Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 41
9 câu hỏi
(1,5 điểm)
Một siêu thị thống kê hóa đơn mua hàng (đơn vị: nghìn đồng) của \(150\) khách hàng đầu tiên trong ngày. Số liệu được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm sau:
Tính tần số tương đối của nhóm có tần số lớn nhất (làm tròn đến số thập phân thứ nhất).
Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm \[\left[ {600\,;\,750} \right)\] với tần số \[40\].
Tần số tương đối của nhóm có tần số lớn nhất là \[\frac{{40.100}}{{150}}\% = 26,7\% \].
Cho tập hợp \[A = \left\{ {4;5;6} \right\}\]. Từ các chữ số của tập hợp \[A\] viết ngẫu nhiên một số tự nhiên có \[2\] chữ số. Tính xác suất để số được viết có hai chữ số khác nhau.
Không gian mẫu là \(\Omega = \left\{ {44;45;46;54;55;56;64;65;66} \right\}\), suy ra \(n\left( \Omega \right) = 9\)
Có \(6\) kết quả thuận lợi của biến cố “ Số được viết có hai chữ số khác nhau” là\(\left\{ {45;46;54;56;64;65} \right\}.\) Vậy \(P = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\).
(2,5 điểm) .
Một cửa hàng xe máy điện cung cấp gói thuê pin theo tháng cho khách hàng dưới hai hình thức như sau:Gói linh hoạt: mức giá là \(189000\) đồng/tháng, cho phép xe di chuyển tối đa \(400{\rm{\;km}}\). Nếu vượt số ki-lô-mét này, người dùng sẽ trả thêm \(374\) đồng cho mỗi ki-lô-mét vượt.Gói cố định: mức giá là \(350000\) đồng/tháng, không giới hạn số ki-lô-mét di chuyển. Trung bình mỗi tháng anh Tâm di chuyển \(800{\rm{\;km}}\) bằng xe máy điện. Hỏi anh Tâm nên thuê pin theo hình thức nào thì tiết kiệm hơn? Và tiết kiệm được bao nhiêu tiền mỗi tháng?
Nếu thuê theo gói cố định thì hàng tháng anh Tâm phải trả số tiền là \(350000\) (đồng).
Nếu thuê theo gói linh hoạt thì hàng tháng anh Tâm phải trả số tiền là
\(189000 + 374.400 = 338600\) (đồng)
Như vậy, nếu anh Tâm nên thuê pin theo gói linh hoạt thì tiết kiệm hơn.
Số tiền anh Tâm tiết kiệm được mỗi tháng là \(350000 - 338600 = 11400\) (đồng).
Một đội công nhân theo kế hoạch làm \(480\) sản phẩm trong một thời gian nhất định. Khi làm được \(60\) sản phẩm, do yêu cầu đầy nhanh tiến độ công việc nên mỗi ngày đội đã làm thêm được nhiều hơn dự kiến \(5\) sản phẩm, vì vậy đội hoàn thành sớm hơn so với dự kiến \(2\) ngày. Hỏi ban đầu đội dự định mỗi ngày làm bao nhiêu sản phẩm?
Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong một ngày là \[x\] (sản phẩm) \[\left( {x \in \mathbb{N}*;{\rm{ }}x > 60} \right)\]
Thời gian hoàn thành dự kiến \[\frac{{480}}{x}\] (ngày).
Số sản phẩm thực tế làm được trong một ngày sau khi tăng năng suất là: \[x + 5\] (sản phẩm)
Số ngày thực tế hoàn thành: \[\frac{{60}}{x} + \frac{{480 - 60}}{{x + 5}} = \frac{{60}}{x} + \frac{{420}}{{x + 5}}\] (ngày).
Vì đội hoàn thành sớm hơn so với dự kiến \(2\) ngày nên ta có: \[\frac{{480}}{x} - \left( {\frac{{60}}{x} + \frac{{420}}{{x + 5}}} \right) = 2\]
\[\frac{{480}}{x} - \frac{{60}}{x} - \frac{{420}}{{x + 5}} = 2\]
\[\frac{{420}}{x} - \frac{{420}}{{x + 5}} = 2\]
\[\frac{{420\left( {x + 5} \right)}}{x} - \frac{{420x}}{{x + 5}} = \frac{{2x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\]
\[420\left( {x + 5} \right) - 420x = 2x\left( {x + 5} \right)\]
\[2{x^2} + 10x - 2100 = 0\], suy ra \[\left[ \begin{array}{l}x = 30{\rm{ }}(tm)\\x = - 35{\rm{ }}(ktm)\end{array} \right.\]
Vậy theo dự kiến mỗi ngày sẽ làm được \[30\] sản phẩm.
Tìm các giá trị của tham số \(m\) sao cho phương trình \({x^2} - 2mx - 4m - 5 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thoả mãn \(x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2{x_2} - 4m = 5 + 2{x_1}{x_2}\).
Ta có: \({\rm{\Delta '}} = {\left( { - m} \right)^2} - \left( { - 4m - 5} \right) = {m^2} + 4m + 5\)
\( = \left( {{m^2} + 4m + 4} \right) + 1 = {(m + 2)^2} + 1 \ge 1\,\,\forall m\) nên phương trình luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)
Theo hệ thức Viète: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2m}\\{{x_1}{x_2} = - 4m - 5}\end{array}} \right.\).
Ta có \({x_1}\) là nghiệm của (1) nên \(x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 = 0\)
\(x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2{x_2} - 4m = 5 + 2{x_1}{x_2}\)
\(\;x_1^2 - 2\left( {m - 1} \right){x_1} + 2{x_2} - 4m - 5 - 2{x_1}{x_2} = 0\)
\(\;x_1^2 - 2m{x_1} + 2{x_1} + 2{x_2} - 2{x_1}{x_2} + \left( { - 4m - 5} \right) = 0\)
\(\;x_1^2 - 2m{x_1} - 4m - 5 + 2{x_1} + 2{x_2} - 2{x_1}{x_2} = 0\)
\(2\left( {{x_1} + {x_2} - {x_1}{x_2}} \right) = 0\)
\(2m + 4m + 5 = 0\)
\(m = - \frac{5}{6}\).
Vậy \(m = - \frac{5}{6}\).
(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{3\sqrt x + 6}}{{x - 4}}\) với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\)
1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\).
2) Rút gọn biểu thức \(B\).
3) So sánh biểu thức \(\frac{A}{B}\) với \(3\).
1) Với \(x = 16\) (thoả mãn \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\)) ta có \(A = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16} - 2}}\)\( = \frac{{19}}{2}\). Vậy \(A = \frac{{19}}{2}\) khi \(x = 16\).
2) Với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) ta có \(B = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{3\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right) - 3\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{x + 5\sqrt x + 6 - 3\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
Vậy với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) thì \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}\)
3) Ta có \(\frac{A}{B} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }}\)
Xét \(\frac{A}{B} - 3 = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} - 3 = \frac{{x - 3\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }} = \frac{{{{\left( {\sqrt x - \frac{3}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}{{\sqrt x }}\)
Với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) thì \(\sqrt x > 0,\,\,{\left( {\sqrt x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) nên \(\frac{A}{B} - 3 > 0\). Suy ra \(\frac{A}{B} > 3\).
Vậy với \(x > 0,\,{\rm{ }}x \ne 4\) thì \(\frac{A}{B} > 3\).
(4,0 điểm).
Một trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy trục lăn là \(5{\rm{\;cm}}\), chiều dài trục lăn là \(23{\rm{\;cm}}\) (hình bên). Sau khi lăn trục lăn trọn \(15\) vòng trên một bức tường phẳng thì diện tích phủ sơn là bao nhiêu \({\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) (giả sử các đường lăn không chồng lấn lên nhau, lấy \(\pi = 3,14)\).
Bán kính của đường tròn đáy trục lăn là \(5:2 = 2,5{\rm{\;cm}}\)
Trục lăn sơn có dạng hình trụ nên ta có:
Diện tích xung quanh trục lăn sơn là: \({S_{{\rm{mq\;}}}} = 2\pi rh\)\( = 2\pi .2,5.23\)\( = 361,1\,\,\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)
Sau khi lăn 15 vòng trên một bức tường phẳng thì diện tích phủ sơn là: \(361,1.15 = 5416,5\left( {{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn. Đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(BC\) cắt \(AB\), \(AC\) lần lượt tại \(E\) và \(D\); \(BD\) cắt \(CE\) tại \(H\), \(AH\) cắt \(BC\) tại \(I\). Từ \(A\) kẻ tiếp tuyến \(AM\), \(AN\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(M\), \(N\) là tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác \(AEHD\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(AB.BE = BI.BC\), từ đó suy ra \(AB.BE + AC.CD = B{C^2}\).
c) Chứng minh ba điểm \(M\), \(H\), \(N\) thẳng hàng.
a) Vì \(\widehat {BEC}\) và \(\widehat {BDC}\) là hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên: \(\widehat {BEC} = \widehat {BDC} = 90^\circ \), suy ra \(\widehat {AEH} = \widehat {ADH} = 90^\circ \)
Suy ra hai điểm \(E\) và \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)
Do đó bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AH\)
Vậy tứ giác \(AEHD\) nội tiếp đường tròn đường kính \(AH\)
b) Chứng minh \(H\) là trực tâm của \(\Delta ABC\) suy ra \(AI \bot BC\)
Chứng minh được (g.g)
Suy ra: \(\frac{{AB}}{{CB}} = \frac{{BI}}{{BE}}\) hay \(AB.BE = AI.BC\) (1)
Tương tự: \(AC.CD = AI.BC\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(AB.BE + AC.CD = BI.BC + CI.BC = \left( {BI + CI} \right).BC = B{C^2}\)
Vậy \(AB.BE + AC.CD = B{C^2}\)
c) Chứng minh 5 điểm \(A\,,\,M\,,\,I\,,\,O\,,\,N\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AO\), suy ra tứ giác \(AMIN\) nội tiếp , suy ra \(\widehat {AMI} + \widehat {ANI} = 180^\circ \) (*)
Chứng minh (g.g), suy ra \(\frac{{AE}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) hay \(AE.AB = AI.AH\) (3)
Chứng minh (g.g), suy ra \(\frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) hay \(AB.AE = A{M^2}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra hay \(\frac{{AM}}{{AI}} = \frac{{AH}}{{AM}}\)
Chứng minh (c.g.c), suy ra \(\widehat {AMI} = \widehat {AHM}\) (**)
Tương tự: \(\widehat {ANI} = \widehat {AHN}\) (***)
Từ (*), (**) và (***) suy ra \(\widehat {AHM} + \widehat {AHN} = 180^\circ \)
Vậy ba điểm \(M\), \(H\), \(N\) thẳng hàng.
(0,5 điểm) Cửa hầm lò khai thác than có dạng một Parabol, khoảng cách từ điểm cao nhất của cửa đến mặt đất là \(4\)mét, khoảng cách giữa hai chân cửa là \(4\)mét. Người ta muốn gia cố cho cửa lò bằng một khung thép hình chữ nhật sao cho hai đỉnh dưới của khung thép chạm đất, hai đỉnh trên của khung thép chống vào mái hầm (hình vẽ minh họa). Tìm kích thước của khung thép sao cho diện tích của hình chữ nhật tạo bởi khung thép lớn nhất.
Đặt hệ tọa độ như hình vẽ, coi khung sắt là hình chữ nhật \[ABCD\]. Khi đó \[\left( P \right){\rm{ }}\]đi qua các điểm \[O\left( {0;0} \right)\]; \[\left( { - 2; - 4} \right)\]; \[\left( {2; - 4} \right)\] nên parabol \[\left( P \right)\] có phương trình: \[y = - {x^2}\].
Giả sử \[C \in \left( P \right)\]\[ \Rightarrow \] \[\left( {0 < x < 2} \right)\]. Khi đó \(BC = 2x\); suy ra
Ta có:
Suy ra \[{S^2} \le \frac{{1024}}{{27}}\] hay \[S \le \frac{{32\sqrt 3 }}{9}\]. Dấu xảy ra khi \[x = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\].
Vậy kích thước của khung thép có chiều rộng là \[\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]; chiều dài là \[\frac{8}{3}\,\,\left( {\rm{m}} \right)\].
