Đề thi cuối kì 1 Toán 10 năm 2025-2026 THPT Bình Hưng Hòa (TP.HCM) có đáp án

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Do đó, \(MN{\rm{//}}BC\) và \(MN = \frac{1}{2}BC\).

Vì \(MN{\rm{//}}BC\) và điểm \(M,N\) nằm cùng thứ tự phía trên đoạn \(BC\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng.

Đáp án: A

Mốt (\({M_o}\)) của mẫu số liệu là giá trị có tần số xuất hiện lớn nhất.

Nhìn vào bảng thống kê, số đôi giày bán được lớn nhất là \(52\), ứng với cỡ giày \(40\).

Vậy mốt của mẫu số liệu là \(40\).

Đáp án: C

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là \({x_{{\rm{max}}}} = 10\).

Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là \({x_{{\rm{min}}}} = 4\).

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \(R = {x_{{\rm{max}}}} - {x_{{\rm{min}}}} = 10 - 4 = 6\).

Đáp án: D

Vì độ chính xác \(d = 0,1\) ở hàng phần mười, nên ta quy tròn số đúng \(\bar a\) đến hàng đơn vị (hàng lớn hơn \(d\) một hàng).

Chữ số sau hàng đơn vị của \(86,60254...\) là \(6 \ge 5\), nên ta làm tròn lên thành \(87\).

Đáp án: B

Hàm số xác định khi biểu thức trong căn bậc hai không âm: \(x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1\).

Mẫu số bằng \(2\) luôn khác \(0\) với mọi \(x\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).

Đáp án: A

Vì \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\) nên \(M\) nằm giữa \(A\) và \(B\).

Ta có: \(AB = AM + MB = 4MB + MB = 5MB\).

Hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {MB} \) cùng hướng, do đó: \(\overrightarrow {AB} = 5\overrightarrow {MB} \).

Đáp án: D

Thay \(x = - 1\) vào công thức hàm số: \(y = - {\left( { - 1} \right)^2} + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - 5 = - 1 - 2 - 5 = - 8\).

Vậy điểm \(\left( { - 1; - 8} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.

Đáp án: B

Theo quy tắc hình bình hành, với hình bình hành \(ABCD\) ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \).

Đáp án: A

Tổng số bó hoa bán được trong ngày là: \(N = \frac{{26}}{{32,5\% }} = \frac{{26}}{{0,325}} = 80{\rm{\;(b\'o )}}\).

Số bó hoa lan bán được trong ngày là: \(80 \times 37,5\% = 80 \times 0,375 = 30{\rm{\;(b\'o )}}\).

Đáp án: D

Quãng đường \(30{\rm{\;km}}\) được tính tiền theo 3 chặng:

\(1{\rm{\;km}}\) đầu tiên:\(20\,000\) đồng.

\(24{\rm{\;km}}\) tiếp theo (từ km thứ 2 đến km thứ 25):\(24 \times 14\,000 = 336\,000\) đồng.

\(5{\rm{\;km}}\) còn lại (từ km thứ 26 đến km thứ 30):\(5 \times 12\,000 = 60\,000\) đồng.

Tổng số tiền phải trả là: \(T = 20\,000 + 336\,000 + 60\,000 = 416\,000\) (đồng).

Đáp án: C

Công \(A\) sinh bởi lực \(\vec F\) được tính theo công thức: \(A = \vec F \cdot \vec s = \left| {\vec F\left| \cdot \right|\vec s} \right| \cdot \cos \left( {\vec F,\vec s} \right)\).

Vì lực \(\vec F\) cùng hướng với độ dịch chuyển \(\vec s\) nên góc giữa chúng bằng \(0^\circ \).

Vậy \(A = 50 \times 30 \times \cos 0^\circ = 1500{\rm{\;(J)}}\).

Đáp án: B

a) Sai. Nhìn vào đồ thị, tại \(x = 6\) thì \(h\left( 6 \right) = 44,6\). Điểm có tung độ \(62,6\) ứng với thời điểm khác.

b) Đúng. Trong đoạn \(\left[ {0;12} \right]\), giá trị nhỏ nhất của \(h\left( x \right)\) là \(h\left( 0 \right) = 5\) và giá trị lớn nhất là \(h\left( {10} \right) = \frac{{265}}{3}\).

c) Sai. Trên khoảng \(\left( {10;12} \right)\), đường đồ thị đi xuống từ trái sang phải, nghĩa là hàm số nghịch biến.

d) Đúng. Chiều cao cực đại của cây đạt được là \(\frac{{265}}{3} \approx 88,33{\rm{\;cm}} < 90{\rm{\;cm}}\).

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm:

  \(200;\,300;\,340;\,340;\,350;\,350;\,360;\,370;\,380;\,400;\,400;\,410;\,410;\,500\).

a) Sai. Cỡ mẫu \(n = 14\).

b) Sai. Cân nặng trung bình của các quả xoài trên là

\(\bar x = \frac{{200 + 300 + 340 \times 2 + 350 \times 2 + 360 + 370 + 380 + 400 \times 2 + 410 \times 2 + 500}}{{14}} = 365{\rm{\;(gam)}}\).

c) Sai. Phương sai

\[\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{14}}\left[ {{{\left( {200 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {300 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {340 - \overline x } \right)}^2} \times 2 + {{\left( {350 - \overline x } \right)}^2} \times 2 + {{\left( {360 - \overline x } \right)}^2}} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left. { + {{\left( {370 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {380 - \overline x } \right)}^2} + {{\left( {400 - \overline x } \right)}^2} \times 2 + {{\left( {410 - \overline x } \right)}^2} \times 2 + {{\left( {500 - \overline x } \right)}^2}} \right] \approx 4153,57.\end{array}\]

Độ lệch chuẩn \(s = \sqrt {{s^2}} \approx \sqrt {4153,57} \approx 64,4{\rm{\;(gam)}}\).

d) Sai. Tính tứ phân vị của mẫu ban đầu (\(n = 14\)):

\({Q_2} = \frac{{360 + 370}}{2} = 365\).

Nửa dưới: \(200,300,340,340,350,350,360 \Rightarrow {Q_1} = 340\).

Nửa trên: \(370,380,400,400,410,410,500 \Rightarrow {Q_3} = 400\).

Khoảng tứ phân vị \(\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 400 - 340 = 60\).

Ngưỡng ngoại lệ: \(\left[ {{Q_1} - 1,5 \times \Delta Q;\,{Q_3} + 1,5 \times \Delta Q} \right] = \left[ {340 - 90;\,400 + 90} \right] = \left[ {250;\,490} \right]\).

Các giá trị ngoại lệ bị loại là \(200\) và \(500\).

Mẫu số liệu sau khi loại ngoại lệ gồm \(12\) phần tử:

            \(300;\,340;\,340;\,350;\,350;\,360;\,370;\,380;\,400;\,400;\,410;\,410\).

Với \(12\) quả, \(25\% \) tương ứng \(3\) quả nặng nhất là \(400;\,410;\,410\). Ranh giới tối thiểu để thuộc nhóm này là điểm phân vị \({Q_3}^\prime = \frac{{400 + 400}}{2} = 400{\rm{\;gam}}\).

a) Sai. Do \(M\) là trung điểm của \(AC\) nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = \vec 0\).

b) Đúng. Theo quy tắc hiệu hai vectơ chung gốc: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \).

c) Đúng. Vì \(M\) là trung điểm \(AC\) nên \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)\).

Vì \(N\) đối xứng với \(B\) qua \(C\) nên \(C\) là trung điểm của \(BN \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BN} \).

Thay vào ta được: \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BN} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BN} \).

d) Đúng. Giả sử \(\overrightarrow {AP} = k\overrightarrow {AN} \) với \(0 < k < 1\).

Ta có: \(\overrightarrow {BP} = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BA} + k\overrightarrow {BN} \).

Mặt khác, \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{4}\overrightarrow {BN} \).

Vì \(B,M,P\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {BP} = x\overrightarrow {BM} \), suy ra \(\left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BA} + k\overrightarrow {BN} = \frac{x}{2}\overrightarrow {BA} + \frac{x}{4}\overrightarrow {BN} \).

Do \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BN} \) không cùng phương nên: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - k = \frac{x}{2}\\k = \frac{x}{4}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{3}\\k = \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

Do đó \(\overrightarrow {BP} = \left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BN} \).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Tọa độ đỉnh \({x_I} = - \frac{2}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 1 \Rightarrow {y_I} = - {1^2} + 2 \cdot 1 + 2 = 3 \Rightarrow I\left( {1;3} \right)\).

Trục đối xứng: Đường thẳng \(x = 1\).

Chiều biến thiên: Vì \(a = - 1 < 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên:

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\): \(\widehat {ABC} = 90^\circ - \widehat {ACB} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \).

Độ dài cạnh \(BA\) là: \(BA = BC \cdot \cos \widehat {ABC} = 6a \cdot \cos 60^\circ = 6a \cdot \frac{1}{2} = 3a\).

Tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} \) được tính theo công thức:

\(\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\)\( = BA \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC}\)\( = 3a \cdot 6a \cdot \cos 60^\circ = 18{a^2} \cdot \frac{1}{2} = 9{a^2}\).

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O \equiv C\) nằm trên mặt đất (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét):

Trục \(Ox\) trùng với đường mặt đất \(AI\).

Trục \(Oy\) đi qua đỉnh \(D\) của parabol \(\left( {{P_1}} \right)\).

Tọa độ các điểm liên quan trên mặt đất và đỉnh: \(C\left( {0;0} \right),D\left( {0;5,8} \right)\).

Điểm \(E\) cách \(C\) một khoảng \(4{\rm{\;m}} \Rightarrow E\left( {4;0} \right)\).

Điểm \(G\) cách \(E\) một khoảng \(2{\rm{\;m}} \Rightarrow G\left( {6;0} \right)\).

Điểm \(I\) cách \(G\) một khoảng \(2{\rm{\;m}} \Rightarrow I\left( {8;0} \right)\).

Điểm \(A\) cách \(C\) một khoảng \(3{\rm{\;m}} \Rightarrow A\left( { - 3;0} \right)\).

Điểm \(B\) thuộc đường thẳng đứng đi qua \(A\) và cách \(A\) một khoảng \(4{\rm{\;m}} \Rightarrow B\left( { - 3;4} \right)\).

Vì \(\left( {{P_1}} \right)\) có đỉnh \(D\left( {0;5,8} \right)\) nằm trên \(Oy\), nên phương trình có dạng \(\left( {{P_1}} \right):y = {a_1}{x^2} + 5,8\quad \left( {{a_1} < 0} \right)\).

Lại có \(\left( {{P_1}} \right)\) đi qua \(B\) nên \(4 = 9{a_1} + 5,8 \Rightarrow {a_1} = - 0,2\) (thỏa mãn).

Vậy \(\left( {{P_1}} \right):y = - 0,2{x^2} + 5,8\).

Điểm \(F\) thuộc đường thẳng thẳng đứng qua \(E\left( {4;0} \right)\), nên \({x_F} = 4\), suy ra \({y_F} = - 0,2 \cdot {4^2} + 5,8 = 2,6\).

Tọa độ điểm \(F\) là \(F\left( {4;2,6} \right)\).

Vì \(\left( {{P_2}} \right)\) có đỉnh \(H\) nằm trên đường thẳng thẳng đứng qua \(G\left( {6;0} \right)\), nên \({x_H} = 6\).

Phương trình \(\left( {{P_2}} \right)\) có dạng \(y = {a_2}{x^2} + bx + c\quad \left( {{a_2} > 0} \right)\).

Vì \({x_H} = 6\) nên \( - \frac{b}{{2{a_2}}} = 6 \Rightarrow b = - 12{a_2}\).

Hai parabol nối nhau trơn tru tại \(F\left( {4;2,6} \right)\) nên \(F \in \left( {{P_2}} \right)\), suy ra \(16{a_2} + 4b + c = 2,6\). Thay \(b = - 12{a_2}\) vào ta được \( - 32{a_2} + c = 2,6\).

Điểm \(K\) thuộc đường thẳng thẳng đứng qua \(I\left( {8;0} \right)\), nên \({x_K} = 8\) và \(K \in \left( {{P_2}} \right)\), suy ra

\({y_K} = 64{a_2} + 8b + c = 64{a_2} + 8 \cdot \left( { - 12{a_2}} \right) + c = - 32{a_2} + c = 2,6\).

Vậy khoảng cách từ điểm \(K\) đến mặt đất là \(2,6{\rm{\;m\'e t}}\).