Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 41

Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \[\left[ {600\,;\,750} \right)\] với tần số \[40\].

Tần số tương đối của nhóm có tần số lớn nhất là \[\frac{{40.100}}{{150}}\%  = 26,7\% \].

Không gian mẫu là \(\Omega  = \left\{ {44;45;46;54;55;56;64;65;66} \right\}\), suy ra \(n\left( \Omega  \right) = 9\)

Có \(6\) kết quả thuận lợi của biến cố “ Số được viết có hai chữ số khác nhau” là\(\left\{ {45;46;54;56;64;65} \right\}.\) Vậy \(P = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).

1) Với \(x = 16\) (thoả mãn \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\)) ta có \(A = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16}  - 2}}\)\( = \frac{{19}}{2}\). Vậy \(A = \frac{{19}}{2}\) khi \(x = 16\).

2) Với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) ta có  \(B = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{3\sqrt x  + 6}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) - 3\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 5\sqrt x  + 6 - 3\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

Vậy với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

3) Ta có \(\frac{A}{B} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}\)

Xét \(\frac{A}{B} - 3 = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} - 3 = \frac{{x - 3\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}{{\sqrt x }}\)

Với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) thì \(\sqrt x  > 0,\,\,{\left( {\sqrt x  - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) nên \(\frac{A}{B} - 3 > 0\). Suy ra \(\frac{A}{B} > 3\).

Vậy với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) thì \(\frac{A}{B} > 3\).

Nếu thuê theo gói cố định thì hàng tháng anh Tâm phải trả số tiền là \(350000\) (đồng).

Nếu thuê theo gói linh hoạt thì hàng tháng anh Tâm phải trả số tiền là

\(189000 + 374.400 = 338600\) (đồng)

Như vậy, nếu anh Tâm nên thuê pin theo gói linh hoạt thì tiết kiệm hơn.

Số tiền anh Tâm tiết kiệm được mỗi tháng là \(350000 - 338600 = 11400\) (đồng).

Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong một ngày là \[x\] (sản phẩm) \[\left( {x \in \mathbb{N}*;{\rm{ }}x > 60} \right)\]

Thời gian hoàn thành dự kiến \[\frac{{480}}{x}\] (ngày).

Số sản phẩm thực tế làm được trong một ngày sau khi tăng năng suất là: \[x + 5\] (sản phẩm)

Số ngày thực tế hoàn thành: \[\frac{{60}}{x} + \frac{{480 - 60}}{{x + 5}} = \frac{{60}}{x} + \frac{{420}}{{x + 5}}\] (ngày).

Vì đội hoàn thành sớm hơn so với dự kiến \(2\) ngày nên ta có: \[\frac{{480}}{x} - \left( {\frac{{60}}{x} + \frac{{420}}{{x + 5}}} \right) = 2\]

\[\frac{{480}}{x} - \frac{{60}}{x} - \frac{{420}}{{x + 5}} = 2\]

\[\frac{{420}}{x} - \frac{{420}}{{x + 5}} = 2\]

\[\frac{{420\left( {x + 5} \right)}}{x} - \frac{{420x}}{{x + 5}} = \frac{{2x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\]

\[420\left( {x + 5} \right) - 420x = 2x\left( {x + 5} \right)\]

\[2{x^2} + 10x - 2100 = 0\], suy ra \[\left[ \begin{array}{l}x = 30{\rm{ }}(tm)\\x =  - 35{\rm{ }}(ktm)\end{array} \right.\]

Vậy theo dự kiến mỗi ngày sẽ làm được \[30\] sản phẩm.

Ta có: \({\rm{\Delta '}} = {\left( { - m} \right)^2} - \left( { - 4m - 5} \right) = {m^2} + 4m + 5\)

\( = \left( {{m^2} + 4m + 4} \right) + 1 = {(m + 2)^2} + 1 \ge 1\,\,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Theo hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m}\\{{x_1}{x_2} =  - 4m - 5}\end{array}} \right.\).

Ta có \({x_1}\) là nghiệm của (1) nên \(x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 = 0\)

\(x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2{x_2} - 4m = 5 + 2{x_1}{x_2}\)

\(\;x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2{x_2} - 4m - 5 - 2{x_1}{x_2} = 0\)

\(\;x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1} + 2{x_2} - 2{x_1}{x_2} + \left( { - 4m - 5} \right) = 0\)

\(\;x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 + 2{x_1} + 2{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 0\)

\(2\left( {{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2}} \right) = 0\)

\(2m + 4m + 5 = 0\)

\(m =  - \frac{5}{6}\).

Vậy \(m =  - \frac{5}{6}\).

a) Vì \(\widehat {BEC}\) và \(\widehat {BDC}\) là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên: \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ \)

Suy ra hai điểm \(E\) và \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Do đó bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)

Vậy tứ giác \(AEHD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\)

b) Chứng minh \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra \(AI \bot BC\)

Chứng minh được  (g.g)

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BI}}{{BE}}\) hay \(AB.BE = AI.BC\) (1)

Tương tự: \(AC.CD = AI.BC\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AB.BE + AC.CD = BI.BC + CI.BC = \left( {BI + CI} \right).BC = B{C^2}\)

Vậy \(AB.BE + AC.CD = B{C^2}\)

c) Chứng minh 5 điểm \(A\,,\,M\,,\,I\,,\,O\,,\,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AO\), suy ra tứ giác \(AMIN\) nội tiếp , suy ra \(\widehat {AMI} + \widehat {ANI} = 180^\circ \) (*)

Chứng minh  (g.g), suy ra \(\frac{{AE}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(AE.AB = AI.AH\) (3)

Chứng minh  (g.g), suy ra \(\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) hay \(AB.AE = A{M^2}\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra  hay \(\frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}}\)

Chứng minh  (c.g.c), suy ra \(\widehat {AMI} = \widehat {AHM}\) (**)

Tương tự: \(\widehat {ANI} = \widehat {AHN}\) (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra \(\widehat {AHM} + \widehat {AHN} = 180^\circ \)

Vậy ba điểm \(M\), \(H\), \(N\) thẳng hàng.

Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, coi khung sắt là hình chữ nhật \[ABCD\]. Khi đó \[\left( P \right){\rm{ }}\]đi qua các điểm \[O\left( {0;0} \right)\]; \[\left( { - 2; - 4} \right)\]; \[\left( {2; - 4} \right)\] nên parabol \[\left( P \right)\] có phương trình: \[y =  - {x^2}\].

Giả sử \[C \in \left( P \right)\]\[ \Rightarrow \] \[\left( {0 < x < 2} \right)\]. Khi đó \(BC = 2x\);  suy ra

Ta có:

Suy ra \[{S^2} \le \frac{{1024}}{{27}}\] hay \[S \le \frac{{32\sqrt 3 }}{9}\]. Dấu xảy ra khi \[x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].

Vậy kích thước của khung thép có chiều rộng là \[\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]; chiều dài là \[\frac{8}{3}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].