Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 45

(1,5 điểm)

Sau khi điều tra mật độ dân số ( đơn vị: người/km2) của 37 tỉnh, thành phố thuộc các vùng Bắc Trung Bộ và Duyên hải miền Trung, Tây Nguyên, Đông Nam Bộ, Đồng bằng sông Cửu Long (không kể Thành phố Hồ Chí Minh) ở năm 2021, người ta có biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:

            a)  Tìm tần số ghép nhóm của nhóm \[{\rm{[}}460;640)\].

            b) Tính tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \[{\rm{[10}}0;280)\].( làm tròn đến hàng đơn vị)

Hình vẽ dưới đây mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia thành \(12\) phần bằng nhau và ghi các số \(1;2;3;...;12\). Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa.

Xét phép thử: “Quay đĩa tròn một lần” và biến cố \(A:\) “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số là số nguyên tố ”. Tính xác suất của biến cố \(A\).

(1,5 điểm) Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 3}}\) và \[B = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{9}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }}\]  với \(x > 0;x \ne 9\).

1). Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 25\).

2). Rút gọn biểu thức \[B\].

3). Xét biểu thức \(P = A \cdot B\). Chứng minh \(P > 0\).

(2,5 điểm)

Bác Tuấn vay tổng số tiền là 5 tỉ đồng từ hai ngân hàng Sacombank và Vietcombank đầu tư vào bất động sản. Sau một năm, tổng số tiền lãi  phải trả cho hai ngân hàng trên là 570 triệu đồng. Lãi suất cho vay của ngân hàng Sacombank là 12% /năm và  của Vietcombank là 11% /năm. Tính số tiền bác Tuấn đã vay của mỗi ngân hàng.

Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định. Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm. Mặc dù người đó mỗi giờ đã làm thêm một sản phẩm so với dự kiến, nhưng thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với dự định là 12 phút. Tính số sản phẩm dự kiến làm trong 1 giờ của người đó. Biết mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm.(Giả định rằng số sản phẩm mà công nhân  đó làm được trong mỗi giờ là bằng nhau).

a). Hãy tìm  một phương trình bậc hai  \[a{x^2} + bx + c = 0\] với các hệ số \[a,b,c\] là số nguyên nhận \(x = \frac{{\sqrt 5  - 2}}{3}\) làm nghiệm.

b). Tính tổng lập phương hai nghiệm của phương trình vừa tìm được ở câu a)

(4,0 điểm)

Một khối gỗ dạng hình trụ, bán kính đường tròn đáy \[r = 10\left( {cm} \right),\]chiều cao \[h = 20(cm)\]. Người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình vẽ.

a.   Tính thể tích của khối gỗ  khi chưa khoét.

b.   Hãy tính diện tích bề mặt của khối gỗ còn lại sau khi khoét (diện tích cả ngoài lẫn trong).

  ( các kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Tứ giác \[ABCD\] nội tiếp đường tròn tâm \[O\] đường kính \[AD.\] Hai đường chéo \[AC,BD\] cắt nhau tại \[E.\] Từ \[E\] kẻ \[EF\]vuông góc với \[AD\] ( \[F \in AD\]). Đường thẳng \[CF\] cắt đường tròn tại điểm thứ hai là \[M.\] Giao điểm của \[BD\] và \[CF\] là \[N.\]Chứng minh :

a)   \[CEFD\] là tứ giác nội tiếp.       

b) \[FA\]  là tia phân giác của \[\widehat {BFM}\] .

c)   \[BE.DN = EN.BD\].

(0,5 điểm)  Một cửa hàng xăng dầu cần xây một bồn chứa dầu hình trụ bằng thép có thể tích \(54\pi \left( {{m^3}} \right)\) và giá mỗi mét vuông thép là 500 ngàn đồng. Hỏi số tiền thấp nhất mà cửa hàng phải trả ? ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)