Đề thi Cuối kì 2 Toán 8 trường THCS Đống Đa (Hà Nội) năm 2023-2024 có đáp án - Đề 2

Gọi x (giờ) là thời gian người thứ hai đi đến khi gặp người thứ nhất \[\left( {x > 0} \right)\]

Quãng đường người thứ hai đã đi đến khi gặp người thứ nhất là 56x (km)

Thời gian người thứ nhất đi đến khi gặp người thứ hai là \[x + 1\] (giờ).

Quãng đường người thứ nhất đã đi đến khi gặp người thứ hai là \[42\left( {x + 1} \right)\](km)

Quãng đường hai người đi bằng nhau nên ta có phương trình

\[56x = 42\left( {x + 1} \right)\]

\[56x = 42x + 42\]

\[14x = 42\]

\[x = 3\] (TMĐK)

Vậy hai người gặp nhau lúc \[7 + 1 + 3 = 11\] (giờ).

Điểm gặp nhau cách A là \[56 \cdot 3{\rm{ }} = 168{\rm{ (km}}).\]

a) Tính giá trị của A khi x = 3.

Với \[x = 3\] (TMĐK) thì \(A = \frac{{4 \cdot 3}}{{10 \cdot 3 - 5}} = \frac{{12}}{{25}}.\)

 b) Thực hiện phép tính \[B:A.\]

\[B:A = \left( {\frac{{2x + 1}}{{2x - 1}} - \frac{{2x - 1}}{{2x + 1}}} \right):\frac{{4x}}{{10x - 5}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2} - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}:\frac{{4x}}{{5\left( {2x - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {2x + 1 - 2x + 1} \right)\left( {2x + 1 + 2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\]

 \[ = \frac{{2.4x}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}} \cdot \frac{{5\left( {2x - 1} \right)}}{{4x}}\]\[ = \frac{{10}}{{2x + 1}}\].

1)Theo đề bài, cây và cột cùng vuông góc hay \(AB \bot AC\,;\,\,KD \bot DE\)

Suy ra \(\widehat {BAC} = \widehat {KDE} = 90^\circ .\)

Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta DKE\] có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {KDE} = 90^\circ \) (cmt); \(\widehat {BCA} = \widehat {DEK}\) (gt)

Do đó  (g.g)

Suy ra \(\frac{{AB}}{{KD}} = \frac{{AC}}{{DE}}\), thay số ta có \(\frac{{AB}}{2} = \frac{{10,5}}{{1,5}}\) nên \(AB = \frac{{2 \cdot 10,5}}{{1,5}} = 14\,\,{\rm{(m)}}\).

Vậy chiều cao của cây là 14 mét.

Cho tam giác ABC nhọn có \[\widehat {BAC} = 65^\circ \], AK và BH là các đường cao (K thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh AC).

a) Chứng minh và \[CH \cdot CA = CK \cdot CB.\] 

b) Chứng minh và tính số đo của góc CKH.

c) Kẻ đường phân giác của góc ACB cắt KH tại D và cắt \[AB\] tại I. Chứng minh rằng: \[DH \cdot IA = DK \cdot IB.\]

 a) Chứng minh (g.g)

Suy ra \[\frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CA}}{{CB}}\], do đó \[CK \cdot CB = CH \cdot CA\].

 b) Ta có \[CK \cdot CB = CH \cdot CA\] (câu a) suy ra \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{CK}}{{CA}}\).

Chứng minh (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {CKH} = \widehat {BAC} = 65^\circ \).

 c) Áp dụng tính chấtđường phân giác trong \(\Delta CHK\), ta có

\(\frac{{DK}}{{DH}} = \frac{{CK}}{{CH}}\) và \(\frac{{IA}}{{IB}} = \frac{{AC}}{{CB}}\).

Mà \(\frac{{CK}}{{CH}} = \frac{{CA}}{{CB}}\) (câu a) suy ra \(\frac{{DK}}{{DH}} = \frac{{IA}}{{IB}}\,.\) Do đó \[DH \cdot IA = DK \cdot IB.\]