} \right.\]
Suy ra \[2{x_I} + 1 = {x_I} + 4\], do đó \[{x_I} = 3\]
Thay x = 3 vào \(\left( d \right)\), ta được: \[y = 3 + 4 = 7\]
Vậy giao điểm của \(\left( d \right)\) và \[\left( {d'} \right)\] là điểm \[I\left( {3\,;\,\,7} \right).\]
1) Bạn Hoa làm một chiếc lồng đèn hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy bằng \(25\,{\rm{cm}}\), độ dài trung đoạn chiếc lồng đèn này là \(32\,{\rm{cm}}\). Bạn Hoa dùng các tấm giấy màu để dán trang trí các mặt bên của đèn. Tính diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng (coi như mép dán không đáng kể).
2) Cho hình chữ nhật \(ABCD\). Kẻ \(AH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\).
a) Chứng minh \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\) đồng dạng.
b) Chứng minh \(B{C^2} = BD.DH\).
c) Kẻ \(DE\) là đường phân giác của tam giác \(ABD\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(DE\) và \(AH\). Chứng minh \[\Delta AIE\] cân và \(A{E^2} = IH.EB\).
1 Tính diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng.
Diện tích giấy màu bạn Hoa cần sử dụng là: \[{S_{xq}} = p \cdot d = 2 \cdot 25 \cdot 32 = 1600\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\]
2
aChứng minh .
Vì ABCD là hình chữ nhật nên \[\widehat {BAD} = 90^\circ \]
Vì AH vuông góc với BD tại H nên \[\widehat {AHB} = \widehat {AHD} = 90^\circ \]
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\) có:
\[\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \] (cmt)
\[\widehat {ABH}\] chung
Do đó (g.g)
b Chứng minh \(B{C^2} = BD.DH\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có:
\[\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \] (cmt)
\[\widehat {ADH}\] chung
Do đó (g.g)
Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(A{D^2} = BD \cdot DH\).
Mà AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật) nên \(B{C^2} = BD.DH\)
c Chứng minh \[\Delta AIE\] cân và \(AE.KA = IH.KB\).
Vì DE là đường phân giác của tam giác ABD nên \[\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\].
Vì nên \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{A_1}}\] (hai góc tương ứng)
Suy ra \[\,\widehat {{A_1}} + \widehat {{D_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}\,\,\left( 1 \right)\]
Xét \[\Delta AID\], có: \[\widehat {AIE} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{D_2}}\] (tính chất góc ngoài) (2)
Xét \[\Delta DEB\], có: \[\widehat {AEI} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}\] (tính chất góc ngoài) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \[\widehat {AIE} = \widehat {AEI}\] nên \[\Delta AIE\] cân tại A suy ra\[AE = AI\]
Xét \[\Delta ADH\] có DI là đường phân giác \[\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}\]
Mà AE = AI (cmt) \[\] (4)
Suy ra \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{DA}}\) (5)
Từ (4) và (5) suy ra \[\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}\] (*)
Xét \[\Delta ADB\] có DE là đường phân giác \[\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}\] (**)
Từ (*) và (**) suy ra \[\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}\] do đó\(A{E^2} = IH.EB\).
Cho \(a,\,b\) là các số thực không âm thoả mãn \({a^2} + {b^2} = 1\).
Đặt \[P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}}\]. Chứng minh: \[{\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\].
Cho a, b là các số thực không âm thoả mãn \({a^2} + {b^2} = 1\). Đặt \[P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}}\]. Chứng minh: \[{\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\].
Ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab = 1 + 2ab\) nên \(2ab = {\left( {a + b} \right)^2} - 1\) (do \({a^2} + {b^2} = 1\))
Đặt \[x = a + b\] nên \(2ab = {x^2} - 1\)
Mặt khác \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[a,b\]
Suy ra \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab\,\]nên \[1 \ge {x^2} - 1\,\] hay \[{x^2} \le 2\]
Ta có: \[P = \frac{{2ab}}{{a + b + 1}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = x - 1\]
\({\left( {P + 1} \right)^2} = {\left( {x - 1 + 1} \right)^2} = {x^2}\)
Mà \({x^2} \le 2\) nên \({\left( {P + 1} \right)^2} \le 2\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[a = b = \sqrt {\frac{1}{2}} \].
Bạn có thích hoạt động này không?
