Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 Trung học thực hành Sài Gòn (TP.HCM) có đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\), ta thấy:

• Giá trị nhỏ nhất của \(y\) trên đồ thị là \(y = - 1\) (tại \(x = 4\)).
• Giá trị lớn nhất của \(y\) trên đồ thị là \(y = 2\) (tại các điểm \(x \in \left[ {0;1} \right]\)).

Do đó, tập giá trị của hàm số là \(T = \left[ { - 1;2} \right]\).

Chọn A.

Hoành độ đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\) với \(a = - 1\), \(b = - 4\), \(c = 1\) là:

      \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = - 2\).

Do đó, trục đối xứng của parabol là đường thẳng \(x = - 2\).

Chọn A.

Trong hình thoi \(ABCD\), hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) không cùng hướng (các cạnh \(AB\) và \(BC\) cắt nhau tại \(B\)), nên \(\overrightarrow {AB} \ne \overrightarrow {BC} \). Do đó mệnh đề A sai.

\(BC{\rm{//}}AD\) và cùng hướng, \(BC = AD\) nên \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AD} \) (B đúng).

\(CD{\rm{//}}AB\), ngược hướng và \(CD = AB\) nên \(\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AB} \) (C đúng).

Độ dài các cạnh của hình thoi bằng nhau nên \(\left| {\overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {AD} } \right| = AB = AD\) (D đúng).

Chọn A.

Áp dụng quy tắc hiệu và quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ:

\(\vec u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {CD} \).

Chọn B.

\(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \). Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AO} \ne \overrightarrow {AO} \).

\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \). Do \(O\) là trung điểm của \(BD\) nên \(\overrightarrow {DB} = 2\overrightarrow {DO} = 2\overrightarrow {OB} = - 2\overrightarrow {BO} \).

\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB} \). Mệnh đề D đúng.

\(G\) là trọng tâm nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GD} = \vec 0\), không suy ra được \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {GA} \).

Chọn D.

Theo định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) khác \(\vec 0\), ta có \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\).

Chọn A.

Hàng phần nghìn là chữ số thứ 3 sau dấu phẩy (chữ số \(8\)).

Chữ số ngay sau hàng phần nghìn là chữ số \(2\) (nhỏ hơn \(5\)).

Do đó, khi quy tròn đến hàng phần nghìn, ta giữ nguyên chữ số hàng phần nghìn và bỏ toàn bộ các chữ số sau đó: \(e \approx 2,718\).

Chọn D.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm (\(N = 9\) giá trị): \(3;3;9;9;10;10;12;12;37\).

• Trung vị \({Q_2} = 10\).
• Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là trung vị của nửa dưới \(3;3;9;9\): \({Q_1} = \frac{{3 + 9}}{2} = 6\).
• Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là trung vị của nửa trên \(10;12;12;37\): \({Q_3} = \frac{{12 + 12}}{2} = 12\).
• Khoảng tứ phân vị: \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 12 - 6 = 6\).
• Giá trị ngoại lệ \(x\) thoả mãn \(x < {Q_1} - 1,5{{\rm{\Delta }}_Q}\) hoặc \(x > {Q_3} + 1,5{{\rm{\Delta }}_Q}\):

                      \({Q_1} - 1,5{{\rm{\Delta }}_Q} = 6 - 1,5 \cdot 6 = - 3\)

                     \({Q_3} + 1,5{{\rm{\Delta }}_Q} = 12 + 1,5 \cdot 6 = 21\)

Trong mẫu số liệu, chỉ có giá trị \(37 > 21\), do đó \(37\) là giá trị ngoại lệ.

Chọn B.

Mẫu số liệu có \(n = 11\) giá trị.

• Số trung vị \({M_e} = {Q_2}\) là giá trị thứ \(6\): \({M_e} = 166\).
• Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là trung vị của nửa dưới gồm \(5\) số \(161;162;163;164;165\): \({Q_1} = 163\).
• Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là trung vị của nửa trên gồm \(5\) số \(167;168;169;170;171\): \({Q_3} = 169\).
• Số trung bình: \(\bar x = \frac{{161 + 162 + 163 + 164 + 165 + 166 + 167 + 168 + 169 + 170 + 171}}{{11}} = 166\).

Do đó, khẳng định C đúng.

Chọn C.

Mốt của mẫu số liệu là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất.

Cỡ giày \(42\) có tần số lớn nhất là \(77\).

Do đó, mốt của mẫu số liệu là \({M_o} = 42\).

Chọn B.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần (\(n = 9\)): \(7;8;11;13;15;18;19;20;22\).

• Trung vị \({Q_2}\) là giá trị thứ \(5\): \({Q_2} = 15\).
• Nửa số liệu bên trái \({Q_2}\) là: \(7;8;11;13\). Ta có \({Q_1} = \frac{{8 + 11}}{2} = 9,5\).
• Nửa số liệu bên phải \({Q_2}\) là: \(18;19;20;22\).Ta có \({Q_3} = \frac{{19 + 20}}{2} = 19,5\).
• Khoảng tứ phân vị: \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 19,5 - 9,5 = 10\).

Chọn C.

Số trung bình của mẫu số liệu: \(\bar x = \frac{{2,0 + 2,5 + 2,5 + 2,4 + 2,3}}{5} = \frac{{11,7}}{5} = 2,34\).

Phương sai \({s^2}\): \({s^2} = \frac{{{{\left( {2,0 - 2,34} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 2,34} \right)}^2} + {{\left( {2,5 - 2,34} \right)}^2} + {{\left( {2,4 - 2,34} \right)}^2} + {{\left( {2,3 - 2,34} \right)}^2}}}{5} = 0,0344\).

Chọn D.

a) Sai. Dựa vào đồ thị, đỉnh \(I\) của \(\left( P \right)\) có tọa độ là \(\left( {1; - 2} \right)\).

b) Sai. Đồ thị đi xuống từ trái sang phải trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\), tức là hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).

c) Đúng. Điểm thấp nhất trên đồ thị có tung độ \(y = - 2\), nên tập giá trị của hàm số là \(\left[ { - 2; + \infty } \right)\).

d) Đúng. Ta thấy đồ thị cắt trục tung tại \(\left( {0; - 1} \right)\), suy ra \(c = - 1\).

Đỉnh \(I\left( {1; - 2} \right)\) thuộc đồ thị \(\left( P \right)\), suy ra giá trị của hàm số tại \(x = 1\) là

\(y\left( 1 \right) = a \cdot {1^2} + b \cdot 1 + c = a + b + c = - 2\).

Kết quả:

a) Sai                        b) Sai                        c) Đúng                     d) Đúng

a) Sai. Do hai vectơ \[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \] không cùng phương.

b) Đúng. \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {IA} \) và \(\overrightarrow {IC} \) là hai vectơ đối nhau, tức là \(\overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IC} \).

c) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {CI} \). Khi đó: \(\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CI} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BI} \).

Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông: \(BI = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(\left| {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BI} } \right| = BI = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

d) Sai. Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AC = \sqrt 2 \).

Theo định lý Pythagore ta có \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2} \Rightarrow 2A{B^2} = 2 \Rightarrow AB = BC = 1\).

Ta có \(\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AC} \) và \(\widehat {BAC} = 45^\circ \).

Như vậy \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( { - \overrightarrow {AC} } \right) = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC}\)\( = - 1 \cdot \sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = - \sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 1\).

Do đó \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - 1 \ne 1\).

Kết quả:

a) Sai                        b) Đúng                     c) Đúng                     d) Sai

Hàm số \(f\left( x \right)\) xác định khi và chỉ khi biểu thức trong căn ở mẫu thức nhận giá trị dương:

            \(25 - 5x > 0\)\( \Leftrightarrow 5x < 25\)\( \Leftrightarrow x < 5\).

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;5} \right)\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Toạ độ đỉnh \(I\): \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 1\); \({y_I} = - {1^2} + 2 \cdot 1 + 3 = 4 \Rightarrow I\left( {1;4} \right)\).

Trục đối xứng: đường thẳng \(x = 1\).

Hệ số \(a = - 1 < 0\) nên bề lõm của parabol hướng xuống dưới và hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên:

Đổi \(50\,000\) đồng \( = 50\) nghìn đồng.

Điều kiện của giá bán \(x\): \(x > 50\) và \(150 - x > 0 \Rightarrow 50 < x < 150\).

Lợi nhuận từ mỗi cuốn sách bán ra là: \(x - 50\) (nghìn đồng).

Tổng lợi nhuận trong một tháng của cửa hàng là: \(f\left( x \right) = \left( {x - 50} \right)\left( {150 - x} \right)\)\( = - {x^2} + 200x - 7500\).

Đây là hàm số bậc hai có hệ số \(a = - 1 < 0\), đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol:

\(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{200}}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 100\).

Vì \(x = 100\) thỏa mãn điều kiện \(50 < x < 150\), nên lợi nhuận thu được trong một tháng của cửa hàng đạt giá trị lớn nhất khi giá bán mỗi cuốn sách là \(100\) nghìn đồng (tức là \(100\,000\) đồng).

a) Mẫu số liệu tổ B có cỡ mẫu \(n = 11\).

Số trung bình của tổ B là: \({\bar x_B} = \frac{{0,5 + 7,0 + 8,5 + 9,0 + 9,0 + 9,0 + 9,5 + 9,5 + 9,5 + 9,8 + 10,0}}{{11}} = \frac{{91,3}}{{11}} \approx 8,30\).

Phương sai \(s_B^2 = \frac{{{{0,5}^2} + {{7,0}^2} + {{8,5}^2} + {{9,0}^2} + {{9,0}^2} + {{9,0}^2} + {{9,5}^2} + {{9,5}^2} + {{9,5}^2} + {{9,8}^2} + {{10,0}^2}}}{{11}} - {8,3^2} \approx 6,68\).

Độ lệch chuẩn \({s_B} = \sqrt {s_B^2} \approx \sqrt {6,68} \approx 2,58\).

b)

So sánh ban đầu bằng số trung bình:

Số trung bình của tổ A là: \({\bar x_A} = \frac{{7,3 + 8,3 + 7,8 + 8,0 + 8,8 + 8,0 + 8,5 + 9,0 + 7,5 + 8,3 + 9,8}}{{11}} = \frac{{91,3}}{{11}} = 8,30\).

Vì \({\bar x_A} = {\bar x_B} = 8,30\), nếu chỉ dựa vào số trung bình ban đầu thì điểm kiểm tra trung bình của học sinh hai tổ A và B là như nhau.

Xác định giá trị ngoại lệ:

Xét mẫu số liệu tổ A:

Sắp xếp: \(7,3;\quad 7,5;\quad 7,8;\quad 8,0;\quad 8,0;\quad 8,3;\quad 8,3;\quad 8,5;\quad 8,8;\quad 9,0;\quad 9,8\).

Khi đó, \({Q_{1A}} = 7,8\); \({Q_{3A}} = 8,8 \Rightarrow {{\rm{\Delta }}_{QA}} = {Q_{3A}} - {Q_{1A}} = 1,0\).

Khoảng chấp nhận: \(\left[ {7,8 - 1,5 \cdot 1,0;\quad 8,8 + 1,5 \cdot 1,0} \right] = \left[ {6,3;\quad 10,3} \right]\).

Tổ A không có giá trị ngoại lệ.

Xét mẫu số liệu tổ B:

Sắp xếp: \(0,5;\quad 7,0;\quad 8,5;\quad 9,0;\quad 9,0;\quad 9,0;\quad 9,5;\quad 9,5;\quad 9,5;\quad 9,8;\quad 10,0\).

Khi đó, \({Q_{1B}} = 8,5\); \({Q_{3B}} = 9,5 \Rightarrow {{\rm{\Delta }}_{QB}} = {Q_{3B}} - {Q_{1B}} = 1,0\).

Khoảng chấp nhận: \(\left[ {8,5 - 1,5 \cdot 1,0;\quad 9,5 + 1,5 \cdot 1,0} \right] = \left[ {7,0;\quad 11,0} \right]\).

Giá trị \(0,5 < 7,0\) nên \(0,5\) là giá trị ngoại lệ của tổ B.

So sánh lại sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ \(0,5\) của tổ B:

Mẫu số liệu tổ B mới gồm 10 học sinh có điểm:

\(7,0;\quad 8,5;\quad 9,0;\quad 9,0;\quad 9,0;\quad 9,5;\quad 9,5;\quad 9,5;\quad 9,8;\quad 10,0\).

Số trung bình mới của tổ B là: \({\bar x_B}^\prime = \frac{{91,3 - 0,5}}{{10}} = \frac{{90,8}}{{10}} = 9,08\).

Vì \[{\bar x_B}^\prime = 9,08 > 8,30 = {\bar x_A}\], nên sau khi loại bỏ giá trị ngoại lệ, điểm kiểm tra của các học sinh tổ B cao hơn điểm kiểm tra của các học sinh tổ A.

a) Vì là tam giác đều cạnh \(a\) nên \(AB = AC = a\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) là: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = {a^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

b) Từ giả thiết \(EA = 2EC\) và \(E \in AC\), ta có \(\overrightarrow {AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

Từ giả thiết \(FB = 4FC\) và \(F \in BC\), ta có \(BF = \frac{4}{5}BC\), suy ra \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \).

Biểu diễn \(\overrightarrow {BE} \) và \(\overrightarrow {AF} \) theo hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):

\(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \);

\(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \).

Xét tích vô hướng \(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} \):

\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} = \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \frac{2}{{15}}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{8}{{15}}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{5}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{4}{5}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \)

\( = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{8}{{15}}{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} - \frac{1}{5}{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}\).

Thay \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\) và \({\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = {a^2}\) vào biểu thức:

\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} = - \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + \frac{8}{{15}}{a^2} - \frac{1}{5}{a^2}\)\( = - \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{15}}{a^2} - \frac{1}{5}{a^2} = \left( { - \frac{5}{{15}} + \frac{8}{{15}} - \frac{3}{{15}}} \right){a^2} = 0\).

Vì \(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} = 0\) nên \(BE \bot AF\).