Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 5

Từ bảng tần số ghép nhóm, nhóm chiều cao \([170;180)\) có tần số là 8.

Tần số tương đối của nhóm này được tính bằng: \(\frac{8}{{40}} = 0,2 = 20\% .\)

Vậy, tần số ghép nhóm của nhóm \([170;180)\) là 8, và tần số tương đối của nhóm này là 20%.

Xác suất của biến cố B"Hai viên xúc xắc đều ra số chẵn":

Khi gieo hai viên xúc xắc, thì không gian mẫu của phép thử là 36 cặp sô (1,1); (1,2), (1,3), …..

( 1,6), ( 2,1), ( 2,2),……(6,6)

Các số chẵn trên một viên xúc xắc là: 2, 4, 6.

Do đó, hai viên xúc xắc đều ra số chẵn có các cặp (x, y) là:

\((2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6).\)

Có 9 kết quả thỏa mãn điều kiện này, do đó xác suất của biến cố B là:

\(P(B) = \frac{9}{{36}} = \frac{1}{4}.\)

Thay \(x = 1\) (thoả mãn) vào biểu thức \(A\), ta có:  \(A = \frac{{\sqrt 1  - 2}}{{\sqrt 1  + 9}} = \frac{{1 - 2}}{{1 + 9}} = \frac{{ - 1}}{{10}}\)

     Vậy \(A = \frac{{ - 1}}{{10}}\) tại \(x = 1\).    

\(B = \frac{{3\sqrt x  - 6}}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }} - \frac{1}{{2 - \sqrt x }}\)  với \(x > 0\), \(x \ne 4\)

\(B = \frac{{3\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\)

\(B = \frac{3}{{\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\) 

\(B = 1 + \frac{1}{{\sqrt x  - 2}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 2}}\)              

\(P = A.B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 9}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 9}}\)         

\(P < \frac{1}{2}\)  

\(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 9}} < \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 9}} - \frac{1}{2} < 0\)

\(\frac{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 9} \right)}}{{2\left( {\sqrt x  + 9} \right)}} < 0\)

\(\frac{{2\sqrt x  - 2 - \sqrt x  - 9}}{{2\left( {\sqrt x  + 9} \right)}} < 0.\) 

\(\frac{{\sqrt x  - 11}}{{2\left( {\sqrt x  + 9} \right)}} < 0\)           

Giá trị phân thức  nhỏ hơn 0 khi tử và mẫu trái dấu

Với mọi \(x\) thoả mãn điều kiện, ta có: mẫu = \(2\left( {\sqrt x  + 9} \right) > 0\)

Nên \(\sqrt x  - 11 < 0\)

\(\begin{array}{l}\sqrt x  < 11\\x < 121\end{array}\)  

Kết hợp điều kiện xác định  : \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\\x < 121\end{array} \right.\) ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 < x < 121\\x \ne 4\end{array} \right.\)

Mà \(x\) là số nguyên lớn nhất nên \(x = 120\) (thoả mãn)

Vậy \(x = 120\) thỏa mãn bài toán.  

Gọi \(x,y\) (đồng) lần lượt là giá niêm yết của món hàng \(A\) và món hàng \(B\).

Điều kiện: \(x,y > 0\)

Mặt hàng \(A\) giảm giá \(20\% \) so với giá niêm yết nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

 \(x - 20\% x = x\left( {1 - 20\% } \right)\)    ( đồng)

mặt hàng \(B\) giảm giá là \(15\% \) so với giá niêm yết nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

 \[y - 15\% y = y\left( {1 - 15\% } \right)\]    ( đồng)

Mặt hàng \(A\) giảm giá \(20\% \) và mặt hàng \(B\) giảm giá là \(15\% \) so với giá niêm yết và mua \(2\) món hàng \(A\) và \(1\) món hàng \(B\) phải trả tổng số tiền là \(362{\rm{ }}000\) đồng

nên \(2.x\left( {1 - 20\% } \right) + y\left( {1 - 15\% } \right) = 362\,000\)

Trong khung giờ vàng thì món hàng \(A\) được giảm giá \(30\% \) nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

 \(x - 30\% x = x\left( {1 - 30\% } \right)\)    ( đồng)

Trong khung giờ vàng thì món hàng \(B\) được giảm giá \(25\% \) nên giá phải trả cho 1 món hàng A là

 \[y - 25\% y = y\left( {1 - 25\% } \right)\]    ( đồng)

trong khung giờ vàng thì món hàng \(A\) được giảm giá \(30\% \) còn món hàng \(B\) được giảm giá \(25\% \)

so với giá niêm yết và mua \(3\) món hàng \(A\) và \(2\) món hàng \(B\) trong khung giờ vàng nên chỉ trả số

tiền là \(552{\rm{ }}000\) đồng

nên \(3.x.\left( {1 - 30\% } \right) + 2.y.\left( {1 - 25\% } \right) = 552\,000\)

ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2.x\left( {1 - 20\% } \right) + y\left( {1 - 15\% } \right) = 362\,000\\3.x.\left( {1 - 30\% } \right) + 2.y.\left( {1 - 25\% } \right) = 552\,000\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}1,6x + 0,85y = 362\,000\\2,1x + 1,5y = 552\,000\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 120\,000\\y = 200\,000\end{array} \right.\)

Vậy giá niêm yết của món hàng \(A\) là \(120\,000\) đồng, của món hàng \(B\) là \(200\,000\) đồng.

Gọi số đèn lồng phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là \[x\] (đèn) ( \(x \in {N^*}\))

thì Thời gian làm số đèn theo kế hoạch là \(\frac{{1200}}{x}\) ( ngày)

Trong 12 ngày làm theo kế hoạch được \(12x\) (đèn)

Số đèn còn lại là \(1200 - 12x\)(đèn)

Năng suất làm số đèn còn lại là \(x + 20\)(đèn)

Thời gian làm số đèn còn lại \(\frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}}\) ( ngày)

Vì nhóm thợ đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày

Ta có phương trình \(\frac{{1200}}{x} = 12 + \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} + 2\)

Giải phương trình được \(x = 60\)(thỏa mãn), \(x =  - 200\)( loại)

Vậy số đèn lồng phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là \(60\) (đèn)

phương trình \(4{x^2} - 2x - 1 = 0\)

Vì \(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.4.\left( { - 1} \right) = 20 > 0\)

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\).

Theo định lí Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\\P = {x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right.\)

Ta có: \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - {x_1}\left( {{x_1} - \frac{1}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} - {x_1}\left( {{x_1} - \frac{1}{2}} \right)\\A = x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - {x_1}\left( {{x_1} - {x_1} - {x_2}} \right)\\A = x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2\\A = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\\A = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 3.\left( {\frac{{ - 1}}{4}} \right)\\A = 1\end{array}\)

a) Thể tích đất sét làm viên gạch hình hộp chữ nhật chưa trừ bốn lỗ rỗng bên trong là:

\(V = 8.8.20 = 1280\left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích của 1 lỗ ống hình trụ  là: \({V_1} = \pi {R^2}h = 3,14.{\left( {\frac{{2,5}}{2}} \right)^2}.20 = 98,125\left( {c{m^3}} \right)\)

Mỗi viên gạch bên trong có bốn lỗ hình trụ bằng nhau

Nên thể tích đất sét để làm một viên gạch là: \({V_2} = V - 4.{V_1} = 1280 - 4.98,125 \approx 887,5\left( {c{m^3}} \right)\)

b) Số viên gạch bác Ba cần mua là: \(10000.\left( {1 + 2\% } \right) = 10200\) (viên gạch)

 Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà là: \(10{\rm{ }}200.{\rm{ }}1{\rm{ }}100 = 11{\rm{ }}220{\rm{ }}000\) (đồng) 

a) Chứng minh tứ giác \(BAEF\) nội tiếp đường tròn.

Xét tứ giác \(BAEF\), ta có:

\(\widehat {BFE} = 90^\circ \) (\(EF \bot BC\) tại \(F\))

\(\widehat {BAE} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa \(\left( O \right)\))

Gọi I là trung điểm \(BE\). Theo tính chất trung tuyến của tam giác vuông

Thì \(IA = IE = IB = IF\)suy ra 4 điểm \(B,A,E,F\)cùng thuộc đường tròn

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BAEF\) nội tiếp

b) Chứng minh DB là phân giác góc \(ADF\).

Chứng minh tương tự tứ giác \(CDEF\) nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {EDF} = \widehat {BCA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung  \(EF\))

Mà \(\widehat {BCA} = \widehat {ADB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\) của \(\left( O \right)\)

Nên \(\widehat {EDF} = \widehat {ADB}\)

\( \Rightarrow DB\) là tia phân giác của góc \(ADF\).

c) Chứng minh \(DM.CA = CF.CO\).

Xét \(\Delta CDE\) vuông tại \(D\), ta có: \(DM\) là đường trung tuyến (\(M\) là trung điểm của \(CE\))

\( \Rightarrow DM = \frac{1}{2}CE\)\( \Rightarrow CE = 2DM\).

Xét \(\Delta CEF\) và \(\Delta CBA\), ta có:

\(\widehat {ACB}\) là góc chung

\(\widehat {CFE} = \widehat {CAB}\) \(\left( { = 90^\circ } \right)\)

 \(\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CF}}{{CA}}\) (tỉ số đồng dạng)

\( \Rightarrow CE.CA = CF.CB\)

Mà \(CE = 2DM\) và \(CB = 2CO\) (\(BC\) là đường kính của \(\left( O \right)\))

Nên \(2DM.CA = CF.2CO\)

\( \Rightarrow DM.CA = CF.CO\).

Gọi số lần giảm giá \[100{\rm{ 000}}\]đồng thì thu được doanh thu lớn nhất là \[x\] (lần)

\[ \Rightarrow \] Sau \[x\] lần giảm thì giá của tour là: 

\[2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 - 100{\rm{ }}000.x\] (đồng).

Vì cứ sau \[1\] lần giảm thì có thêm \[20\] người tham gia nên sau \[x\] lần giảm thì có thêm \[20.x\](người tham gia) nên tổng số người tham gia sau \[x\] lần giảm giá là:

\[150 + 20.x\] (người )

Tổng doanh thu sau \[x\] lần giảm giá là:

\[S = \left( {2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 - 100{\rm{ }}000.x} \right).\left( {150 + 20.x} \right)\](đồng)

\[S = 100{\rm{ }}000.10.\left( {20 - x} \right).\left( {15 + 2x} \right)\](đồng)

\[S = 1{\rm{ 0}}00{\rm{ }}000.\left( { - 2{x^2} + 25x + 300} \right)\] (đồng)

Xét \[\left( { - 2{x^2} + 25x + 300} \right) =  - 2\left( {{x^2} - \frac{{25}}{2}x - 150} \right)\]

\[\begin{array}{l} =  - 2\left[ {\left( {{x^2} - 2.\frac{{25}}{4}.x + {{\left( {\frac{{25}}{4}} \right)}^2}} \right) - {{\left( {\frac{{25}}{4}} \right)}^2} - 150} \right]\\ =  - 2\left[ {{{\left( {x - \frac{{25}}{4}} \right)}^2} - \frac{{3025}}{{16}}} \right]\end{array}\]

Vì : \[ - 2{\left( {x - \frac{{25}}{4}} \right)^2} + 2.\frac{{3025}}{{16}} \le \frac{{3025}}{8}\]

\[\begin{array}{l} \Rightarrow 1{\rm{ 000 000}}{\rm{.}} - 2\left[ {{{\left( {x - \frac{{25}}{4}} \right)}^2} - \frac{{3025}}{{16}}} \right] \le 1{\rm{ 000 000}}.\frac{{3025}}{8}\\ \Rightarrow 1{\rm{ 000 000}}{\rm{.}} - \left[ {{{\left( {x - \frac{{15}}{4}} \right)}^2} - \frac{{3025}}{{16}}} \right] \le 378{\rm{ }}125{\rm{ 000}}\end{array}\]

\[ \Rightarrow S \le 378{\rm{ }}12{\rm{5 000}}\]

\[ \Rightarrow {S_{\max }} = 378{\rm{ }}12{\rm{5 000}}\]

Khi đó \[x = \frac{{25}}{4} = 6,25\](lần)

Vậy: Giá tour khi đó: \[2{\rm{ }}000{\rm{ }}000 - 100{\rm{ }}000.6,25 = 1{\rm{ 375 000}}\] (đồng).