Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 45

Ta có: không gian mẫu của phép thử là:

\[\Omega  = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12} \right\}\]

Nên số kết quả có thể xảy ra là \[n\left( \Omega  \right) = 12\].

Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố \[A\] là: 2; 3; 5; 7; 11.

Nên \[n\left( A \right) = 5\]

Vậy xác suất của biến cố  \[A\] là: \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{5}{{12}}\]

Gọi số tiền bác Tuấn  đã vay ngân hàng Sacombank và Vietcombank  lần lượt là \[x,\]\[y\](tỉ đồng)

Điều kiện: \[0 < x < 5;\,\]\[0 < y < 5.\]

Theo bài, tổng số tiền vay là 5 tỉ đồng nên ta có phương trình:\[x + y = 5\].

Số tiền lãi phải trả mỗi năm cho ngân hàng Sacombank là \[x.12\%  = 0,12x\](tỉ đồng).

Số tiền lãi phải trả mỗi năm cho ngân hàng Vietcombank là \[y.11\%  = 0,11y\](tỉ đồng).

Theo bài, tổng số tiền lãi phải trả là 570 triệu đồng nên ta có phương trình:

\[0,12x + 0,11y = 0,57\]hay \[12x + 11y = 57.\]

Ta có hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 5}\\{12x + 11y = 57.}\end{array}} \right.\].

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 11, ta được hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{11x + 11y = 55}\\{12x + 11y = 57}\end{array}} \right.\].

Trừ hai vế của hai phương trình trên, ta được: \[x = 2\].

Thay \[x = 2\] vào phương trình \[x + y = 5\] ,

Ta được \[2 + y = 5\].

               \[y = 3.\]

Ta thấy \[x = 2\] và \[y = 3.\] thỏa mãn điều kiện.

Vậy số tiền bác Tuấn đã vay của ngân hàng Sacombank là 2 tỉ đồng và Vietcombank là 3 tỉ đồng.

Gọi số sản phẩm dự định làm trong 1 giờ của người đó  là \(x\,\)\(\left( {x \in {\mathbb{N}^*},\,x < 20} \right)\)

 Theo dự định: Thời gian hoàn thành là \(\frac{{72}}{x}\) (ngày)

 Thực tế: Mỗi giờ người đó đã làm \(x + 1\) ( sản phẩm)

Thời gian hoàn thành \(\frac{{80}}{{x + 1}}\) (ngày).

Vì thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm hơn so với dự định 12 phút \( = \frac{1}{5}h\)

Nên ta có phương trình:

\(\frac{{80}}{{x + 1}} - \frac{{72}}{x} = \frac{1}{5}{\rm{ }}\)

\(\frac{{400x - 360(x + 1)}}{{5x(x + 1)}} = \frac{{x(x + 1)}}{{5x(x + 1)}}\)

\(40x - 360 = {x^2} + x\)

\({x^2} - 39x + 360 = 0\)

\(\Delta  = {39^2} - 4.360 = 81 > 0 \Rightarrow \sqrt \Delta   = 9\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - ( - 39) + 9}}{2} = 24\) (loại) và \({x_2} = \frac{{ - ( - 39) - 9}}{2} = 15\) (tmđk).

a). Ta có  \(x = \frac{{\sqrt 5  - 2}}{3}\)

           \(3x = \sqrt 5  - 2\)

            \(3x + 2 = \sqrt 5 \)

            \({\left( {3x + 2} \right)^2} = 5\)

            \(9{x^2} + 12x + 4 = 5\)

            \(9{x^2} + 12x - 1 = 0\)

Vậy phương trình bậc hai cần tìm là: \(9{x^2} + 12x - 1 = 0\)

b). Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 4}}{3}\\{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 1}}{9}\end{array} \right.\]

Ta có \[x_1^3 + x_2^3 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}.{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = {\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right)^3} - 3\left( {\frac{{ - 1}}{9}} \right)\left( {\frac{{ - 4}}{3}} \right) = \frac{{ - 76}}{{27}}\]

a)     \[CEFD\] là tứ giác nội tiếp.

Ta có \(\widehat {ACD} = 90^\circ \) ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên  vuông tại  \[C\]

Gọi \[I\] là trung điểm của \[ED\]

Ta có \[CI\] là đường trung tuyến hạ xuống cạnh huyền \[ED\]

Nên \[CI = IE = ID = \frac{1}{2}ED\]  (1)

Tương tự trong tam giác \[EFD\] vuông tại \[F\], ta có

\[FI = IE = ID = \frac{1}{2}ED\]  (2)

Từ (1) và (2) suy ra  \[CI = FI = IE = ID\]

Hay  tứ giác \[CEFD\] là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm \[I\] đường kính \[ED\]

-----------------------------

 b) \[FA\]  là tia phân giác của \[\widehat {BFM}\]

             Ta có \[CEFD\] nội tiếp=> \[\widehat {CED} = \widehat {CFD}\] ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

                   Chứng minh tương tự câu a) ta có \[ABEF\] là tứ giác nội tiếp

                    => \[\widehat {BEA} = \widehat {BFA}\] ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung )

                   Mà \[\widehat {BEA} = \widehat {CED}\] ( đối đỉnh)

                         \[\widehat {AFM} = \widehat {CFD}\] ( đối đỉnh)

                   Do đó \[\widehat {BFA} = \widehat {AFM}\]

                             Hay \[FA\]  là tia phân giác \[\widehat {BFM}\]

 c)  \[BE.DN = EN.BD\].

        Ta có  \[\widehat {EFC} = \widehat {EDC}\]  ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

                      \[\widehat {EFB} = \widehat {BAE}\]  ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

   Mà  \[\widehat {BAE} = \widehat {BAC} = \widehat {BDC} = \widehat {EDC}\]  ( hai góc nội tiếp cùng chắn )

   Suy ra \[\widehat {EFC} = \widehat {EFB}\]  hay \[FE\] là tia phân giác của \[\widehat {BFC}\]

                  Trong có \[FE\] là phân giác trong tại đỉnh \[F\]  \( \Rightarrow \frac{{BE}}{{EN}} = \frac{{FB}}{{FN}}\)

                 Mà\[EF \bot \;FD\] \[ \Rightarrow FD\]  là phân giác ngoài tại đỉnh \[F\]\( \Rightarrow \frac{{BD}}{{DN}} = \frac{{FB}}{{FN}}\)

                 Suy ra \[\frac{{BE}}{{EN}} = \frac{{BD}}{{DN}} \Rightarrow BE.DN = EN.BD\]

Gọi bán kính đáy là \(x\,(\;m)\,(x > 0)\), chiều cao bồn chứa là \(h\,(\;m)\).

Thể tích chứa của bồn là \(V = \pi {x^2} \cdot h = 54\pi  \Rightarrow h = \frac{{54}}{{{x^2}}}\)(\[m\]).

Diện tích toàn phần của  bồn chứa là: \({S_{TP}} = 2\pi {x^2} + 2\pi x \cdot h = 2\pi {x^2} + \frac{{108\pi }}{x}\left( {\;{m^2}} \right)\)

Để chi phí xây dựng thấp nhất thì diện tích toàn phần của bồn phải nhỏ nhất.

Ta có

\({S_{TP}} = 2\pi {x^2} + \frac{{108\pi }}{x} = 2\pi {x^2} + \frac{{54\pi }}{x} + \frac{{54\pi }}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2\pi {x^2}.\frac{{54\pi }}{x}.\frac{{54\pi }}{x}}} = 54\pi \)( BĐT Cô si cho 3 số không âm)

\({S_{TP}}\) đạt giá trị nhỏ nhất  bằng  \(54\pi \left( {{m^2}} \right)\) khi  \(2\pi {x^2} = \frac{{54\pi }}{x} \Rightarrow {x^3} = 27 \Rightarrow x = 3\) (m)

Khi đó số tiền xây  bồn thấp nhất  mà cửa hàng phải trả là : \(54\pi .500000 \approx \) 84 823 002 (đồng)