Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 42
9 câu hỏi
(1,5 điểm)
Chỉ số phát triển con người (HDI) là chỉ tiêu tổng hợp phản ánh các mặt thu nhập, sức khỏe, giáo dục của người dân trong một quốc gia. Các nước và vùng lãnh thổ trên thế giới được chia thành 4 nhóm theo HDI: Nhóm 1 (rất cao) có HDI từ 0,8 trở lên; Nhóm 2 (cao) có HDI từ 0,7 đến dưới 0,8; Nhóm 3 (trung bình) có HDI từ 0,55 đến dưới 0,7; Nhóm 4 (thấp) có HDI dưới 0,55. Năm 2021, chỉ số HDI của 11 quốc gia Đông Nam Á như sau:
0,939 | 0,829 | 0,803 | 0,8 | 0,705 | 0,703 | 0,699 | 0,607 | 0,607 | 0,593 | 0,585 |
Dựa vào dữ liệu trên, hãy hoàn thành bảng tần số ghép nhóm sau:
Chỉ số HDI | \(\left[ {0;\,0,55} \right)\) | \(\left[ {0,55;\,0,7} \right)\) | \(\left[ {0,7;\,0,8} \right)\) | \(\left[ {0,8;\,1} \right)\) | Cộng |
Tần số | ? | ? | ? | ? | N = |
Bảng tần số ghép nhóm
Chỉ số HDI | \(\left[ {0;\,0,55} \right)\) | \(\left[ {0,55;\,0,7} \right)\) | \(\left[ {0,7;\,0,8} \right)\) | \(\left[ {0,8;\,1} \right)\) | Cộng |
Tần số | 0 | 5 | 2 | 4 | \(N = 11\) |
Một hộp có chứa 5 quả bóng có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số lần lượt từ 1 đến 5. Lấy ra ngẫu nhiên cùng một lúc 2 quả bóng từ hộp.
a) Hãy liệt kê các phần tử của không gian mẫu của phép thử.
b) Liệt kê các kết quả thuận lợi cho mỗi biến cố sau: \[D\]: “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn”.
c) Tính xác suất của biến cố\[D\]: “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn”.
a) Các phần tử của không gian mẫu của phép thử là:
\(\left\{ {(1;2);(1;3);(1;4);(1;5);(2;3);(2;4);(2;5);(3;4);(3;5);(4;5)} \right\}\)
b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố D là: \(\left\{ {(1;2);(1;4);(2;3);(2;4);(2;5);(3;4);(4;5)} \right\}\)
c) Xác suất của biến cố \[D\]: “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn” là \(\frac{7}{{10}}\)
(2,5 điểm)
Bạn Thanh có \[100\] nghìn đồng. Bạn muốn mua một cái bút giá \[18\] nghìn đồng và một số quyển vở, mỗi quyển vở giá \[17\] nghìn đồng. Hỏi bạn Thanh mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?
Gọi \[x\] (quyển) là số vở mà Thanh có thể mua. Theo bài ta có bất phương trình
\[\begin{array}{l}17x + 18 \le 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,17x \le 100 - 18\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,17\,x \le 82\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \le \frac{{82}}{{17}}\end{array}\]
Vì số vở là số tự nhiên nên Thanh có thể mua nhiều nhất \[4\] quyển vở
Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh, cách nhau \[150{\rm{ }}km,\]đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô, biết rằng nếu vận tốc của ô tô \[A\] tăng thêm \[5\,km/h\] và vận tốc của ô tô \[B\]giảm đi \[5\,km/h\] thì vận tốc của ô tô \[A\] bằng 2 lần vận tốc của ô tô \[B\].
Gọi vận tốc của ô tô \(A\) là \(x\) (km/h,\(x > 0\)); vận tốc ô tô \(B\) là \(y\)(km/h,\(x > 0\)).
Vì hai ô tô đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên: \(2x + 2y = 150\) hay \(x + y = 75\).
Khi: Ô tô \(A\) tăng 5 km/h thì vận tốc của ô tô \(A\) là \(x + 5\) km/h
Ô tô \(B\) giảm 5 km/h thì vận tốc của ô tô \(B\) là \(y - 5\) km/h
Vì vận tốc ô tô \(A\) bằng 2 lần vận tốc ô tô \(B\) nên: \(x + 5 = 2\left( {y - 5} \right)\)
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 75\\x + 5 = 2\left( {y - 5} \right)\end{array} \right.\)
Giải hệ ta được \[\left\{ \begin{array}{l}y = 30\\x = 45\,\end{array} \right.\] (thoả mãn).
Vậy vận tốc ô tô \[A\] là \(45\,km/h\) và vận tốc của ô tô \[B\] là \(30\,km/h\).
Cho phương trình \( - {x^2} + mx + m + 1 = 0\). Chứng minh phương trình luôn có một nghiệm không phụ thuộc vào \(m\). Tìm nghiệm còn lại.
Nhận thấy phương trình có: \(a - b + c = - 1 - m + \left( {m + 1} \right) = 0\)
Vậy phương trình luôn có một nghiệm \({x_1} = - 1\) (không phụ thuộc vào \(m\)) và nghiệm còn lại là\({x_2} = m + 1\)
(1,5 điểm)
1) Cho biểu thức\(A = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 2}}\). Tính giá trị của biểu thức\(A\)với \(x = 36\).
2) Rút gọn biểu thức\(B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x - 4}}} \right) & :\frac{{x + 16}}{{\sqrt x + 2}}\) (với \(x \ge 0\), \(x \ne 16\)).
3) Với các biểu thức\(A\)và\(B\) , hãy tìm các giá trị nguyên của \(x\) để giá trị của biểu thức \(B\left( {A - 1} \right)\) là nhận giá trị nguyên.
1) Với \(x = 36\), ta có \(A = \frac{{\sqrt {36} + 4}}{{\sqrt {36} + 2}}\)\( = \frac{{10}}{8}\)\( = \frac{5}{4}\).
2) Với \(x \ge 0\), \(x \ne 16\) ta có
\(B = \left( {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{x - 16}} + \frac{{4\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{x - 16}}} \right).\frac{{\sqrt x + 2}}{{x + 16}} = \frac{{\left( {x + 16} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {x - 16} \right)\left( {x + 16} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}\).
3) Biểu thức \(B\left( {A - 1} \right) = \frac{{\sqrt x + 2}}{{x - 16}}.\left( {\frac{{\sqrt x + 4 - \sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}}} \right) = \frac{2}{{x - 16}}\).
Ta có \(B\left( {A - 1} \right)\) nhận giá trị nguyên khi \(\frac{2}{{x - 16}}\) có giá trị nguyên.
Suy ra \(x - 16 \in \)Ư(2) = \(\left\{ { - 2;\, - 1;\,1;\,2} \right\}\). Suy ra \(x \in \left\{ {14;\,15;\,17;\,18} \right\}\)
Kết hợp điều kiện, để \(B\left( {A - 1} \right)\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {14;\,15;\,17;\,18} \right\}\).
(4,0 điểm)
Một cốc nước có dạng hình trụ với đường kính đáy bằng 8 cm, chiều cao 12 cm và chứa một lượng nước cao 10 cm. Người ta thả từ từ một viên bi làm bằng thép đặc (không thấm nước) có thể tích là \[V{\rm{ }} = {\rm{ }}4\pi \left( {c{m^3}} \right)\] vào trong cốc. Hỏi mực nước trong cốc lúc này cao bao nhiêu cm?
(Giả sử độ dày của cốc không đáng kể).
* Bán kính đáy của cốc nước hình trụ là:
\(R = 8:2 = 4(cm)\)
* Vì thể tích mực nước dâng lên bằng thể tích của viên bi nên:
\[{V_{nuoc\,dang}} = \pi {R^2}.{h_1} = 4\pi \]
\[{h_1} = \frac{{4\pi }}{{\pi {R^2}}} = \frac{4}{{16}} = 0,25(cm)\]
* Mực nước trong cốc sau khi thả viên bi là:
\[10{\rm{ }} + {\rm{ }}0,25{\rm{ }} = {\rm{ }}10,25{\rm{ }}\left( {cm} \right)\]
* Vậy mực nước trong cốc lúc này là\[{\rm{ }}10,25{\rm{ cm}}{\rm{.}}\]
Cho đường tròn tâm \((O)\), đường kính \(AB = 2R\). Trên đường tròn \((O)\), lấy điểm \(C\) bất kì (\(C\) không trùng với \(A\) và \(B\)). Tiếp tuyến của đường tròn \((O)\) tại \(A\) cắt tia \(BC\) ở điểm \(D.\) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên đường thẳng \(DO.\) Tia \(AH\) cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F\) (không trùng với \(A\)).
a) Chứng minh tứ giác \(AHCD\) nội tiếp được một đường tròn.
b) Chứng minh \[\Delta CFH\] là tam giác vuông.
c) Tính giá trị của biểu thức \(S = \frac{{BH.BC}}{{BF}}\).
a) Do \(AH \bot DH\) \[ \Rightarrow \widehat {AHD} = 90^\circ \] nên A, H, D thuộc đường tròn đường kính AD (1)
Lại có \(\widehat {ACB} = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đưởng tròn).
Suy ra \(\widehat {ACD} = {90^0}\) nên A, C, D thuộc đường tròn đường kính AD (1)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) A, H, C, D thuộc đường tròn đường kính AD hay tứ giác AHCD nội tiếp được một đường tròn.
b) Tứ giác AHCD nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {HCB} = \widehat {DAH}\)
Ta có \(\widehat {BCF};\widehat {BAF}\) nội tiếp (O) cùng chắn \( \Rightarrow \widehat {BCF} = \widehat {BAF}\)
\( \Rightarrow \widehat {HCF} = \widehat {HCB} + \widehat {BCF} = \widehat {DAH} + \widehat {BAF} = \widehat {DAB} = 90^\circ .\)
Vậy \[\Delta CFH\] là tam giác vuông tại C.
c) Ta có: \[\widehat {FCB} = \widehat {HAB}\] (3) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Tam giác OAD vuông tại A. Khi đó \[O{A^2} = OH.OD\]
Mà OA = OB nên \[O{B^2} = OH.OD \Rightarrow \frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OD}}\]
Suy ra hai tam giác OHB và OBD đồng dạng.
Suy ra \[\widehat {OBH} = \widehat {ODB}\] (4)
Ta lại có tứ giác AHCD nội tiếp nên \[\widehat {ODB} = \widehat {CAH}\] (5)
Tứ giác ABFC nội tiếp nên \[\widehat {CAH} = \widehat {CBF}\] (6)
Từ (4), (5) và (6) suy ra \[\widehat {OBH} = \widehat {CBF}\] (7)
Từ (3) và (7) suy ra hai tam giác HAB và FCB đồng dạng
Khi đó, ta có: \[\frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BH}} \Rightarrow \frac{{BC.BH}}{{BF}} = BA \Rightarrow \frac{{BC.BH}}{{BF}} = 2R\].
Vậy \[S = \frac{{BC.BH}}{{BF}} = 2R\].
(0,5 điểm) Ở hai quầy hàng A và B trong một hội hoa xuân người ta bán cùng 1 loại hạt bắp rang bơ lần lượt được đựng trong hai loại hộp hình nón và hình trụ với thông tin giá cả và định lượng như trong hình dưới đây. Vỏ hộp đều được làm từ giấy phần này nhận được sự tài trợ của công ty giấy nên cả hai quầy không tốn chi phí làm vỏ hộp. Hỏi bạn H nên mua bắp rang bơ ở quầy A hay quầy B để có lợi hơn ? Tại sao
Thể tích hộp đựng hạt bắp rang bơ ở hình quầy A : \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.6 = 18\pi \;(inc{h^3})\]
Thể tích hộp đựng hạt bắp rang bơ ở hình quầy B: \[V = \pi {R^2}h = \pi {.3^2}.6 = 54\pi \;(inc{h^3})\]
Thể tích hộp bắp rang bơ ở quầy B gấp thể tích hộp bắp rang bơ ở quầy A là \[54\pi :18\pi = \;3\](lần)
Mà giá tiền của quầy B gấp giá tiền của quầy A là \[4:2 = \;2\](lần)
Vậy Bạn H nên mua ở quầy B sẽ được lợi hơn.
