Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 7
10 câu hỏi
1) Số học sinh bình chọn cho Tuấn là \(\frac{{500 \cdot 30\% }}{{100\% }} = 150\) (học sinh)
Số học sinh bình chọn cho Trường là \(\frac{{500 \cdot 25\% }}{{100\% }} = 125\) (học sinh)
Số học sinh bình chọn cho An là \(\frac{{500 \cdot 10\% }}{{100\% }} = 50\) (học sinh)
Số học sinh bình chọn cho Linh là \(\frac{{500 \cdot 35\% }}{{100\% }} = 175\) (học sinh)
Ta có bảng tần số
|
Cầu thủ |
Tuấn |
Trường |
An |
Linh |
|
Số học sinh bình chọn |
\(150\) |
\(125\) |
\(50\) |
\(175\) |
2) Tổng số học sinh bình chọn cho Tuấn và Trường là \(150 + 125 = 275\)
Xác suất cầu thủ được chọn cho danh hiệu cầu thủ xuất sắc nhất trong giải bóng đá của trường có tên bắt đầu bởi chữ cái “\(T\)” là \(\frac{{275}}{{500}} = 0,55\).
Vậy xác suất tìm được là \(0,55\)
Thay \(x = 36\)(tmđk) vào \(A\) ta được \(A = \frac{{36 - 5}}{{\sqrt {36} }} = \frac{{31}}{6}\)
Vậy \(A = \frac{{31}}{6}\)khi \(x = 36\)
\(B = \frac{{2x + 2\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\) với \(x > 0,x \ne 1\).
\[B = \frac{{2x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[B = \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]
\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\]
Vậy \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}}\] , \(x > 0,x \ne 1\)
Tìm tất cả giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(P = AB\) có giá trị nguyên
\[P = \frac{{x - 5}}{{\sqrt x - 1}}\]
\[P = \frac{{x - 5}}{{\sqrt x - 1}} = 0 \Rightarrow x = 5\,\left( {tm} \right)\]
\[P \ne 0,x \in Z,\sqrt x \in I \Rightarrow P \notin Z\]
\[P = \sqrt x + 1 - \frac{4}{{\sqrt x - 1}} \ne 0,x \in Z,\sqrt x \in Z \Rightarrow \sqrt x - 1 \in U\left( 4 \right)\]
\[x \in \left\{ {4;9;25} \right\}\] (tmđk)
Vậy \[x \in \left\{ {4;5;9;25} \right\}\]
Gọi khối lượng dung dịch \(X\) và \(Y\) lần lượt là \(x,\,y\)( g) điều kiện \(x > 0,y > 0\)
Nồng độ muối trong dung dịch \(X\) là \(\frac{5}{x} \cdot 100\% \)
Nồng độ muối trong dung dịch \(Y\) là \(\frac{{4,8}}{x} \cdot 100\% \)
Khối lượng hai dung dịch là \(220\) gam nên \(x + y = 220\)(g) (1)
Nồng độ muối trong dung dịch \(X\) nhiêu hơn nồng độ muối trong dung dịch \(Y\) là \(1\% \) nên
\(\frac{5}{x}.100\% - \frac{{4,8}}{y}.100\% = 1\% \) (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 220\\\frac{5}{x}.100\% - \frac{{4,8}}{y}.100\% = 1\% \end{array} \right.\)
Suy ra \(x = 100,y = 120\)
Vậy khối lượng dung dịch \(X\) và \(Y\) lần lượt là \({\rm{100(g)}}{\rm{,120(g)}}\)
Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội \(A\) là \(x\) (ngày),\(\left( {x > 0} \right)\);
Thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội \(B\) là \(y\) (ngày), \(\left( {y > 0} \right)\).
Ta có mỗi ngày đội \[A\] làm được \(\frac{{\rm{1}}}{x}\) công việc; mỗi ngày đội \[B\] làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.
Vì hai đội công nhân cùng làm một công việc trong \[24\] ngày thì xong nên mỗi ngày hai đội làm được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{24}}\) (công việc).
Vì đội \[A\] làm trong \[10\] ngày và đội \[B\] làm trong \[12\] ngày thì được \(\frac{9}{{20}}\) công việc nên ta có phương trình: \(\frac{1}{x}.10 + \frac{1}{y}.12 = \frac{9}{{20}}\).
Vậy ta có hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{24}}\\\frac{{10}}{x} + \frac{{12}}{y} = \frac{9}{{20}}\end{array} \right.\). Giải hệ ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} = \frac{1}{{40}}\\\frac{1}{y} = \frac{1}{{60}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 40\\y = 60\end{array} \right.\) (thỏa mãn).
Vậy đội \[A\] làm riêng hoàn thành công việc trong \[40\] ngày, đội \[B\] làm riêng hoàn thành công việc trong \[60\] ngày.
Xét phương trình: \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m - 3 = 0\) (1).
(1) có \(\Delta ' = {\left[ { - \left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 1.\left( { - m - 3} \right) = {m^2} - 2m + 1 + m + 3 = {m^2} - m + 4 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{15}}{4} > 0\) với mọi \(m\)Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).
Với mọi \(m\) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\).
Theo hệ thức Vi-et, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = - m - 3\end{array} \right.\] .
\( \Rightarrow A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left[ {2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 2\left( { - m - 3} \right) = 4{m^2} - 8m + 4 + 2m + 6 = 4{m^2} - 6m + 10\) \( = {\left( {2m - \frac{3}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} + 10 = {\left( {2m - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} \ge \frac{{31}}{4}\) với mọi \(m\).
Vậy \(\min A = \frac{{31}}{4}\) khi \(m = \frac{3}{4}\).
Mặt xung quanh của một thùng chứa nước hình trụ có chiều cao \(1m\) được gõ từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước \[1m\] x\[2m\] (như hình vẽ).
a) Hỏi thùng nước này đựng đầy được bao nhiêu mét khối nước?
(Bỏ qua bề dày của thùng nước và lấy \[\pi = 3,14\] làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
b) Một em bé đánh rơi quả bóng bưởi xuống thùng tôn. Bên cạnh có một vòi nước cung cấp nước. Em bé cần lấy ít nhất bao nhiêu nước từ vòi để lấy được bóng bưởi một cách an toàn?
Gọi \(R\) là bán kính đáy của hình trụ
Ta có : \(C = 2\pi R \Leftrightarrow R = \frac{C}{{2\pi }} = \frac{2}{{2\pi }} = \frac{1}{\pi }\) \((m)\)
Thể tích của hình trụ là : \(V = \pi {R^2}h = \pi .{\left( {\frac{1}{\pi }} \right)^2}.1 = \pi .\frac{1}{{{\pi ^2}}} = \frac{1}{\pi } = \frac{1}{{3,14}} \approx 0,32{m^3}\)
Vậy thùng đựng được \(0,32{m^3}\) nước.
b) Để lấy bóng, em bé chỉ cần đổ đầy nước vào thùng tôn. Em bé cần lấy ít nhất \(0,32{m^3}\) nước.
Thì bóng nổi trên mặt thùng tôn khi đó sẽ an toàn.
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) có hai đường kính \(AB\) và \(CD\) vuông góc tại \(O\). Gọi I là trung điểm của \(OB\). Tia \(CI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(AE\) và \(CD\).
a) Chứng minh bốn điểm \(O\), \(I\), \(E\), \(D\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: \[AH.\,AE = 2{R^2}\] và \(OA = 3 \cdot OH\).
c) Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(BD\), \(Q\) là giao điểm của \(AD\) và \(BE\).
Chứng minh: \(Q,\,K,\,I\) thẳng hàng.
+) \(AB \bot CD\) tại \(O\), mà \(I \in OB\)
Suy ra \[\widehat {IOD} = {90^0}\]\[ \Rightarrow \Delta IOD\]vuông tại \(O\),
từ đó suy ra \[JO = JI = JD\](1)
+) Chứng minh: \[\widehat {IED} = {90^0}\]\[ \Rightarrow \Delta IED\]vuông tại \(E\),
từ đó suy ra JI = JE = JD (2)
+) Từ (1) và (2) suy ra O, I, E, D cùng thuộc một đường tròn
b) +) Chứng minh: \[\Delta AHO\# \Delta ABE\] (g.g)
+) Suy ra: \[AH \cdot AE = AO \cdot AB = R \cdot 2R = 2{R^2}\]
+) Suy ra: \[\frac{{OA}}{{OH}} = \frac{{AE}}{{BE}}\]
+) Mà \(EI\) là tia phân giác của góc \(AEB\) nên suy ra:
\[\frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{AI}}{{IB}} = \frac{{\frac{3}{2}R}}{{\frac{1}{2}R}} = 3\]
+) Suy ra: \[\frac{{OA}}{{OH}} = 3\], do đó \[OA = 3.OH\]
c) +) Chứng minh được: \[OD = 3.OH\] suy ra \[HD = \frac{2}{3}OD\]
+) Suy ra: \(H\) là trọng tâm \[\Delta ABD\]
+) Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(BD\)
Suy ra: \(A,\,H,\,K,\,E\) thẳng hàng
+) Suy ra: \(K\) là trực tâm của \[\Delta ABQ\]
+) Suy ra: \(KQ\) vuông góc \(AB\)
+) Chứng minh được: \(KI\) vuông góc \(AB\)
+) Suy ra: \(Q,\,K,\,I\) thẳng hàng
Học thông minh hơn mỗi ngày
Xem toàn bộ 10 câu hỏi và nhiều hơn nữa với tài khoản miễn phí
(0,5 điểm) Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích \(500\)cm3, chiều cao của hộp là \(2\)cm. Tìm kích thước đáy của hộp sao cho sử dụng ít vật liệu nhất.
Gọi chiều rộng của đáy hộp là \(x\)( \(x > 0\), cm).
Ta có chiều dài của hộp là \(\frac{{500}}{{2x}}\) (cm)
Ta có diện tích toàn phần của chiếc hộp là
\(S = 2x \cdot \frac{{500}}{{2x}} + 2\left( {x + \frac{{500}}{{2x}}} \right) \cdot 2 = 500 + 2x + \frac{{250}}{x}\) (cm2)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số thực dương \(2x\) và \(\frac{{250}}{x}\), ta có
\(2x + \frac{{250}}{x} \ge 2\sqrt {2x \cdot \frac{{250}}{x}} = 20\sqrt 5 \)
Từ đó \(S \ge 500 + 20\sqrt 5 \,\,\) (cm2)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(2x = \frac{{250}}{x}\) hay \({x^2} = \frac{{250}}{2} = 125\)
Suy ra \(x = 5\sqrt 5 \)cm, từ đó \(\frac{{250}}{{5\sqrt 5 }} = 10\sqrt 5 \)cm.
Vậy chiều rộng của hộp là \(5\sqrt 5 \)cm, chiều dài là \(10\sqrt 5 \)cm.
Chứng minh bổ sung Bất đẳng thức Cauchy
Xét hai số thực dương \(a\), \(b\)ta có \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).
Thật vậy, vì \(a\), \(b\) là các số thực dương nên
Từ \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \), suy ra \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
Hay \({\left( {\sqrt a } \right)^2} + {\left( {\sqrt b } \right)^2} - 2\sqrt {ab} \ge 0\)
\({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) (luôn đúng)
Vậy với hai số thực dương \(a\), \(b\) bất kỳ ta có \(\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \).
Dấu “\( = \)” xảy ra khi \(a = b\)
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
