Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Thị Minh Khai (TP.HCM) có đáp án
14 câu hỏi
PHẦN A. TRẮC NGHIỆM (GỒM PHẦN I VÀ PHẦN II)
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời trên phần I của phiếu trả lời trắc nghiệm từ câu 1 đến câu 8. Mỗi câu hỏi, học sinh chỉ tô một đáp án duy nhất tương ứng với đáp án A, B, C, D. (0.5 ´ 8 = 4 điểm)
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}\) là
\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
\(\left[ {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\).
\(\left[ {0; + \infty } \right)\).
\(\left( {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}\) xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right.\), tức là \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\).
\( \Rightarrow \) Chọn B.
\(\sqrt {129} \).
\(129\).
\(49\).
\(7\).
Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(ABC\) tại đỉnh \(C\), ta có: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C\).
Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\(A{B^2} = {8^2} + {5^2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49\).
Suy ra \(AB = \sqrt {49} = 7\).
\( \Rightarrow \) Chọn D.
Nếu \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng hướng thì \(\left( {\vec a,\vec b} \right) = 180^\circ \).
Nếu \(\exists k \in \mathbb{R}\) sao cho \(\vec a = k\vec b\) thì \(\vec a\) và \(\vec b\) cùng phương.
\(\left| {\vec a + \vec b\left| = \right|\vec a\left| + \right|\vec b} \right|\).
Nếu \(\vec a \cdot \vec b = 0\) thì \(\vec a = - \vec b\).
A sai vì hai vectơ cùng hướng thì góc giữa chúng bằng \(0^\circ \) (nếu ngược hướng mới bằng \(180^\circ \)).
B đúng theo định lý về điều kiện để hai vectơ cùng phương: Điều kiện cần và đủ để hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) (\(\vec b \ne \vec 0\)) cùng phương là có số thực \(k\) sao cho \(\vec a = k\vec b\).
C sai vì đẳng thức \(\left| {\vec a + \vec b\left| = \right|\vec a\left| + \right|\vec b} \right|\) chỉ xảy ra khi hai vectơ \(\vec a,\vec b\) cùng hướng.
D sai vì nếu \(\vec a \cdot \vec b = 0\) thì hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) vuông góc với nhau (\(\vec a \bot \vec b\)).
\( \Rightarrow \) Chọn B.
Hàm số nào trong các hàm số được cho sau đây là hàm số bậc hai?
\(y = 8{x^4} - 5{x^2} + 1\).
\(y = 3{x^3} + 2x + 1\).
\(y = - 3{x^2} - 1\).
\(y = 5{x^2} + \sqrt x + 2\).
Hàm số bậc hai có dạng tổng quát là \(y = a{x^2} + bx + c\) với các hệ số \(a,b,c \in \mathbb{R}\) và \(a \ne 0\).
Hàm số \(y = - 3{x^2} - 1\) có \(a = - 3 \ne 0\), \(b = 0\), \(c = - 1\) nên đây là hàm số bậc hai.
\( \Rightarrow \) Chọn C.
\({Q_3} - {Q_1}\).
\({Q_2} - {Q_1}\).
\({Q_3} - {Q_2}\).
\(\frac{{{Q_1} + {Q_3}}}{2}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (kí hiệu là \({{\rm{\Delta }}_Q}\)) là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\), ta có \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
\( \Rightarrow \) Chọn A.
\(S = \frac{{abc}}{4}\).
\(S = \frac{1}{2}ab\sin B\).
\(S = \frac{1}{2}ab\sin C\).
\(S = \frac{1}{2}ac\sin A\).
Công thức tính diện tích tam giác theo hai cạnh và góc kẹp giữa hai cạnh đó là:
\(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ca\sin B\)
Do đó công thức đúng trong các đáp án cho trước là \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\).
\( \Rightarrow \) Chọn C.
\(225\).
\(175\).
\(25\).
\(75\).
Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\):
\(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = 5 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = 25 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{{25}}{2}\).
Khai triển hằng đẳng thức bình phương vô hướng:
\({\left( {\vec a + 2\vec b} \right)^2} = {\vec a^2} + 4\vec a \cdot \vec b + 4{\vec b^2} = \left| {\vec a} \right|{^2} + 4\left( {\vec a \cdot \vec b} \right) + 4\left| {\vec b} \right|{^2}\)\( = {5^2} + 4 \cdot \left( { - \frac{{25}}{2}} \right) + 4 \cdot {5^2} = 75\).
\( \Rightarrow \) Chọn D.
\(N\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).
\(Q\left( { - 1;3} \right)\).
\(M\left( {0;1} \right)\).
\(P\left( {1; - 1} \right)\).
Thay tọa độ các điểm vào công thức hàm số \(y = 2x - 1\):
Tọa độ điểm \(N\left( {\frac{1}{2};0} \right)\): Thay \(x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0\) (Thỏa mãn).
\( \Rightarrow \) Chọn A.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời trên phần II của phiếu trả lời trắc nghiệm từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh tô vào ô tương ứng với đáp án đúng hoặc sai.
(1 ´ 2 = 2 điểm)
Cho hình thoi \(ABCD\) có tâm \(O\), cạnh bằng \(a\) và \(\widehat {ABD} = 60^\circ \).
\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\).
\(\left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} } \right| = a\sqrt 3 \).
\(\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {CD} = \frac{{3{a^2}}}{4}\).
Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = AD = a\). Tam giác \(ABD\) cân tại \(A\) có \(\widehat {ABD} = 60^\circ \) nên là tam giác đều cạnh \(a\). Suy ra: \(BD = a\), đường cao \(AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = 2AO = a\sqrt 3 \).
a) Sai. Theo quy tắc trừ vectơ chung gốc: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC} \).
b) Đúng. Vì \(O\) là tâm hình thoi \(ABCD\) nên \(O\) là trung điểm \(AC\) và \(BD\).
Do đó: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \vec 0\) và \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \vec 0\).
c) Đúng. Theo quy tắc hình bình hành áp dụng cho hình thoi: \(\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CA} \).
Độ dài: \(\left| {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CD} \left| = \right|\overrightarrow {CA} } \right| = CA = a\sqrt 3 \).
d) Sai. Vì \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} = - \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {AB} \).
Trong tam giác đều \(ABD\) có \(\widehat {OAB} = 30^\circ \), ta có: \(\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {AB} = AO \cdot AB \cdot \cos 30^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \cdot a \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}}}{4}\).
Do đó: \(\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {CD} = - \frac{{3{a^2}}}{4}\) (đáp án của đề bài đưa ra \(\frac{{3{a^2}}}{4}\) là thiếu dấu âm).
Kết quả bài thi môn Toán của các bạn học sinh tổ 1 được thống kê ở bảng Thân - Lá sau:
6 | 7 | 8 | 7 | 9 |
5 | 8 | 8 | 9 | 10 |
7 | 8 | 3 | 9 | 8 |
Mốt của mẫu số liệu trên là 10.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 7.
Mẫu số liệu trên có 2 giá trị ngoại lệ.
Sau khi bỏ đi các giá trị ngoại lệ, điểm thi trung bình của mẫu số liệu trên là 7,8 (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
Sắp xếp dãy số liệu gồm \(n = 15\) giá trị theo thứ tự không giảm: \(3;\;5;\;6;\;7;\;7;\;7;\;8;\;8;\;8;\;8;\;8;\;9;\;9;\;9;\;10\).
a) Sai. Giá trị xuất hiện nhiều nhất là \(8\) (xuất hiện \(5\) lần), do đó Mốt (\({M_o}\)) \( = 8\), không phải \(10\).
b) Đúng. Khoảng biến thiên: \(R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 10 - 3 = 7\).
c) Sai. Xác định các tứ phân vị:
Trung vị \({Q_2}\) là giá trị ở vị trí thứ \(8\): \({Q_2} = 8\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là trung vị của nửa số liệu dưới (\(3,5,6,7,7,7,8\)): \({Q_1} = 7\).
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là trung vị của nửa số liệu trên (\(8,8,8,9,9,9,10\)): \({Q_3} = 9\).
Khoảng tứ phân vị: \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 9 - 7 = 2\).
Xác định giá trị ngoại lệ:
Ta có \({Q_1} - 1,5 \cdot \Delta Q = 7 - 1,5 \cdot 2 = 4\) và \({Q_3} + 1,5 \cdot \Delta Q = 9 + 1,5 \cdot 2 = 12\).
Một giá trị được coi là ngoại lệ nếu bé hơn \(4\) hoặc lớn hơn \(12\). Trong mẫu số liệu chỉ có duy nhất \(1\) giá trị ngoại lệ là \(3\) (vì \(3 < 4\)).
d) Đúng. Sau khi bỏ đi giá trị ngoại lệ là \(3\), mẫu còn lại \(14\) giá trị với tổng là:
\(5 + 6 + \left( {7 \cdot 3} \right) + \left( {8 \cdot 5} \right) + \left( {9 \cdot 3} \right) + 10 = 109\).
Điểm thi trung bình mới: \(\bar x = \frac{{109}}{{14}} \approx 7,7857 \approx 7,8\).
PHẦN B. TỰ LUẬN. Học sinh trả lời trên giấy làm bài từ bài 1 đến bài 4. (1 ´ 4 = 4 điểm)
(1,0 điểm) Tìm công thức hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\;\left( {a \ne 0} \right)\), biết rằng đồ thị của nó là một parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh \(S\left( {2; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {0;3} \right)\).
Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(A\left( {0;3} \right)\) nên thay \(x = 0,y = 3\) vào công thức hàm số, ta được: \(c = 3\).
Vì \(\left( P \right)\) có đỉnh \(S\left( {2; - 1} \right)\) nên hoành độ và tung độ của đỉnh \(S\) thỏa mãn: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{b}{{2a}} = 2}\\{4a + 2b + c = - 1}\end{array}} \right.\).
Thay \(c = 3\) vào hệ phương trình trên, ta có hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = - 4a}\\{4a + 2b = - 4}\end{array}} \right.\)
Giải hệ phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy công thức hàm số bậc hai cần tìm là: \(y = {x^2} - 4x + 3\).
(1,0 điểm) Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 4\) và \(AD = 3\). Tính \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} \).
Ta có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) (quy tắc hình bình hành) và \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu).
Tính tích vô hướng: \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right) = {\overrightarrow {AD} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2}\)\( = A{D^2} - A{B^2} = {3^2} - {4^2} = - 7\).
Vậy \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} = - 7\).
(1,0 điểm) Một hộ gia đình trả tiền điện theo bảng giá như sau:
Mức tiêu thụ điện (kWh) | Đơn giá (đồng/kWh) |
Đến \(50{\rm{\;kWh}}\) | \(1\,800\) |
Trên \(50{\rm{\;kWh}}\) đến \(100{\rm{\;kWh}}\) | \(2300\) |
Trên \(100{\rm{\;kWh}}\) | \(3000\) |
Ngoài ra, mỗi tháng còn phải trả \(10\,000\) đồng phí bảo trì công tơ.
a) Thiết lập hàm số \(C\left( x \right)\) (đơn vị: đồng) biểu diễn tổng số tiền điện phải trả mỗi tháng theo mức điện tiêu thụ \(x\) (đơn vị: kWh).
b) Tính tổng số tiền điện hộ gia đình phải trả (đơn vị: đồng) nếu tháng đó tiêu thụ \(120{\rm{\;kWh}}\).
(Lưu ý: Tổng số tiền điện phải trả mỗi tháng bao gồm tiền trả theo mức điện tiêu thụ và phí bảo trì công tơ)
a) Tiền điện phụ thuộc theo các bậc tiêu thụ và cộng thêm phí bảo trì:
Bậc 1: Khi \(0 \le x \le 50\), tiền điện tính theo đơn giá \(1\,800\) đồng/kWh nên \(C\left( x \right) = 1800x + 10000\).
Bậc 2: Khi \(50 < x \le 100\), tiền điện gồm \(50{\rm{\;kWh}}\)bậc 1 (\(50 \times 1800 = 90000\) đồng), số điện còn lại \(\left( {x - 50} \right)\) tính giá \(2\,300\) đồng/kWh và phí bảo trì nên \(C\left( x \right) = 10000 + 50 \times 1800 + 2300\left( {x - 50} \right) = 2300x - 15000\).
Bậc 3: Khi \(x > 100\), tiền điện gồm \(50{\rm{\;kWh}}\)bậc 1 (\(90000\) đồng), \(50{\rm{\;kWh}}\) bậc 2 (\(50 \times 2300 = 115000\) đồng), phần vượt quá \(100{\rm{\;kWh}}\) là \(\left( {x - 100} \right)\) tính giá \(3\,000\) đồng/kWh và phí bảo trì nên
\(C\left( x \right) = 10000 + 90000 + 115000 + 3000\left( {x - 100} \right) = 3000x - 85000\).
Như vậy \(C\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1800x + 10000}&{\,{\rm{khi}}\,\,0 \le x \le 50\,\,\,\,\,\,}\\{2300x - 15000}&{{\rm{khi\;}}\,\,50 < x \le 100}\\{3000x - 85000}&{{\rm{khi}}\,{\rm{\;}}\,x > 100\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\).
b) Tính tiền điện khi \(x = 120{\rm{\;kWh}}\):
Vì \(x = 120 > 100\), ta áp dụng công thức bậc 3: \(C\left( {120} \right) = 3000 \times 120 - 85000 = 275000\) (đồng).
Vậy tổng số tiền điện hộ gia đình phải trả là \(275\,000\) đồng.
(1,0 điểm) Công ty X đang triển khai dự án mái che tại công viên trung tâm. Kiến trúc sư đề xuất thiết kế mái che có dạng tam giác \(ABC\) nội tiếp được trong một đường tròn có bán kính \(R = 7{\rm{m}}\). Do yêu cầu về hướng đón nắng tại đỉnh \(A\) nên \(\widehat {BAC}\) cố định bằng \(75^\circ \). Chủ đầu tư mong muốn diện tích mái che lớn nhất có thể trong điều kiện trên. Biết giá loại bạt chuyên dụng nhập khẩu để làm mái che là \(450\,000{\rm{\;VND/}}{{\rm{m}}^2}\), hãy tính chi phí tối đa để làm mái che (kết quả tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến hàng phần mười).
Đặt \(BC = a,AC = b,AB = c\).
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\), ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow a = 2R\sin A = 2 \cdot 7 \cdot \sin 75^\circ = 14 \cdot \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{4} = \frac{{7\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}}{2}{\rm{\;(m)}}\).
Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ABC\), ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {\left( {b - c} \right)^2} + 2bc\left( {1 - \cos A} \right)\).
Vì \({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(b,c\) nên \({a^2} \ge 2bc\left( {1 - \cos A} \right) \Rightarrow bc \le \frac{{{a^2}}}{{2\left( {1 - \cos A} \right)}}\).
Công thức diện tích tam giác \(ABC\): \(S = \frac{1}{2}bc\sin A \le \frac{1}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{{2\left( {1 - \cos A} \right)}} \cdot \sin A = \frac{{{a^2}\sin A}}{{4\left( {1 - \cos A} \right)}}\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(b = c\) (tam giác \(ABC\) cân tại \(A\)).
Thay số với \(a = \frac{{7\left( {\sqrt 6 + \sqrt 2 } \right)}}{2} \Rightarrow {a^2} = 49\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\) thì \({S_{{\rm{max}}}} = \frac{{49\left( {2 + \sqrt 3 } \right) \cdot \sin 75^\circ }}{{4\left( {1 - \cos 75^\circ } \right)}} \approx 59,531{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
Giá tiền \(1{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) bạt là \(450\,000{\rm{\;}}\) đồng, tức là \(0,45\) triệu đồng.
Chi phí tối đa làm mái che là: \({T_{{\rm{max}}}} = {S_{{\rm{max}}}} \times 0,45 \approx 59,531 \times 0,45 \approx 26,8\) (triệu đồng).
