Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Lương Thế Vinh (TP.HCM) có đáp án
21 câu hỏi
PHẦN I. CÂU TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (3,0 ĐIỂM). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 15. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Mệnh đề có mệnh đề phủ định là:
\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} \le 2\).
\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} > 2\).
\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} \le 2\).
\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} < 2\).
Phủ định của mệnh đề chứa ký hiệu \(\forall \) là ký hiệu \(\exists \), và phủ định của bất đẳng thức \({x^2} > 2\) là \({x^2} \le 2\).
Do đó, phủ định của mệnh đề là .
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án A.
\(P \cap Q = \left( { - 1;5} \right)\).
\(P \cap Q = \left( { - 2; + \infty } \right)\).
\(P \cap Q = \left[ { - 1;5} \right)\).
\(P \cap Q = \left[ { - 2; + \infty } \right)\).
Ta có \(P = \left[ { - 2;5} \right)\) và \(Q = \left( { - 1; + \infty } \right)\).
Giao của hai tập hợp \(P\) và \(Q\) là tập hợp các phần tử thuộc cả \(P\) và \(Q\):
\(P \cap Q = \left[ { - 2;5} \right) \cap \left( { - 1; + \infty } \right) = \left( { - 1;5} \right)\).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án A.
Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\)?
\(3x - {y^2} - 2 \ge 0\).
\(x - 2y > 0\).
\( - {x^2} + 3x - 4 < 0\).
\(3{x^2} - 5y < - 3\).
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) có dạng tổng quát là \(ax + by + c < 0\) (hoặc \( > 0, \le 0, \ge 0\)), trong đó \(a,b\) không đồng thời bằng \(0\).
Các phương án A, C, D đều chứa ẩn ở bậc 2 (\({y^2}\) hoặc \({x^2}\)).
Phương án B: \(x - 2y > 0\) có dạng bậc nhất đối với cả \(x\) và \(y\).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án B.
Hệ bất phương trình nào sau đây có miền nghiệm là phần mặt phẳng không bị gạch sọc (kể cả bờ) như hình vẽ bên dưới?
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y \le 0}\\{x + 3y \le - 2}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y \ge 0}\\{x + 3y \ge - 2}\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y \le 0}\\{x + 3y \ge - 2}\end{array}} \right.\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y < 0}\\{x + 3y > - 2}\end{array}} \right.\).
Đường thẳng \({d_1}:x - 2y = 0\) đi qua điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( {2;1} \right)\). Điểm \(\left( {0;1} \right)\) có \(0 - 2 \cdot 1 = - 2 \le 0\). Miền nghiệm chứa điểm \(\left( {0;1} \right)\) thuộc nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng \({d_1}\), ứng với \(x - 2y \le 0\).
Đường thẳng \({d_2}:x + 3y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + 3y = - 2\). Xét gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\): \(0 + 3 \cdot 0 = 0 \ge - 2\). Miền trắng chứa gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc nửa mặt phẳng \(x + 3y \ge - 2\).
Do miền nghiệm tính cả đường bờ nên dấu bất phương trình có chứa dấu bằng \( \le \) và \( \ge \).
Vậy hệ bất phương trình thỏa mãn là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y \le 0}\\{x + 3y \ge - 2}\end{array}} \right.\).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án C.
\(D = \left( {2; + \infty } \right)\).
\(D = \left[ {2; + \infty } \right)\).
\(D = \left( { - \infty ;2} \right]\).
\(D = \left( { - \infty ;2} \right)\).
Hàm số \(y = \sqrt {2 - x} \) xác định khi và chỉ khi: \(2 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 2\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ;2} \right]\).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án C.
\(S\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
\(S\left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\).
\(S\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
\(S\left( {\frac{2}{3};1} \right)\).
Parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2} - 2x + 1\) với \(a = 3,b = - 2,c = 1\) có hoành độ đỉnh: \({x_S} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2}}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{3}\).
Tung độ đỉnh: \({y_S} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right) + 1 = 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} + 1 = \frac{2}{3}\).
Do đó, tọa độ đỉnh là \(S\left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)\).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án C.
\(1\).
\(2\).
\( - 3\).
\( - 1\).
Hàm số bậc hai \(y = - {x^2} + 4x - 3\) có hệ số \(a = - 1 < 0\), nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.
Hoành độ đỉnh: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{4}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 2\).
Giá trị lớn nhất của hàm số là: \({y_{{\rm{max}}}} = - {2^2} + 4 \cdot 2 - 3 = - 4 + 8 - 3 = 1\)
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án A.
\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
\(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \).
\(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \).
Theo công thức lượng giác của hai góc phụ nhau: \(\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \quad {\rm{v\`a }}\quad \sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \cos \alpha \).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án D.
\(R = 10\).
\(R = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\).
\(R = 10\sqrt 3 \).
\(R = 5\).
Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\): \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{10}}{{2 \cdot \sin 30^\circ }} = 10\).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án A.
Cho hình vuông \(ABCD\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \).
\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BC} \).
Trong hình vuông \(ABCD\), hai đoạn thẳng \(AB\) và \(DC\) song song, bằng nhau và vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {DC} \). Do đó: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án A.
Hình bên dưới có bao nhiêu cặp vectơ cùng hướng?
\(0\).
\(2\).
\(3\).
\(1\).
Dựa vào hình vẽ ta thấy số cặp vectơ cùng hướng là \(2\), đó là \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow f } \right)\) và \[\left( {\overrightarrow c ,\overrightarrow d } \right)\].
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án B.
Cho hình bình hành \(ABCD\). Phát biểu nào sau đây là đúng?
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CA} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BD} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \).
Theo quy tắc hình bình hành, với hình bình hành \(ABCD\) ta luôn có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án C.
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + 2\overrightarrow {GC} = \vec 0\).
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \vec 0\).
\(\overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \vec 0\).
Theo tính chất trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\), ta có đẳng thức vectơ cơ bản: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0\).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án A.
\(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\).
\(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right| \cdot \sin \left( {\vec a,\vec b} \right)\).
\(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right|\).
\(\vec a \cdot \vec b = - \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right|\).
Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec a\) và \(\vec b\) được định nghĩa bằng tích độ dài của chúng nhân với cosin của góc giữa hai vectơ đó: \(\vec a \cdot \vec b = \left| {\vec a\left| \cdot \right|\vec b} \right| \cdot \cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án A.
\(30\).
\(60\).
\( - 60\).
\( - 30\).
Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ:
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC}\)\( = 10 \cdot 12 \cdot \cos 120^\circ = - 60\).
\( \Rightarrow \) Chọn đáp án C.
PHẦN II. CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI (3,0 ĐIỂM). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x + 1}&{{\rm{khi\;}}x \ge 2}\\{\frac{1}{{x - 2}}}&{{\rm{khi\;}}x < 2}\end{array}} \right.\).
Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(D = \mathbb{R}\).
\(f\left( 2 \right) = - 3\).
\(f\left( 0 \right) = 1\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
a) ĐÚNG. Với \(x \ge 2\), hàm số \(f\left( x \right) = - 2x + 1\) xác định trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\).
Với \(x < 2\), hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 2}}\) xác định với mọi \(x < 2\) (vì mẫu \(x - 2 \ne 0\) khi \(x < 2\)).
Do đó tập xác định \(D = \left[ {2; + \infty } \right) \cup \left( { - \infty ;2} \right) = \mathbb{R}\).
b) ĐÚNG. Vì \(x = 2 \ge 2\), ta tính \(f\left( 2 \right)\) theo nhánh trên: \(f\left( 2 \right) = - 2 \cdot 2 + 1 = - 3\).
c) SAI. Vì \(x = 0 < 2\), ta tính \(f\left( 0 \right)\) theo nhánh dưới: \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{{0 - 2}} = - \frac{1}{2} \ne 1\).
d) ĐÚNG. Trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\), hàm số có dạng \(y = - 2x + 1\). Đây là hàm số bậc nhất với hệ số \(a = - 2 < 0\) nên nghịch biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Cho parabol \(\left( P \right):y = - 2{x^2} + x - 1\).
Đỉnh \(S\) của parabol \(\left( P \right)\) có tọa độ là \(S\left( {\frac{1}{4}; - \frac{7}{8}} \right)\).
Phương trình trục đối xứng của parabol \(\left( P \right)\) là \(x = \frac{1}{2}\).
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = - 2{x^2} + x - 1\) là \( - \frac{7}{8}\).
Parabol \(\left( {P'} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và có đỉnh trùng với đỉnh của parabol \(\left( P \right)\). Phương trình của parabol \(\left( {P'} \right)\) là \(y = - 2{x^2} + x + 3\).
a) ĐÚNG. Tọa độ đỉnh \(S\left( {{x_S};{y_S}} \right)\) của \(\left( P \right)\):
\({x_S} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{1}{{2 \cdot \left( { - 2} \right)}} = \frac{1}{4}\); \({y_S} = - 2 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{1}{4} - 1 = - 2 \cdot \frac{1}{{16}} + \frac{1}{4} - 1 = - \frac{1}{8} + \frac{2}{8} - \frac{8}{8} = - \frac{7}{8}\).
Tọa độ đỉnh \(S\left( {\frac{1}{4}; - \frac{7}{8}} \right)\).
b) SAI. Trục đối xứng có phương trình \(x = {x_S} = \frac{1}{4}\). Do đó khẳng định \(x = \frac{1}{2}\) là Sai.
c) ĐÚNG. Hệ số \(a = - 2 < 0\), hàm số đạt giá trị lớn nhất tại tung độ đỉnh \({y_S} = - \frac{7}{8}\).
d) SAI. Giả sử \(\left( {P'} \right):y = a{x^2} + bx + c\) có đỉnh \(S\left( {\frac{1}{4}; - \frac{7}{8}} \right)\) và đi qua \(A\left( {1;2} \right)\).
Phương trình dạng đỉnh: \(y = a{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} - \frac{7}{8}\).
Do \(A\left( {1;2} \right) \in \left( {P'} \right)\) nên \(2 = a{\left( {1 - \frac{1}{4}} \right)^2} - \frac{7}{8} \Rightarrow a = \frac{{46}}{9}\).
Dạng tổng quát của \(\left( {P'} \right)\): \(y = \frac{{46}}{9}\left( {{x^2} - \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}} \right) - \frac{7}{8} = \frac{{46}}{9}{x^2} - \frac{{23}}{9}x - \frac{{41}}{{72}}\).
Ngoài ra ta nhận thấy phương trình \(y = - 2{x^2} + x + 3\) không nhận \(S\left( {\frac{1}{4}; - \frac{7}{8}} \right)\) làm đỉnh nên kết luận ngay ý d) là sai.
\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 20\).
\(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
\(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} \).
\(AD \bot BE\).
a) SAI.\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos {45^ \circ } = 4\sqrt 2 \cdot 6 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = 24 \ne 20\).
b) ĐÚNG. Vì \(D\) là trung điểm \(BC\), theo công thức trung điểm ta có: \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
c) SAI. Chèn điểm \(A\) vào \(\overrightarrow {BE} \): \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = - \overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} \).
Đề bài ghi \(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} \) (thiếu dấu trừ ở \(\overrightarrow {AB} \)) nên khẳng định này Sai.
d) SAI. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} \):
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{5}{{12}}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{5}{{12}}A{C^2}\)
\( = - \frac{1}{2}A{B^2} - \frac{1}{{12}}\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} } \right) + \frac{5}{{12}}A{C^2}\).
Thay \(AB = 4\sqrt 2 \Rightarrow A{B^2} = 32\), \(AC = 6 \Rightarrow A{C^2} = 36\), và \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 24\) ta được:
\(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} = - \frac{1}{2} \cdot 32 - \frac{1}{{12}} \cdot 24 + \frac{5}{{12}} \cdot 36 = - 16 - 2 + 15 = - 3 \ne 0\).
Do \(\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {BE} \ne 0\) nên \(AD\) không vuông góc với \(BE\).
PHẦN III. TỰ LUẬN (4,0 ĐIỂM).
(1,0 điểm). Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 2x - 3\).
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Tọa độ đỉnh: \({x_S} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2 \cdot 1}} = - 1;{y_S} = {\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 3 = - 4 \Rightarrow S\left( { - 1; - 4} \right)\).
Trục đối xứng: Đường thẳng \(x = - 1\).
Bề lõm: Hệ số \(a = 1 > 0\) nên bề lõm quay lên trên.
Bảng giá trị:
x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
\(y\) | \(0\) | \( - 3\) | \( - 4\) | \( - 3\) | \(0\) |
Đồ thị:
Parabol cắt trục tung tại \(\left( {0; - 3} \right)\).
Parabol cắt trục hoành tại hai điểm \(\left( { - 3;0} \right)\) và \(\left( {1;0} \right)\).
Đồ thị nhận đường thẳng \(x = - 1\) làm trục đối xứng và đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 3} \right),\left( { - 1; - 4} \right)\).
(1,0 điểm). Bác Ba xây một chiếc cổng hình Parabol và gắn cửa hình chữ nhật bên dưới cổng (như hình vẽ). Biết chiều cao của cổng là \(3{\rm{\;m}}\) và biết cánh cửa có chiều cao \(2{\rm{\;m}}\), chiều rộng \(3{\rm{\;m}}\). Hỏi khoảng cách giữa 2 chân cổng (độ dài đoạn \(AB\)) bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Gắn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho:
Gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) nằm trên mặt đất tại vị trí chính giữa của cổng.
Trục tung \(Oy\) đi qua đỉnh \(G\) của cổng Parabol \( \Rightarrow G\left( {0;3} \right)\).
Trục hoành \(Ox\) trùng với mặt đất \(AB\).
Phương trình cổng Parabol \(\left( P \right)\) có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\quad \left( {a < 0} \right)\).
Do Parabol nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng nên \({x_S} = - \frac{b}{{2a}} = 0 \Rightarrow b = 0\).
Đỉnh \(G\left( {0;3} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow c = 3\).
Do đó phương trình Parabol có dạng: \(y = a{x^2} + 3\).
Vì mép cửa hình chữ nhật rộng \(3{\rm{\;m}}\), cao \(2{\rm{\;m}}\) và nằm cân đối hai bên trục \(Oy\), nên mép trên góc phải của cửa có tọa độ là: \(E\left( {\frac{3}{2};2} \right)\).
Do điểm \(E\left( {\frac{3}{2};2} \right) \in \left( P \right)\) nên ta có: \(2 = a{\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + 3 \Rightarrow a = - \frac{4}{9}\).
Vậy phương trình của Parabol là: \(\left( P \right):y = - \frac{4}{9}{x^2} + 3\).
Tọa độ hai chân cổng \(A\) và \(B\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) với trục hoành \(Ox\) (\(y = 0\)):
\( - \frac{4}{9}{x^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{9}{x^2} = 3 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{27}}{4} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Do đó hoành độ của \(A\) và \(B\) lần lượt là \({x_A} = - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) và \({x_B} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Khoảng cách giữa hai chân cổng là độ dài đoạn \(AB\):
\(AB = {x_B} - {x_A} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \frac{{3\sqrt 3 }}{2}} \right) = 3\sqrt 3 \approx 5,196{\rm{\;m}}\).
Làm tròn đến hàng phần mười, ta được khoảng cách giữa hai chân cổng là \(5,2{\rm{\;m}}\).
(2,0 điểm). Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(2a\). Gọi \(K\) là trung điểm của cạnh \(AC\), các điểm \(H\) và \(I\) được định bởi \(\overrightarrow {BC} = 5\overrightarrow {BH} \) và \(\overrightarrow {BK} = 3\overrightarrow {BI} \).
a) Tính độ dài của vectơ \(\vec a = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} \). (1,0 điểm)
b) Chứng minh rằng ba điểm \(A,I,H\) thẳng hàng. (1,0 điểm)
a) Áp dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ: \(\vec a = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BC} \).
Độ dài của vectơ \(\vec a\) là: \(\left| {\vec a} \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = 2a\).
b) Từ giả thiết \(\overrightarrow {BC} = 5\overrightarrow {BH} \Rightarrow \overrightarrow {BH} = \frac{1}{5}\overrightarrow {BC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} = \frac{4}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} \quad \left( 1 \right)\).
Vì \(K\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \).
Từ giả thiết \(\overrightarrow {BK} = 3\overrightarrow {BI} \Rightarrow \overrightarrow {BI} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BK} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AK} - \overrightarrow {AB} } \right)\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AK} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \quad \left( 2 \right)\).
Từ \(\left( 2 \right)\), ta đặt hệ số \(\frac{5}{6}\) ra ngoài: \(\overrightarrow {AI} = \frac{5}{6}\left( {\frac{4}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\).
Thay \(\left( 1 \right)\) vào biểu thức trên, ta suy ra: \(\overrightarrow {AI} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AH} \).
Vì \(\overrightarrow {AI} = \frac{5}{6}\overrightarrow {AH} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AI} \) và \(\overrightarrow {AH} \) cùng phương, lại có chung điểm gốc \(A\).
Vậy ba điểm \(A,I,H\) thẳng hàng (đpcm).
