Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Tây Thạnh (TP.HCM) có đáp án
21 câu hỏi
PHẦN I. (3.0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp con của tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\mid - 3 \le x < 2} \right\}\)?
\(\left\{ { - 1;0;3} \right\}\).
\(\left\{ {0;1;2} \right\}\).
\(\left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}\).
\(\left\{ { - 4; - 3; - 2} \right\}\).
Chọn C
Có \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}\mid - 3 \le x < 2} \right\} = \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\} \Rightarrow \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\} \subset A\).
\(20\).
\(\frac{{20\sqrt 3 }}{3}\).
\(10\).
\(\frac{{10\sqrt 3 }}{3}\).
Chọn A
Theo định lý sin có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow 2R = \frac{{10}}{{\sin 30^\circ }} = 20\).
\( - \frac{1}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 8 }}{3}\).
\(\frac{1}{3}\).
\( - \frac{{\sqrt 8 }}{3}\).
Chọn C
Có \(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha = \frac{1}{3}\).
Điểm kiểm tra 15 phút môn Toán của một nhóm học sinh được thống kê như sau:
\(\left\{ {7;8;6;9;7;8;10;6;5;7;8;8;6;9;7;8;10;6;6;7;8} \right\}\)
Mốt của mẫu số liệu này là:
\(7\).
\(7{\rm{\;v\`a \;}}\,\,8\).
\(8\).
\(6\).
Chọn C
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: \(5;6;6;6;6;6;7;7;7;7;7;8;8;8;8;8;8;9;9;10;10\).
Số \(8\) xuất hiện nhiều nhất (\(6\) lần) nên \({M_0} = 8\).
Diện tích \(S = \frac{1}{2}bc\cos A\).
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\).
\({b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B\).
\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\).
Chọn A
Công thức đúng là \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\).
\(\overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AD} \).
Chọn A
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = - \overrightarrow {CD} \).
\(\left( { - \infty ;2} \right]\).
\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
\(\left[ {5; + \infty } \right)\).
\(\left( {2;5} \right]\).
Chọn B
Ta có \(A \cup B = \left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \).
\(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \).
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \).
Chọn B
Theo quy tắc 3 điểm: \(\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \).
\(20x + 10y > 150\).
\(20x + 10y < 150\).
\(20x + 10y \le 150\).
\(20x + 10y \ge 150\).
Chọn D
Số người xe A chở tối đa \(20x\), xe B chở tối đa \(10y \Rightarrow 20x + 10y \ge 150\).
\(2000\sqrt 3 {\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
\(4000{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
\(2000{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
\(4000\sqrt 3 {\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
Chọn A
Ta có \(S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 100 \cdot \sin 60^\circ = 2000\sqrt 3 {\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
Hệ bất phương trình nào sau đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + y \le 1}\\{x - 2y < 0}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \cdot y \le 2}\\{x + 4y \ge 7}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + y \le 5}\\{x - y > 1}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} + 5{y^2} < 3}\\{{x^2} - 4{y^2} \le 0}\end{array}} \right.\).
Chọn A
Cho mẫu thống kê \(3;4;5;6;6;7;9;9;12;18;20\). Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) của mẫu số liệu trên là:
\(15\).
\(12\).
\(10\).
\(13\).
Chọn B
Mẫu số liệu đã cho gồm 11 số liệu đã được xếp theo thứ tự không giảm nên \({Q_3} = 12\).
PHẦN II. (4.0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Các phát biểu sau đúng hay sai?
Hàm số \(g\left( x \right) = 2x - 5\) có tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
Hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\) nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {x - 2} + 3}}{{{x^2} + 1}}\) là \(D = \left( {2; + \infty } \right)\).
Khi \(m \in \left( { - 7;7} \right)\) thì hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2m + 3\) có giá trị nhỏ nhất trên \(\left[ {2;5} \right]\) bằng \( - 3\).
a) ĐÚNG. Hàm số \(g\left( x \right) = 2x - 5\) có tập xác định và tập giá trị đều là \(\mathbb{R}\).
b) SAI. Đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x + 2\) là parabol có đỉnh \(\left( { - 1;1} \right)\) và hệ số \(a = 1 > 0\) nên hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
c) SAI. Hàm số xác định khi và chỉ khi .
d) SAI. Hàm số \(y = {x^2} - 2x + 2m + 3\) có hệ số \(a = 1 > 0\) và \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 1\) nên hàm số này đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\), mà \(\left[ {2;5} \right] \subset \left( {1; + \infty } \right)\) nên trên đoạn \(\left[ {2;5} \right]\), hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = 2\).
Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;5} \right]} y = y\left( 2 \right) = 2m + 3\). Cho \(2m + 3 = - 3 \Rightarrow m = - 3\).
Hai vectơ \(\overrightarrow {BI} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với nhau.
\(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} } \right| = 2\sqrt 5 \).
Giá trị của biểu thức \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} \) bằng \(\frac{{28}}{9}\).
Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) là \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).
a) ĐÚNG. Hai vectơ \(\overrightarrow {BI} \) và \(\overrightarrow {AB} \) có giá đều là đường thẳng \(AB\) nên cùng phương.
b) SAI. Ta có \(I\) là trung điểm \(AB\) nên \(\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {AI} = \overrightarrow 0 \).
Áp dụng đinh lý Pythagore ta tính được \(IC = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \).
Vậy \(\left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} \left| = \right|\overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} \left| { = 2} \right|\overrightarrow {IC} } \right| = 2IC = 2\sqrt {10} \).
c) ĐÚNG. Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).
Vậy \(P = \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( { - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)
\( = \frac{2}{3}\left( { - \frac{1}{3}A{B^2} + \frac{2}{3}A{C^2}} \right) = \frac{2}{3}\left( { - \frac{1}{3} \cdot {2^2} + \frac{2}{3} \cdot {3^2}} \right) = \frac{{28}}{9}\) (do \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\)).
d) SAI. Biểu diễn đúng là \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).
PHẦN III. (3.0 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.
Cho \(A = \left[ { - 5;1} \right]\) và \(B = \left( { - 3;2} \right)\). Tập hợp \(A \cup B\) chứa bao nhiêu số nguyên âm?
Ta có \(A \cup B = \left[ { - 5;2} \right)\). Các số nguyên âm gồm: \(\left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\).
Kết quả:\(5\).
Một doanh nghiệp tư nhân chuyên kinh doanh tủ lạnh các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh tủ lạnh Hitachi với chi phí mua vào một chiếc là \(27\) triệu đồng và bán ra với giá là \(31\) triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng tủ lạnh mà khách hàng sẽ mua trong một năm là \(600\) chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng tủ lạnh đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm \(0,5\) triệu đồng mỗi chiếc tủ lạnh thì số lượng tủ lạnh bán ra trong một năm sẽ tăng thêm \(100\) chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới bao nhiêu triệu đồng để sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất?
Gọi \(x\) (\(27 < x < 31\)) là giá bán mới (triệu đồng).
Số lượng tủ lạnh bán tăng thêm: \(\frac{{31 - x}}{{0,5}} \cdot 100 = 6200 - 200x\).
Lợi nhuận: \(T = \left( {x - 27} \right)\left( {600 + 6200 - 200x} \right) = \left( {x - 27} \right)\left( {6800 - 200x} \right) = - 200{x^2} + 12200x - 171400\).
Ta có \(x = \frac{{ - 12200}}{{2 \cdot \left( { - 200} \right)}} = 30,5\). Bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \(\left( {27;31} \right)\):
Theo bảng biến thiên để lợi nhuận cao nhất thì giá bán sẽ là \(30,5\) triệu đồng một chiếc.
Kết quả:\(30,5\).
Bác An dự định trồng dư lê và dưa vàng trên đất nông nghiệp. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng dưa lê thì cần \(20\) công và thu được tiền lãi là \(30\) triệu đồng, nếu trồng dưa vàng thì cần \(30\) công và thu được tiền lãi là \(40\) triệu đồng. Nếu bác An có \(8{\rm{\;ha}}\) đất nông nghiệp và tối đa \(180\) công thợ thì bác An có thể lãi được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng?
Gọi \(x,y \ge 0\) lần lượt là diện tích dưa lê và dưa vàng (đơn vị: ha).
Ta có hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y \le 8}\\{20x + 30y \le 180}\\{x \ge 0,y \ge 0}\end{array}} \right.\).
Tiền lãi: \(T = 30x + 40y\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OBCD\) với \(O\left( {0;0} \right),B\left( {0;6} \right),C\left( {6;2} \right),D\left( {8;0} \right)\).
- Tại \(B\left( {0;6} \right) \Rightarrow {T_B} = 240\) triệu đồng.
- Tại \(C\left( {6;2} \right) \Rightarrow {T_C} = 260\) triệu đồng.
- Tại \(D\left( {8;0} \right) \Rightarrow {T_D} = 240\) triệu đồng.
Vậy bác An lãi nhiều nhất là \(260\) triệu đồng khi trồng 6 ha dưa lê và 2 ha dưa vàng.
Kết quả:\(260\).
Để kéo dây điện từ cột điện vào nhà phải qua một cái ao, anh Nam không thể đo độ dài dây diện cần mua trực tiếp được nên đã làm như sau: Lấy một điểm \(B\) như trong hình, người ta đo được độ dài từ \(B\) đến \(A\) (nhà) là 15 m, từ \(B\) đến \(C\) (cột điện) là 18 m và \(\widehat {ABC} = 120^\circ \). Hãy tính độ dài dây điện nối từ nhà ra đến cột điện (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét).
Áp dụng định lý côsin ta có:
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)\( = {15^2} + {18^2} - 2 \cdot 15 \cdot 18 \cdot \cos 120^\circ = 819 \Rightarrow AC \approx 29{\rm{\;m}}\).
Kết quả:\(29\).
PHẦN IV. (3.0 điểm) Tự luận.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(y = - {x^2} + 2x - 1\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Đồ thị hàm số là parabol có bề lõm hướng xuống dưới và đỉnh \(I\left( {1;0} \right)\), trục đối xứng \(x = 1\).
Bảng biến thiên:
Hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Bảng giá trị:
x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
\(y\) | \( - 4\) | \( - 1\) | \(0\) | \( - 1\) | \( - 4\) |
Đồ thị:
Cho bảng số liệu sau.
Giá trị | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Tần số | \(4\) | \(14\) | \(6\) | \(8\) | \(8\) | \(5\) |
Tính giá trị trung bình, trung vị, khoảng tứ phân vị và phương sai của mẫu số liệu (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Cỡ mẫu: \(n = 45\).
Giá trị trung bình: \(\bar x = \frac{{5 \cdot 4 + 6 \cdot 14 + 7 \cdot 6 + 8 \cdot 8 + 9 \cdot 8 + 10 \cdot 5}}{{45}} = \frac{{334}}{{45}} \approx 7,4\).
Trung vị: \({M_e} = {x_{23}} = 7\).
Ta có \({Q_1} = \frac{1}{2}\left( {{x_{11}} + {x_{12}}} \right) = 6\), \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{34}} + {x_{35}}} \right) = 9\).
Khoảng tứ phân vị: \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 9 - 6 = 3\).
Phương sai: \({s^2} = \frac{{4{{\left( {5 - \bar x} \right)}^2} + 14{{\left( {6 - \bar x} \right)}^2} + 6{{\left( {7 - \bar x} \right)}^2} + 8{{\left( {8 - \bar x} \right)}^2} + 8{{\left( {9 - \bar x} \right)}^2} + 5{{\left( {10 - \bar x} \right)}^2}}}{{45}} \approx 2,4\).
Cho \({\rm{\Delta }}ABC\) có trọng tâm \(G\). Gọi \(I\) là điểm sao cho \(B\) là trung điểm của \(AI\) và \(J\) là điểm trên cạnh \(AC\) sao cho \(AJ = \frac{2}{5}AC\).
a) Chứng minh \(\overrightarrow {IJ} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} - 2\overrightarrow {AB} \).
b) Biểu diễn \(\overrightarrow {IG} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
a) Ta có .
b) Với \(M\) là trung điểm \(BC\) và \(G\) là trọng tâm \({\rm{\Delta }}ABC\) thì \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {IG} = \overrightarrow {AG} - \overrightarrow {AI} = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) - 2\overrightarrow {AB} = - \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \).
