Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 42

Bảng tần số ghép nhóm

a) Các phần tử của không gian mẫu của phép thử là:

\(\left\{ {(1;2);(1;3);(1;4);(1;5);(2;3);(2;4);(2;5);(3;4);(3;5);(4;5)} \right\}\)

b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố D là: \(\left\{ {(1;2);(1;4);(2;3);(2;4);(2;5);(3;4);(4;5)} \right\}\)

c) Xác suất của biến cố \[D\]: “Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn” là \(\frac{7}{{10}}\)

1) Với \(x = 36\), ta có \(A = \frac{{\sqrt {36}  + 4}}{{\sqrt {36}  + 2}}\)\( = \frac{{10}}{8}\)\( = \frac{5}{4}\).

2) Với \(x \ge 0\), \(x \ne 16\) ta có

\(B = \left( {\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{x - 16}} + \frac{{4\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{x - 16}}} \right).\frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 16}} = \frac{{\left( {x + 16} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {x - 16} \right)\left( {x + 16} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 16}}\).

3) Biểu thức \(B\left( {A - 1} \right) = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 16}}.\left( {\frac{{\sqrt x  + 4 - \sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 2}}} \right) = \frac{2}{{x - 16}}\).

Ta có \(B\left( {A - 1} \right)\) nhận giá trị nguyên khi \(\frac{2}{{x - 16}}\) có giá trị nguyên.

Suy ra \(x - 16 \in \)Ư(2) = \(\left\{ { - 2;\, - 1;\,1;\,2} \right\}\). Suy ra \(x \in \left\{ {14;\,15;\,17;\,18} \right\}\)

Kết hợp điều kiện, để \(B\left( {A - 1} \right)\) nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {14;\,15;\,17;\,18} \right\}\).

Gọi \[x\] (quyển) là số vở mà Thanh có thể mua. Theo bài ta có bất phương trình

                                        \[\begin{array}{l}17x + 18 \le 100\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,17x \le 100 - 18\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,17\,x \le 82\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \le \frac{{82}}{{17}}\end{array}\]

Vì số vở là số tự nhiên nên Thanh có thể mua nhiều nhất \[4\] quyển vở

Gọi vận tốc của ô tô \(A\) là \(x\) (km/h,\(x > 0\)); vận tốc ô tô \(B\) là \(y\)(km/h,\(x > 0\)).

Vì hai ô tô đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ nên: \(2x + 2y = 150\) hay \(x + y = 75\).

Khi: Ô tô \(A\) tăng 5 km/h thì vận tốc của ô tô \(A\) là \(x + 5\) km/h

        Ô tô \(B\) giảm 5 km/h thì vận tốc của ô tô \(B\) là \(y - 5\) km/h

Vì vận tốc ô tô \(A\) bằng 2 lần vận tốc ô tô \(B\) nên: \(x + 5 = 2\left( {y - 5} \right)\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 75\\x + 5 = 2\left( {y - 5} \right)\end{array} \right.\)

Giải hệ ta được \[\left\{ \begin{array}{l}y = 30\\x = 45\,\end{array} \right.\] (thoả mãn).

Vậy vận tốc ô tô \[A\] là \(45\,km/h\) và vận tốc của ô tô \[B\] là \(30\,km/h\).

Nhận thấy phương trình có: \(a - b + c =  - 1 - m + \left( {m + 1} \right) = 0\)

* Bán kính đáy của cốc nước hình trụ là:

          \(R = 8:2 = 4(cm)\)

* Vì thể tích mực nước dâng lên bằng thể tích của viên bi nên:

            \[{V_{nuoc\,dang}} = \pi {R^2}.{h_1} = 4\pi \]

            \[{h_1} = \frac{{4\pi }}{{\pi {R^2}}} = \frac{4}{{16}} = 0,25(cm)\]

* Mực nước trong cốc sau khi thả viên bi là:

           \[10{\rm{ }} + {\rm{ }}0,25{\rm{ }} = {\rm{ }}10,25{\rm{ }}\left( {cm} \right)\]

a) Do \(AH \bot DH\) \[ \Rightarrow \widehat {AHD} = 90^\circ \] nên A, H, D thuộc đường tròn đường kính AD (1)

Lại có \(\widehat {ACB} = {90^0}\)(góc nội tiếp chắn nửa đưởng tròn).

Suy ra \(\widehat {ACD} = {90^0}\) nên A, C, D thuộc đường tròn đường kính AD (1)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) A, H, C, D  thuộc đường tròn đường kính AD hay tứ giác AHCD nội tiếp được một đường tròn.

b) Tứ giác AHCD nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {HCB} = \widehat {DAH}\)

Ta có \(\widehat {BCF};\widehat {BAF}\) nội tiếp (O) cùng chắn   \( \Rightarrow \widehat {BCF} = \widehat {BAF}\)

\( \Rightarrow \widehat {HCF} = \widehat {HCB} + \widehat {BCF} = \widehat {DAH} + \widehat {BAF} = \widehat {DAB} = 90^\circ .\)

Vậy \[\Delta CFH\] là tam giác vuông tại C.

c) Ta có: \[\widehat {FCB} = \widehat {HAB}\]  (3) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).

Tam giác OAD vuông tại A. Khi đó \[O{A^2} = OH.OD\]

Mà OA = OB nên \[O{B^2} = OH.OD \Rightarrow \frac{{OH}}{{OB}} = \frac{{OB}}{{OD}}\]

Suy ra hai tam giác OHB và OBD đồng dạng.

Suy ra \[\widehat {OBH} = \widehat {ODB}\] (4)

Ta lại có tứ giác AHCD nội tiếp nên \[\widehat {ODB} = \widehat {CAH}\] (5)

Tứ giác ABFC nội tiếp nên \[\widehat {CAH} = \widehat {CBF}\]  (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra \[\widehat {OBH} = \widehat {CBF}\] (7)

Từ (3) và (7) suy ra hai tam giác HAB và FCB đồng dạng

Khi đó, ta có: \[\frac{{BC}}{{BA}} = \frac{{BF}}{{BH}} \Rightarrow \frac{{BC.BH}}{{BF}} = BA \Rightarrow \frac{{BC.BH}}{{BF}} = 2R\].

Vậy \[S = \frac{{BC.BH}}{{BF}} = 2R\].

Thể tích hộp đựng hạt bắp rang bơ ở hình quầy A : \[V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.6 = 18\pi \;(inc{h^3})\]

Thể tích hộp đựng hạt bắp rang bơ ở hình quầy B: \[V = \pi {R^2}h = \pi {.3^2}.6 = 54\pi \;(inc{h^3})\]

Thể tích hộp bắp rang bơ ở  quầy B gấp thể tích hộp bắp rang bơ ở quầy A là \[54\pi :18\pi  = \;3\](lần)

Mà giá tiền của quầy B gấp giá tiền của quầy A là \[4:2 = \;2\](lần)

Vậy Bạn H nên mua ở quầy B sẽ được lợi hơn.