Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 43

(1,5 điểm)

Kết quả đo tốc độ của \[25\] xe ô tô (đơn vị: \[{\rm{km/h}}\]) khi đi qua một trạm quan sát đã được thống kê dưới bảng sau

a) Hãy ghép các số liệu thành bốn nhóm ứng với bốn nửa khoảng có độ dài bằng nhau.

b) Lập bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm ở câu a.

Viết ngẫu nhiên một số tự nhiên lẻ có \(2\) chữ số. Xét biến cố \(A\): “Số tự nhiên viết ra là bình phương của một số tự nhiên”.

Tính xác suất  của biến cố A.

(1,5 điểm) Cho biểu thức: \(M = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }};P = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{{2 + 8\sqrt x }}{{x - 1}} - \frac{2}{{1 - \sqrt x }}\)với x > 0; x ≠ 1.

1) Tính M khi \(x = 0,49\)                                         

2) Chứng minh P = \(\frac{{\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x  - 1}}\)

3) Đặt Q = M.P + \(\frac{{x - 5}}{{\sqrt x }}\). So sánh Q với 3.

(2,5 điểm)

Cách đây hai năm, bác Chín gửi một số tiền vào ngân hàng với lãi suất \(6\% \) một năm. Bây giờ số tiền bác Chính có được cả gốc lẫn lãi là \(33,708\) triệu đồng. Hỏi ban đầu bác Chín gửi vào bao nhiêu tiền?

Hai đội công nhân dệt may cần sản xuất một số lượng khẩu trang theo đơn đặt hàng. Nếu làm chung thì sau  giờ họ sẽ làm xong. Nhưng hai đội mới làm chung được  giờ thì đội   nghỉ , đội  tiếp tục làm trong  giờ nữa mới xong. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới xong công việc ?

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình: \(3{x^2} + 5x - 6 = 0\). Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức \({\rm{D  =  }}\frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 2}}\).

(4,0 điểm)

Một hộp kem hình trụ có đường kính \(12\,{\rm{cm}}\) và chiều cao \(15\,{\rm{cm}}\) đựng đầy kem được đặt trên mặt bàn phẳng.

a) Tính thể tích hộp kem.

b) Hộp kem chứa kem sẽ được chia vào các bánh ốc quế hình nón có chiều cao \(12\,{\rm{cm}}\) và đường kính \(6\,{\rm{cm}}\), có hình bán cầu trên đỉnh như hình vẽ. Hãy tìm số que kem có thể chia được.

Cho đường tròn \[\left( {O\,;\,R} \right)\], đường kính \(AB\) vuông góc với dây \(CD\) tại điểm \(I\) (\(I\) nằm giữa \(A\) và \(O\)). Lấy điểm \(E\) bất kì trên cung nhỏ \(BC\) (\(E\) khác \(B\) và \(C\)). \(AE\) cắt \(CD\) tại \(K\).

a) Chứng minh bốn điểm \(K,E,B,I\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \[AK.AE = AI.AB\].

c) Gọi \(P\) là giao điểm của tia \[BE\] và tia \[DC\], \[Q\] là giao điểm của \[AP\] và \[BK\]. Chứng minh \[IK\] là phân giác của \(\widehat {EIQ}\). Chứng minh \[OQ\] là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác\[PQE\].

(0,5 điểm) Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, mỗi kg sản phẩm loại I cần \[2kg\] nguyên liệu và \[30\] giờ, đem lại mức lợi nhuận \[40\,000\] đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần \[4kg\] nguyên liệu và \[15\] giờ, đem lại mức lợi nhuận \[30\,\,000\] đồng. Xưởng có \[200kg\] nguyên liệu và \[120\] giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lợi nhuận cao nhất?