Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Du (TP.HCM) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM 4 PHƯƠNG ÁN. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai \(y = - 2{x^2} - x - 5\) trên \(\left[ { - 4; - 1} \right]\) là
\( - 35\).
\( - 33\).
\( - 39\).
\( - 30\).
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = - 2{x^2} - x - 5\) trên đoạn \(\left[ { - 4; - 1} \right]\).
Hoành độ đỉnh của parabol là: \({x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 1}}{{2 \cdot \left( { - 2} \right)}} = - \frac{1}{4}\).
Do \( - \frac{1}{4} \notin \left[ { - 4; - 1} \right]\) và \(a = - 2 < 0\), hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ { - 4; - 1} \right]\).
Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút:
\(f\left( { - 4} \right) = - 2 \cdot {\left( { - 4} \right)^2} - \left( { - 4} \right) - 5 = - 32 + 4 - 5 = - 33\);
\(f\left( { - 1} \right) = - 2 \cdot {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) - 5 = - 2 + 1 - 5 = - 6\).
Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 4; - 1} \right]\) là \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4; - 1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 4} \right) = - 33\).
Chọn B.
Nhà trường thống kê điểm thi môn Văn của tất cả học sinh khối 10 trong kì thi khảo sát chất lượng. Kết quả thống kê bằng bảng dưới đây.
Điểm số | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
Số học sinh | 4 | 12 | 31 | 113 | 75 | 2 | 5 |
Tính điểm trung bình cộng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?
\(6,1\).
\(8,1\).
\(7,6\).
\(7,1\).
Tổng số học sinh là: \(N = 4 + 12 + 31 + 113 + 75 + 2 + 5 = 242\).
Điểm trung bình cộng là: \(\bar x = \frac{{4 \cdot 4 + 5 \cdot 12 + 6 \cdot 31 + 7 \cdot 113 + 8 \cdot 75 + 9 \cdot 2 + 10 \cdot 5}}{{242}}\)\( = \frac{{1721}}{{242}} \approx 7,11157\).
Làm tròn đến hàng phần mười ta được \(\bar x \approx 7,1\).
Chọn D.
\(\left( { - 3; - 2} \right)\).
\(\emptyset \).
\(\left[ { - 6; - 2} \right)\).
\(\left[ { - 6;0} \right]\).
Tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\mid - 6 \le x < - 3} \right\}\).
Tập hợp \(B = \left\{ {x \in \mathbb{R}\mid - 2 < x \le 0} \right\}\).
Vì \( - 3 < - 2\) nên hai khoảng \(\left[ { - 6; - 3} \right)\) và \(\left( { - 2;0} \right]\) không có phần tử chung.
Vậy \(A \cap B = \emptyset \).
Chọn B.
Hãy viết số quy tròn của số gần đúng \(a = 136738 \pm 40000\).
\(140000\).
\(100000\).
\(0\).
\(136738\).
Độ chính xác \(d = 40000\) có chữ số hàng cao nhất là hàng chục nghìn.
Do đó, ta quy tròn số \(a = 136738\) đến hàng trăm nghìn.
Chữ số ở hàng chục nghìn của \(a\) là \(3 < 5\), nên số quy tròn của \(a\) là \(100000\).
Chọn B.
\(8a\).
\(8\sqrt 2 a\).
\(18\sqrt 6 a\).
\(24a\).
Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {NP} \) chính là độ dài đoạn thẳng \(NP\).
Vì \(MNPQ\) là hình vuông cạnh \(8a\) nên \(NP = 8a\).
Do đó, \(\left| {\overrightarrow {NP} } \right| = NP = 8a\).
Chọn A.
Cho tam giác \(ABC\) có \(a = 6\), \(\hat A = 44^\circ \), \(\hat B = 46^\circ \). Độ dài cạnh \(c\) bằng (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
\(4,4\).
\(3,0\).
\(2,3\).
\(8,6\).
Số đo góc \(\hat C\) là: \(\hat C = 180^\circ - \left( {\hat A + \hat B} \right) = 180^\circ - \left( {44^\circ + 46^\circ } \right) = 90^\circ \).
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\).
Cạnh \(a = BC = 6\), \(\hat A = 44^\circ \).
Độ dài cạnh \(c = AB\) (cạnh huyền) được tính bằng: \(c = \frac{a}{{\sin A}} = \frac{6}{{\sin 44^\circ }} = 8,637...\)
Làm tròn đến hàng phần mười ta được \(c \approx 8,6\).
Chọn D.
Trong các hàm số sau hàm số nào xác định trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = \sqrt {x + 4} \).
\(y = \frac{1}{{\sqrt { - 3x - 4} }}\).
\(y = {x^4} - 4{x^3} - 3\).
\(y = \frac{{ - 3x - 1}}{{3 - 4x}}\).
- Hàm số \(y = \sqrt {x + 4} \) xác định khi \(x + 4 \ge 0 \Rightarrow x \ge - 4\), tập xác định \(D = \left[ { - 4; + \infty } \right)\).
- Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt { - 3x - 4} }}\) xác định khi \( - 3x - 4 > 0 \Rightarrow x < - \frac{4}{3}\), tập xác định \(D = \left( { - \infty ; - \frac{4}{3}} \right)\).
- Hàm số đa thức \(y = {x^4} - 4{x^3} - 3\) xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\), tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
- Hàm số \(y = \frac{{ - 3x - 1}}{{3 - 4x}}\) xác định khi \(3 - 4x \ne 0 \Rightarrow x \ne \frac{3}{4}\), tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{3}{4}} \right\}\).
Chọn C.
\(\vec a \cdot \vec v = 50\).
\(\vec a \cdot \vec v = - 25\).
\(\vec a \cdot \vec v = 0\).
\(\vec a \cdot \vec v = 25\sqrt 3 \).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec v\) là:
\(\vec a \cdot \vec v = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec v} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec v} \right)\)\( = 5 \cdot 10 \cdot \cos 120^\circ = 50 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 25\).
Chọn B.
\(\frac{1}{2}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
\(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
\(\sqrt 3 \).
Ta có \(\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn C.
\(15\).
\( - 117\).
\( - 15\).
\( - 97\).
Vì \(x = 5 \ge - 4\) nên ta áp dụng công thức \(f\left( x \right) = - 4{x^2} - 2x - 7\).
Ta có \(f\left( 5 \right) = - 4 \cdot {5^2} - 2 \cdot 5 - 7 = - 4 \cdot 25 - 10 - 7 = - 100 - 10 - 7 = - 117\).
Chọn B.
\(\exists x \in \mathbb{N}: - 10{x^2} + 7x \ge 7x - 5\).
\(\exists x \in \mathbb{N}: - 10{x^2} + 7x > 7x - 5\).
\(\exists x \in \mathbb{N}: - 10{x^2} + 7x < 7x - 5\).
\(\exists x \in \mathbb{N}: - 10{x^2} + 7x \le 7x - 5\).
Phủ định của ký hiệu \(\forall \) là \(\exists \), và phủ định của bất đẳng thức \( < \) là \( \ge \).
Do đó, mệnh đề phủ định của "\(\forall x \in \mathbb{N}: - 10{x^2} + 7x < 7x - 5\)" là: "\(\exists x \in \mathbb{N}: - 10{x^2} + 7x \ge 7x - 5\)".
Chọn A.
Tìm tọa độ đỉnh \(I\) của đồ thị hàm số \(y = - 4{x^2} - 4x + 2\).
\(I\left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\).
\(I\left( {1; - 6} \right)\).
\(I\left( { - 1;2} \right)\).
\(I\left( { - \frac{1}{2};3} \right)\).
Tọa độ đỉnh \(I\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a = - 4\), \(b = - 4\), \(c = 2\):
\({x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2 \cdot \left( { - 4} \right)}} = - \frac{1}{2}\)
\({y_0} = - 4 \cdot {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} - 4 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) + 2 = - 4 \cdot \frac{1}{4} + 2 + 2 = - 1 + 4 = 3\).
Vậy đỉnh \(I\) có tọa độ là \(I\left( { - \frac{1}{2};3} \right)\).
Chọn D.
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu hỏi học sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c,\left( {a \ne 0} \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới đây.
Đồ thị hàm số có hoành độ đỉnh bằng \( - 7\).
Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) thì hàm số đồng biến.
Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(x = - 1\) làm trục đối xứng.
Hàm số có hệ số \(a < 0\).
a) Sai. Từ bảng biến thiên, đỉnh của parabol có hoành độ \({x_0} = - 1\) và tung độ \({y_0} = - 7\).
b) Đúng. Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
Vì \(\left( {2; + \infty } \right) \subset \left( { - 1; + \infty } \right)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
c) Đúng. Trục đối xứng của parabol \(y = a{x^2} + bx + c\) luôn là đường thẳng đi qua đỉnh \(x = {x_0} = - 1\).
d) Sai. Do bề lõm hướng lên trên nên hệ số \(a > 0\).
Kết luận:
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai
Nửa chu vi tam giác \(ABC\) là \(p = 13,5{\rm{\;cm}}\).
\(\hat A = 72^\circ \) (kết quả làm tròn đến độ).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S = 35,08{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \(R = 6,13{\rm{\;cm}}\) (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ký hiệu \(c = AB = 8\), \(b = AC = 9\), \(a = BC = 10\).
a) Đúng. Nửa chu vi \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = \frac{{10 + 9 + 8}}{2} = \frac{{27}}{2} = 13,5{\rm{\;cm}}\).
b) Đúng. Theo định lý côsin trong tam giác \(ABC\), ta có \(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{9^2} + {8^2} - {{10}^2}}}{{2 \cdot 9 \cdot 8}} = \frac{5}{{16}}\).
Suy ra \(\hat A \approx 71,79^\circ \approx 72^\circ \).
c) Sai. Tính diện tích \(S\) bằng công thức Heron:
\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {13,5 \cdot \left( {13,5 - 10} \right) \cdot \left( {13,5 - 9} \right) \cdot \left( {13,5 - 8} \right)} \)\( \approx 34,197{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2} \approx 34,40{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).
Kết quả: \(34,20{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2} \ne 35,08{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).
d) Sai. Bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}} \approx 5,26{\rm{\;cm}}\).
Do \(5,26{\rm{\;cm}} \ne 6,13{\rm{\;cm}}\) nên ý d) sai.
Kết luận:
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BD} \).
\(\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {DI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {ID} \).
\(\overrightarrow {QC} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).
\(\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} } \right| = 17\sqrt 7 \).
a) Sai. Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} \).
Do đó \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BD} \) là Sai.
b) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = \vec 0\) vì \(I\) là trung điểm của \(AC\).
Do đó: \(\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {DI} + \overrightarrow {IC} = \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} } \right) - \overrightarrow {DI} = \vec 0 - \overrightarrow {DI} = \overrightarrow {ID} \).
c) Đúng. Vì \(Q\) là trung điểm \(AB\) và \(P\) là trung điểm \(CD\), ta có \(\overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {PC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).
Ta có: \(\overrightarrow {QC} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {QC} + \overrightarrow {PC} = \overrightarrow {QC} + \overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AQ} + \overrightarrow {QC} = \overrightarrow {AC} \).
Mặt khác \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Do đó \(\overrightarrow {QC} - \overrightarrow {CP} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \).
d) Đúng. Độ dài \(\left| {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \left| = \right|\overrightarrow {AC} } \right| = AC\).
Áp dụng định lý côsin trong tam giác \(ADC\):
Ta có \(AB = DC = 34\), \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {DAB} = 120^\circ \).
\(A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos \widehat {ADC}\)\( = {17^2} + {34^2} - 2 \cdot 17 \cdot 34 \cdot \cos 120^\circ \)\( = 2023\).
Suy ra \(AC = \sqrt {2023} = \sqrt {289 \cdot 7} = 17\sqrt 7 \).
Kết luận:
a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng
Một công ty may mặc có hai loại máy là máy cắt vải CNC và máy may công nghiệp để sản xuất hai loại sản phẩm áo sơ mi nam và quần tây nữ. Để sản xuất 1 cái áo sơ mi nam cần dùng máy cắt vải CNC trong 3 giờ và dùng máy may công nghiệp trong 2 giờ. Để sản xuất 1 cái quần tây nữ cần dùng máy cắt vải CNC trong 1 giờ và dùng máy may công nghiệp trong 1 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy cắt vải CNC làm việc không quá 9 giờ một ngày, máy may công nghiệp làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một cái áo sơ mi nam lãi 97 ngàn đồng và một cái quần tây nữ lãi 107 ngàn đồng. Gọi \(x,y\) lần lượt là số cái áo sơ mi nam và quần tây nữ cần sản xuất.
\(3x + y - 9 \le 0\).
\(2x + y - 8 \le 0\).
Với \(x = 1\), \(y = 10\) thì lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Lợi nhuận lớn nhất đạt được là 860 ngàn đồng.
Gọi \(x \ge 0,y \ge 0\) lần lượt là số áo sơ mi nam và quần tây nữ cần sản xuất (\(x,y \in \mathbb{N}\)).
a) Đúng. Thời gian sử dụng máy cắt CNC: \(3x + y \le 9 \Rightarrow 3x + y - 9 \le 0\).
b) Đúng. Thời gian sử dụng máy may công nghiệp: \(2x + y \le 8 \Rightarrow 2x + y - 8 \le 0\).
c) Sai. Cặp \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;10} \right)\) có \(3 \cdot 1 + 10 = 13 > 9\), không thỏa mãn hệ bất phương trình miền nghiệm.
d) Sai. Hàm lợi nhuận: \(F\left( {x;y} \right) = 97x + 107y\) (đơn vị: ngàn đồng).
Hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + y \le 9}\\{2x + y \le 8}\end{array}} \right.\).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),A\left( {3;0} \right),B\left( {1;6} \right),C\left( {0;8} \right)\).
Ta có \(F\left( {0;0} \right) = 0\); \(F\left( {3;0} \right) = 97 \cdot 3 = 291\); \(F\left( {1;6} \right) = 97 \cdot 1 + 107 \cdot 6 = 739\); \(F\left( {0;8} \right) = 107 \cdot 8 = 856\).
Lợi nhuận lớn nhất đạt được là \(856\) ngàn đồng (tại \(x = 0,y = 8\)).
Kết luận:
a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai
PHẦN III. TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một cửa hàng giày thể thao thống kê cỡ giày của 12 khách hàng nam vừa bán được trong ngày như sau:
\(38;39;39;40;40;41;42;42;42;43;43;44.\)
Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
Mẫu số liệu gồm \(n = 12\) giá trị đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm:
\({x_1} = 38,{x_2} = 39,{x_3} = 39,{x_4} = 40,{x_5} = 40,{x_6} = 41,{x_7} = 42,{x_8} = 42,{x_9} = 42,{x_{10}} = 43,{x_{11}} = 43,{x_{12}} = 44.\)
Trung vị \({Q_2}\) là trung bình cộng của 2 giá trị chính giữa (\({x_6}\) và \({x_7}\)): \({Q_2} = \frac{{{x_6} + {x_7}}}{2} = \frac{{41 + 42}}{2} = 41,5\).
Nửa số liệu dưới gồm 6 giá trị: \(38,39,39,40,40,41\).
Tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là trung vị của nửa dưới: \({Q_1} = \frac{{39 + 40}}{2} = 39,5\).
Nửa số liệu trên gồm 6 giá trị: \(42,42,42,43,43,44\).
Tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) là trung vị của nửa trên: \({Q_3} = \frac{{42 + 43}}{2} = 42,5\).
Khoảng tứ phân vị \({{\rm{\Delta }}_Q}\): \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 42,5 - 39,5 = 3\).
Đáp số:\(3\).
Lớp 10B có 29 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao và 9 học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc. Biết rằng có 6 học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ trên. Có bao nhiêu học sinh lớp 10B tham gia câu lạc bộ thể thao mà không tham gia câu lạc bộ âm nhạc?
Gọi \(A\) là tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao \( \Rightarrow n\left( A \right) = 29\).
Gọi \(B\) là tập hợp các học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc \( \Rightarrow n\left( B \right) = 9\).
Số học sinh tham gia cả hai câu lạc bộ là \(n\left( {A \cap B} \right) = 6\).
Số học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao mà không tham gia câu lạc bộ âm nhạc chính là số phần tử thuộc tập \(A\backslash B\). Ta có \(n\left( {A\backslash B} \right) = n\left( A \right) - n\left( {A \cap B} \right) = 29 - 6 = 23\).
Đáp số:\(23\).
Một công ty viễn thông tính phí 1,2 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2,4 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Giới hạn chi tiêu mỗi tháng cho cước viễn thông đặt ra là 210 nghìn đồng. Tính đến thời điểm hiện tại của tháng, người đó đã sử dụng 65 phút gọi nội mạng và 7 phút gọi ngoại mạng. Hỏi nếu từ bây giờ người đó không gọi nội mạng nữa, thì họ có thể gọi ngoại mạng tối đa thêm bao nhiêu phút?
Số tiền đã chi tiêu tính đến thời điểm hiện tại: (nghìn đồng).
Số tiền còn lại trong hạn mức chi tiêu: \({T_{{\rm{c\`o n\;}}}} = 210 - 94,8 = 115,2\) (nghìn đồng).
Gọi \(y\) là số phút gọi ngoại mạng tối đa có thể gọi thêm (\(y \ge 0\)).
Vì không gọi nội mạng thêm nữa, cước phí phát sinh chỉ từ gọi ngoại mạng:
\(2,4 \cdot y \le 115,2 \Rightarrow y \le \frac{{115,2}}{{2,4}} = 48\).
Do đó, người đó có thể gọi ngoại mạng tối đa thêm 48 phút.
Đáp số:\(48\).
Cho 12 đường tròn có cùng bán kính bằng 13 đặt tiếp xúc nhau như hình vẽ. Các điểm \(A,B\) và \(C\) là tâm của các đường tròn. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) của tam giác \(ABC\) (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Gọi \(r = 13\) là bán kính của mỗi đường tròn nhỏ.
Dựa vào lưới sắp xếp của các đường tròn tiếp xúc nhau:
- Điểm \(B\) và \(C\) nằm trên cùng một hàng ngang. Đoạn \(BC\) nối từ tâm \(B\) đến tâm \(C\) đi qua 3 khoảng cách giữa các tâm tiếp xúc, tương ứng với \(3 \times 2r = 6r = 6 \cdot 13 = 78\).
- Khoảng cách theo phương ngang giữa \(B\) và \(A\) là \(1 \times 2r = 2r = 26\).
- Khoảng cách theo phương đứng (chiều cao) giữa \(A\) và đường thẳng \(BC\) là \(2 \times 2r = 4r = 52\).
Xét hệ tọa độ vuông góc với \(B\left( {0;0} \right)\):
- Tọa độ \(B = \left( {0;0} \right)\).
- Tọa độ \(C = \left( {78;0} \right) \Rightarrow BC = 78\).
- Tọa độ \(A = \left( {26;52} \right)\).
Độ dài các cạnh của tam giác \(ABC\):
\(a = BC = 78\); \(c = AB = \sqrt {{{26}^2} + {{52}^2}} = 26\sqrt 5 \); \(b = AC = \sqrt {{{\left( {78 - 26} \right)}^2} + {{52}^2}} = 52\sqrt 2 \).
Diện tích tam giác \(ABC\): \(S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot {h_A} = \frac{1}{2} \cdot 78 \cdot 52 = 2028\).
Bán kính \(R\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là
\(R = \frac{{a \cdot b \cdot c}}{{4S}} = \frac{{78 \cdot 52\sqrt 2 \cdot 26\sqrt 5 }}{{4 \cdot 2028}}\)\( = 13\sqrt {10} = 41,1096...\).
Làm tròn đến hàng phần mười: \(R \approx 41,1\).
Đáp số:\(41,1\).
Bác Thành có một nông trại ao nuôi cá, mỗi ngày thu hoạch được \(2000{\rm{\;kg}}\) cá. Nếu bán cho thương lái với giá \(50\) nghìn đồng/kg thì hết cá, nếu giá bán cứ tăng thêm \(4\) nghìn đồng/kg thì số cá thừa sẽ tăng thêm \(20{\rm{\;kg}}\). Số cá thừa này được bán để làm thức ăn cho động vật với giá \(12\) nghìn đồng/kg. Hỏi Bác Thành phải bán với giá bao nhiêu nghìn đồng/kg để số tiền bán cá mỗi ngày đạt doanh thu nhiều nhất?
Gọi \(x\) là số lần tăng giá \(4\) nghìn đồng/kg (\(x \ge 0\)).
- Giá bán cá cho thương lái là: \(p = 50 + 4x\) (nghìn đồng/kg).
- Số cá thừa không bán được cho thương lái là: \(20x{\rm{\;(kg)}}\)
- Số cá bán được cho thương lái với giá \(p\) là: \(2000 - 20x{\rm{\;(kg)}}\).
- Số cá thừa được bán làm thức ăn động vật với giá \(12\) nghìn đồng/kg là: \(20x{\rm{\;(kg)}}\).
Tổng doanh thu thu được mỗi ngày là \(T\left( x \right)\):
\(T\left( x \right) = \left( {2000 - 20x} \right)\left( {50 + 4x} \right) + 20x \cdot 12\)\( = - 80{x^2} + 7240x + 100000\) (nghìn đồng).
Đây là một hàm số bậc hai dạng \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a = - 80 < 0\), do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:
\({x_0} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{7240}}{{2 \cdot \left( { - 80} \right)}} = \frac{{7240}}{{160}} = 45,25\).
Giá bán cá tương ứng cho thương lái để đạt doanh thu lớn nhất là:
\(p = 50 + 4 \cdot \left( {45,25} \right) = 50 + 181 = 231\) (nghìn đồng/kg).
Đáp số:\(231\).
Một bóng đèn có khối lượng \(m = 0,4{\rm{\;kg}}\) được treo cân bằng bởi hai sợi dây. Hai sợi dây này có chiều dài bằng nhau, được gắn vào cùng một điểm trên bóng đèn và hai đầu còn lại được gắn lên trần nhà. Biết rằng hai sợi dây hợp với nhau một góc \(46^\circ \). Tính lực căng của mỗi sợi dây, đơn vị N. Cho biết trọng lực tác dụng lên bóng đèn là \(\vec P = m\vec g\), với \(g = 10{\rm{\;m/}}{{\rm{s}}^2}\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Độ lớn của trọng lực tác dụng lên bóng đèn: \(P = m \cdot g = 0,4 \cdot 10 = 4{\rm{\;N}}\).
Gọi \({\vec T_1}\) và \({\vec T_2}\) là lực căng của hai sợi dây.
Do tính đối xứng của hai sợi dây có cùng chiều dài, độ lớn của hai lực căng dây bằng nhau: \({T_1} = {T_2} = T\).
Khi bóng đèn cân bằng, hợp lực của hai lực căng dây phải cân bằng với trọng lực \(\vec P\):
\({\vec T_1} + {\vec T_2} + \vec P = \vec 0 \Rightarrow {\vec T_1} + {\vec T_2} = - \vec P\).
Độ lớn của hợp lực của hai lực căng dây là: \(\left| {{{\vec T}_1} + {{\vec T}_2}} \right| = P = 4{\rm{\;N}}\).
Góc giữa hai sợi dây là \(\alpha = 46^\circ \).
Ta có \[{\left| {{{\vec T}_1} + {{\vec T}_2}} \right|^2} = {\left( {{{\vec T}_1} + {{\vec T}_2}} \right)^2} = {\vec T_1}^2 + {\vec T_2}^2 + 2{\vec T_1} \cdot {\vec T_2} = 2{T^2} + 2{T^2}\cos \alpha = 2{T^2} + 2{T^2}\cos 46^\circ = {4^2}\].
Suy ra \[T = \sqrt {\frac{8}{{1 + \cos 46^\circ }}} \approx 2,17\,\,{\rm{(N)}}\].
Vậy độ lớn lực căng \(T\) của mỗi sợi dây là \(T \approx 2,17{\rm{\;N}}\).
Đáp số:\(2,17\).
