Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Marie Curie (TP.HCM) có đáp án
22 câu hỏi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (3,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\mid x \le 5} \right\}\). Viết lại tập hợp \(A\) là:
\(\left( {5; + \infty } \right)\).
\(\left[ {5; + \infty } \right)\).
\(\left( { - \infty ;5} \right]\).
\(\left( { - \infty ;5} \right)\).
Tập hợp \(A\) gồm các số thực \(x\) nhỏ hơn hoặc bằng \(5\).
Do đó, biểu diễn dưới dạng khoảng/đoạn là \(A = \left( { - \infty ;5} \right]\).
Chọn C.
\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 < 0\).
\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 \le 0\).
\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 \le 0\).
\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 > 0\).
Phủ định của mệnh đề chứa ký hiệu \(\forall \) là mệnh đề chứa ký hiệu \(\exists \), đồng thời phủ định mệnh đề điều kiện \({x^2} + 1 > 0\) thành \({x^2} + 1 \le 0\).
Vậy mệnh đề phủ định là: "\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 \le 0\)".
Chọn C.
Cho hình bình hành \(ABCD\) tâm \(O\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OD} \).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OC} \).
\(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
Trong hình bình hành \(ABCD\):
Hai cạnh đối \(AD\) và \(BC\) song song và bằng nhau, cùng hướng từ \(A \to D\) và \(B \to C\), do đó \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Các đáp án còn lại sai vì: \(\overrightarrow {OB} = - \overrightarrow {OD} \), \(\overrightarrow {OA} = - \overrightarrow {OC} \), \(\overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {CD} \).
Chọn C.
Cho bảng tần số về tiền thưởng (triệu đồng) của một số nhân viên trong một công ty:
Số tiền thưởng | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Tần số | 5 | 15 | 10 | 6 | 7 |
Mốt của bảng tần số đã cho là bao nhiêu triệu đồng?
\(2\).
\(3\).
\(5\).
\(6\).
Mốt (\({M_0}\)) là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất trong mẫu số liệu.
Ở bảng trên, giá trị \(3\) triệu đồng có tần số lớn nhất là \(15\).
Vậy \({M_0} = 3\).
Chọn B.
\(\sin \alpha < 0\).
\(\cot \alpha > 0\).
\(\tan \alpha < 0\).
\(\cos \alpha > 0\).
Khi \(\alpha \) là góc tù (\(90^\circ < \alpha < 180^\circ \)) thì
\(\sin \alpha > 0\)
\(\cos \alpha < 0\)
\(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} < 0\)
\(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} < 0\)
Do đó, khẳng định đúng là \(\tan \alpha < 0\).
Chọn C.
Bất phương trình nào sau đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
\(x + {y^2} \le 7\).
\(x - y > 0\).
\(x + 2 \ge 0\).
\(2x + 3y > 0\).
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát \(ax + by < c\) (hoặc \( \le , > , \ge \)), trong đó \(a,b\) không đồng thời bằng \(0\) và \(x,y\) có bậc nhất.
Bất phương trình \(x + {y^2} \le 7\) chứa \({y^2}\) (bậc hai) nên không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Chọn A.
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {1;3} \right\}\).
\(D = \mathbb{R}\).
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
Hàm số xác định khi và chỉ khi mẫu thức khác \(0\), tức là \(x - 3 \ne 0 \Rightarrow x \ne 3\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).
Chọn D.
Một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \ge 3}\\{2x + y < 4}\end{array}} \right.\) là:
\(\left( {3; - 2} \right)\).
\(\left( {1; - 3} \right)\).
\(\left( {4;1} \right)\).
\(\left( { - 2;1} \right)\).
Thay cặp số ở từng phương án vào hệ bất phương trình, nhận thấy:
Với \(\left( {1; - 3} \right)\) thì .
Vậy \(\left( {1; - 3} \right)\) là một nghiệm của hệ.
Chọn B.
Trong tam giác \(ABC\) với \(BC = a,AC = b,AB = c\) và \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Khẳng định nào sau đây là sai?
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\).
\(\sin A = \frac{a}{{2R}}\).
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\).
\(b\sin B = 2R\).
Theo định lý Sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).
Suy ra:
\(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\) (Khẳng định A đúng)
\(\sin A = \frac{a}{{2R}}\) (Khẳng định B đúng)
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}}\) (Khẳng định C đúng)
\(b = 2R\sin B \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}}\), nên \(b\sin B = 2R\) là khẳng định sai.
Chọn D.
Cho số điểm thi môn Toán của 7 học sinh như sau: \(9,10,4,8,7,2,6\). Trung vị của mẫu số liệu trên là:
\(9\).
\(7\).
\(6\).
\(8\).
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: \(2,4,6,7,8,9,10\).
Số phần tử \(n = 7\) (là số lẻ), nên trung vị \({M_e}\) là giá trị đứng ở vị trí thứ \(\frac{{7 + 1}}{2} = 4\).
Giá trị ở vị trí thứ 4 là \(7\).
Chọn B.
\(\left( {0; - 3} \right)\).
\(\left( { - 1;0} \right)\).
\(\left( {3; - 7} \right)\).
\(\left( { - 2;1} \right)\).
Thay \(x = 0\) vào công thức hàm số: \(y = 2 \cdot {0^2} + 0 - 3 = - 3\).
Do đó điểm \(\left( {0; - 3} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
Chọn A.
Cho ba điểm \(A,B,C\) phân biệt. Đẳng thức nào sau đây sai?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \).
\(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CB} \).
Khẳng định A đúng (Quy tắc 3 điểm phép cộng).
Khẳng định B đúng (theo quy tắc hiệu: \(\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {CA} \)).
Khẳng định C đúng (\(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \)).
Khẳng định D sai vì \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BC} \ne \overrightarrow {AB} \).
Chọn D.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - 2}&{\left( 1 \right)}\\{y \ge 1}&{\left( 2 \right)}\\{x + 2y \le 4}&{\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\).
Hệ bất phương trình này có vô số nghiệm.
\(\left( {0;2} \right)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên.
Đường thẳng bờ của bất phương trình (3) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\).
\(\left( {2;1} \right)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình trên.
a) Đúng. Miền nghiệm của hệ là một hình tam giác giới hạn bởi 3 đường thẳng \(x = - 2\), \(y = 1\), \(x + 2y = 4\). Mọi điểm nằm trong miền tam giác này đều là nghiệm. Do đó hệ có vô số nghiệm.
b) Đúng. Thay \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;2} \right)\) vào hệ .
Nên \(\left( {0;2} \right)\) là một nghiệm.
c) Sai. Đường thẳng bờ của (3) có phương trình \(d:x + 2y = 4\).
Thay tọa độ điểm \(A\left( {1;2} \right)\): \(1 + 2 \cdot 2 = 5 \ne 4\), nên \(A\left( {1;2} \right) \notin d\).
d) Sai. Thay \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\) vào hệ .
Vậy \(\left( {2;1} \right)\) là một nghiệm của hệ. Mệnh đề nói "không là nghiệm" là sai.
Độ cao lớn nhất của quả bóng là \(15,876{\rm{\;m}}\).
Sau 1 giây, quả bóng đạt độ cao \(12,47{\rm{\;m}}\).
Sau 2 giây, quả bóng đạt độ cao lớn nhất.
Sau \(3,5\) giây thì quả bóng chạm đất.
Hàm số \(h\left( t \right) = - 4,9{t^2} + 17,64t\) có các hệ số \(a = - 4,9\), \(b = 17,64\), \(c = 0\).
Tọa độ đỉnh của parabol là:
\({t_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{17,64}}{{2 \cdot \left( { - 4,9} \right)}} = 1,8{\rm{\;(gi\^a y)}}\);
\({h_{{\rm{max}}}} = h\left( {1,8} \right) = - 4,9 \cdot {\left( {1,8} \right)^2} + 17,64 \cdot \left( {1,8} \right) = 15,876{\rm{\;(m)}}\).
a) Đúng. Độ cao lớn nhất đạt được là \(15,876{\rm{\;m}}\).
b) Sai. Thay \(t = 1\) vào công thức: \(h\left( 1 \right) = - 4,9 \cdot {1^2} + 17,64 \cdot 1 = 12,74{\rm{\;m}} \ne 12,47{\rm{\;m}}\).
c) Sai. Quả bóng đạt độ cao lớn nhất tại \(t = 1,8{\rm{\;gi\^a y}}\), không phải \(2{\rm{\;gi\^a y}}\).
d) Sai. Bóng chạm đất khi \(h\left( t \right) = 0 \Rightarrow - 4,9{t^2} + 17,64t = 0 \Rightarrow t = 0\) hoặc \(t = \frac{{17,64}}{{4,9}} = 3,6{\rm{\;gi\^a y}}\). Do đó tại \(t = 3,5\) giây bóng chưa chạm đất.
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) tâm \(O\) có \(AB = 4,AD = 3\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) (tham khảo hình vẽ).
\(\overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \).
\(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = 7\).
\(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} \).
\(\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\).
a) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BM} = - \overrightarrow {BC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \).
b) Sai. Theo quy tắc hình bình hành: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
Độ dài đường chéo \(AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5\).
Do đó \(\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = 5 \ne 7\).
c) Sai. Các vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} ,\overrightarrow {OD} \) khác hướng nhau nên không thể bằng nhau (chỉ bằng nhau về độ dài \(\left| {\overrightarrow {OA} \left| = \right|\overrightarrow {OB} \left| = \right|\overrightarrow {OC} \left| = \right|\overrightarrow {OD} } \right|\)).
d) Đúng. Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(BC \bot BA \Rightarrow \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA} = 0\).
Thống kê số bao xi măng được bán ra tại một cửa hàng vật liệu xây dựng trong 24 ngày cho kết quả như sau:
\(\begin{array}{*{20}{c}}{72}&{89}&{88}&{73}&{63}&{265}&{69}&{65}\\{94}&{80}&{81}&{98}&{66}&{71}&{84}&{73}\\{93}&{59}&{60}&{61}&{83}&{72}&{85}&{66}\end{array}\)
Số trung bình và số trung vị lệch nhau \(10,75\).
Số trung vị là \(72\).
Mỗi ngày cửa hàng bán trung bình \(84\) bao (làm tròn đến hàng đơn vị).
Có 4 ngày cửa hàng đó bán được trên 90 bao xi măng.
a) Đúng. Sắp xếp số liệu theo thứ tự tăng dần (24 giá trị):
\(59,60,61,63,65,66,66,69,71,72,72,73,73,80,81,83,84,85,88,89,93,94,98,265\).
Tổng số bao bán được trong 24 ngày:
\(\begin{array}{l}59 + 60 + 61 + 63 + 65 + 66 + 66 + 69 + 71 + 72 + 72 + 73 + 73\\ + 80 + 81 + 83 + 84 + 85 + 88 + 89 + 93 + 94 + 98 + 265 = 2010.\end{array}\)
Số trung bình: \(\bar x = \frac{{2010}}{{24}} = 83,75\).
Số trung vị (\({M_e}\)): Vì \(n = 24\), trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 12 và thứ 13:
\({M_e} = \frac{{{x_{12}} + {x_{13}}}}{2} = \frac{{73 + 73}}{2} = 73\).
Độ lệch giữa số trung bình và số trung vị: \(\left| {\bar x - {M_e}} \right| = \left| {83,75 - 73} \right| = 10,75\).
b) Sai. Số trung vị là \(73\), đề ghi \(72\).
c) Đúng. Số trung bình làm tròn đến hàng đơn vị là \(84\). Như vậy mỗi ngày cửa hàng bán trung bình \(84\) bao xi măng.
d) Đúng. Các giá trị lớn hơn 90 bao gồm: \(93,94,98,265\) (tổng cộng \(4\) ngày).
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Một công ty bán ra thị trường \(x\) (đơn vị: nghìn) sản phẩm với giá mỗi sản phẩm là \(T\left( x \right) = - 200x + 560\) (triệu đồng). Công ty phải bán ra bao nhiêu sản phẩm (đơn vị: nghìn) để đạt được doanh thu lớn nhất?
Doanh thu \(R\left( x \right)\) (triệu đồng) thu được từ việc bán \(x\) nghìn sản phẩm là:
\(R\left( x \right) = x \cdot T\left( x \right) = x\left( { - 200x + 560} \right) = - 200{x^2} + 560x\).
Đây là hàm số bậc hai theo biến \(x\) có hệ số \(a = - 200 < 0\), nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{560}}{{2 \cdot \left( { - 200} \right)}} = 1,4\).
Vậy công ty cần bán ra \(1,4\) nghìn sản phẩm (tương đương 1400 sản phẩm) để đạt doanh thu lớn nhất.
Đáp số: 1,4.
Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 5,AC = 6,\widehat {BAC} = 60^\circ \). Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} \).
Ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AB} \cdot \left( { - \overrightarrow {AC} } \right) = - \left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right)\).
Áp dụng công thức tính tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = 5 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15\).
Do đó: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CA} = - 15\).
Đáp số: −15.
Anh Hỉa có một mảnh đất hình chữ nhật như hình dưới. Anh Hải muốn rào một phần để trồng rau có dạng hình tứ giác \(ABCD\) với độ dài các cạnh là \(AB = 15{\rm{\;m}},BC = 17{\rm{\;m}},CD = 12{\rm{\;m}},DA = 20{\rm{\;m}}\). Hãy tính diện tích phần mảnh đất trồng rau của anh Hải (đơn vị: mét vuông).
Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) có:
Độ dài đường chéo \(BD\): \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{15}^2} + {{20}^2}} = 25{\rm{\;m}}\).
Diện tích tam giác \(ABD\): \({S_{ABD}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
Xét tam giác \(BDC\) có các cạnh \(BC = 17\), \(CD = 12\), \(BD = 25\):
Nửa chu vi \(p\): \(p = \frac{{17 + 12 + 25}}{2} = 27{\rm{\;m}}\).
Áp dụng công thức Heron cho tam giác \(BDC\): \({S_{BDC}} = \sqrt {p\left( {p - BC} \right)\left( {p - CD} \right)\left( {p - BD} \right)} = 90\,\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).
Diện tích tứ giác \(ABCD\): \({S_{ABCD}} = {S_{ABD}} + {S_{BDC}} = 150 + 90 = 240{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\).
Đáp số: 240.
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1}&{{\rm{khi\;}}x \ge 0}\\5&{{\rm{khi\;}}x < 0}\end{array}} \right.\). Tính giá trị của biểu thức \(T = f\left( { - 2} \right) + f\left( 3 \right)\).
Với \(x = - 2 < 0\), ta áp dụng công thức \(f\left( x \right) = 5\) thì \(f\left( { - 2} \right) = 5\).
Với \(x = 3 \ge 0\), ta áp dụng công thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 1\) thì \(f\left( 3 \right) = {3^2} - 1 = 8\).
Do đó: \(T = f\left( { - 2} \right) + f\left( 3 \right) = 5 + 8 = 13\).
Đáp số: 13.
Một bãi đậu xe ban đêm có diện tích đậu xe là \(450{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\) (không tính lối đi cho xe ra vào). Cho biết xe du lịch cần diện tích \(3{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\)/chiếc và phải trả phí 40 nghìn đồng, xe tải cần diện tích \(5{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}\)/chiếc và phải trả phí 50 nghìn đồng. Nhân viên quản lí không thể phục vụ quá 120 xe một đêm. Chủ bãi xe có thể có doanh thu cao nhất là bao nhiêu nghìn đồng?
Gọi \(x\) là số xe du lịch và \(y\) là số xe tải (\(x,y \in \mathbb{N}\)).
Điều kiện bài toán lập thành hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y \le 120}\\{3x + 5y \le 450}\end{array}} \right.\).
Hàm doanh thu: \(F\left( {x;y} \right) = 40x + 50y\) (nghìn đồng).
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác \(OABC\) có các đỉnh:
\(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {120;0} \right)\), \(B\left( {75;45} \right)\) (là giao điểm của \(x + y = 120\) và \(3x + 5y = 450\)) và \(C\left( {0;90} \right)\).
Tính giá trị \(F\left( {x;y} \right)\) tại các đỉnh:
\(F\left( {0;0} \right) = 0\);
\(F\left( {120;0} \right) = 40 \cdot 120 + 50 \cdot 0 = 4800\);
\(F\left( {75;45} \right) = 40 \cdot 75 + 50 \cdot 45 = 3000 + 2250 = 5250\);
\(F\left( {0;90} \right) = 40 \cdot 0 + 50 \cdot 90 = 4500\).
Vậy doanh thu cao nhất đạt được là \(5250\) nghìn đồng (khi đỗ 75 xe du lịch và 45 xe tải).
Đáp số: 5250.
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC = 2\sqrt {13} \) và \(AC = 6\). Tính \(\left| {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|\).
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\):
\(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt {13} } \right)}^2} - {6^2}} = \sqrt {52 - 36} = \sqrt {16} = 4\).
Vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0\).
Bình phương độ dài biểu thức vectơ cần tính:
\({\left| {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right|^2} = {\left( {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} = 4{\overrightarrow {AB} ^2} + 4\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) + {\overrightarrow {AC} ^2}\)\( = 4A{B^2} + 0 + A{C^2} = 4 \cdot {4^2} + {6^2} = 100\).
Suy ra \(\left| {2\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {100} = 10\).
Đáp số: 10.
