Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 39

- Số đại biểu tham dự hội nghị là: \(54:33,75\%  = 160\) (đại biểu)

- Lập bảng tần số ghép nhóm tương ứng:

Không gian mẫu thử có 20 phần tử

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A: “kim chỉ vào ô có số là bội của 3” là 6.

Xác suất của biến cố A là: \(\frac{6}{{20}} = \frac{3}{{10}}\)

1)     Thay \(x = 4\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\) có:

\(A = \frac{{3.4 + 12}}{{\sqrt 4  + 3}} = \frac{{24}}{5}\)

Vậy \(A = \frac{{24}}{5}\) khi \(x = 4\)

2) Chứng minh\(B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\)

\[B = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{x - 9}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) - 7\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{x + 3\sqrt x  + \sqrt x  + 3 + 2x - 6\sqrt x  - 7\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{3x - 9\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

\[ = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\]

Vậy  \(B = \frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}}\) với \(x > 0;x \ne 9\)

2)     Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{A}{B}\)

\[P = \frac{A}{B}\]\[ = \frac{{3x + 12}}{{\sqrt x  + 3}}.\frac{{\sqrt x  + 3}}{{3\sqrt x }}\]\[ = \frac{{x + 4}}{{\sqrt x }}\]\[ = \sqrt x  + \frac{4}{{\sqrt x }}\]

Xét bất đẳng thức Cauchy: Với hai số thực không âm a, b ta có:

                                     \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \).  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)

Thật vậy: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\)\( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\)\( \Rightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \)

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)

Vì \(x \ge 0\)\( \Rightarrow \sqrt x  \ge 0;\frac{4}{{\sqrt x }} > 0\) nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

 \(P = \sqrt x  + \frac{4}{{\sqrt x }}\) \( \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{4}{{\sqrt x }}} \) \( = 4\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(\sqrt x  = \frac{4}{{\sqrt x }}\)

                                                 \(x = 4\;\)(Thỏa mãn)

Vậy \({P_{{\rm{min}}}} = 4\) khi và chỉ khi \(x = 4\;\)

Gọi số tấm kính giọt bắn mỗi lớp \(9A,\;9B\)làm được trong đợt 1 lần lượt là: \(x,\;y\) (tấm) (\(0 < x,y < 1500)\)

Vì trong đợt 1 cả hai lớp \(9A,\;9B\) đã làm được \(1500\)chiếc tấm kính chắn giọt bắn nên ta có phương trình:

\(x + y = 1500\)  (1)

Số tấm kính giọt bắn lớp \(9A\)làm được trong đợt 2 là: \(x + 70\% .x = 1,7x\) (tấm)

Số tấm kính giọt bắn lớp \(9B\)làm được trong đợt 2 là: \(y + 68\% .y = 1,68y\) (tấm)

Vì trong đợt 2 cả hai lớp \(9A,\;9B\) đã làm được \(2358\)chiếc tấm kính chắn giọt bắn nên ta có phương trình:

\(1,7x + 1,68y = 2358\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1500\quad \quad \quad \quad \quad \left( 1 \right)\\1,7x + 1,68y = 2358\quad \quad \left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được: \(x = 960\;\left( {TM} \right);\;y = 540\;\left( {TM} \right)\)

Vậy số tấm kính giọt bắn mỗi lớp \(9A,\;9B\)làm được trong đợt 1 lần lượt là: \(960;\;540\) (tấm)

Gọi số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo kế hoạch là: \(x\) (sản phẩm) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\))

Thời gian công nhân đó làm xong số sản phẩm theo kế hoạch là: \(\frac{{60}}{x}\) (giờ)

Số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo thực tế là: \(x + 2\) (sản phẩm)

Số sản phẩm người công nhân đó làm được theo thực tế là: \(60 + 3 = 63\)(sản phẩm)

Thời gian công nhân đó làm xong số sản phẩm theo thực tếlà: \(\frac{{63}}{{x + 2}}\) (giờ)

Vì thực thế người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn \(30\) phút \( = \frac{1}{2}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{60}}{x}\)\( - \frac{{63}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}\)

\[\frac{{120\left( {x + 2} \right) - 126x}}{{2x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 2} \right)}}\]

\[120x + 240 - 126x = {x^2} + 2x\]

\[{x^2} + 8x - 240 = 0\]

\[\left( {x + 20} \right)\left( {x - 12} \right) = 0\]

\[x =  - 20\;\left( {KTM} \right);\;\]\[x = 12\left( {TM} \right)\]

Vậy số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo kế hoạch là \(12\) (sản phẩm)

Xét phương trình \({x^2} - x - 1 = 0\quad \left( 1 \right)\)

Ta có: \(ac =  - 1 < 0\) nên PT (1) luôn có hai nghiệm trái dấu \({x_1},{x_2}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right.\)

Xét \(\frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}} + \frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}}\) \( = \frac{{x_2^2 + {x_2} + x_1^2 + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\) \( = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\) \( = \frac{{{1^2} + 2 - 1}}{{ - 1}}\) \( =  - 2\)

\(\frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}}.\frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}}\) \( = \frac{{{x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1}}{{{x_1}.{x_2}}}\) \( = \frac{{ - 1 + 1 + 1}}{{ - 1}}\) \( =  - 1\)\(\)

Do đó: \(\frac{{{x_2} + 1}}{{{x_1}}};\) \(\frac{{{x_1} + 1}}{{{x_2}}}\)là nghiệm của phương trình bậc hai ẩn t sau: \({t^2} + 2t - 1 = 0.\)

 Bán kính quả bóng hình cầu là : \(r = 6,5:2\) \( = 3,25cm\)

 Diện tích bề mặt mỗi quả bóng là : \({S_{mc}} = 4\pi {r^2}\) \( = 4.\pi {,3,25^2}\) \( = 42,25\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Thể tích của mỗi quả bóng hình cầu là: \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3}\) \( = \frac{4}{3}.\pi {.3,25^3}\) \( = \frac{{13,73125\pi }}{3}\,\left( {c{m^3}} \right)\)

b)     Tính diện tích xung quanh và thể tích của hộp bóng.

Bán kính hộp bóng hình trụ chính là bán kính của quả bóng hình cầu là: \(r = 6,5:2 = 3,25cm\)

Chiều cao của hộp bóng hình trụ là: \(h = 3.6,5 = 19,5\left( {cm} \right)\)

Diện tích xung quanh hộp bóng hình trụ là : \({S_{xq}} = 2\pi Rh\) \( = 2.\pi .3,25.19.5\) \( = 123,5\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)

Thể tích của hộp bóng hình trụ là: \[V = \pi {r^2}h\] \[ = \pi {.3,25^2}.19,5\] \[ = 205,96875\pi \,\left( {c{m^3}} \right)\]

a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp.

Xét \(\left( O \right)\)có:

\(AB\)là tiếp tuyến tại  \(B\) (GT) nên \[AB \bot OB \Rightarrow \widehat {ABO} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \Delta ABO\]vuông tại \(B\) nên điểm \[B\] thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (1)

Mặt khác: \(AC\)là tiếp tuyến tại  \(C\) (GT) nên \[AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \Delta ACO\]vuông tại \[C\]nên điểm \[C\] thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (2)

Từ (1) và (2) sy ra: 4 điểm \(A,B,O,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\]

Do đó, tứ giác \(ABOC\) nội tiếp đường tròn đường kính \[AO\]

 b) Chứng minh \(BC\) vuông góc với \(OA\) và \(BA.BE = AE.BO\).

* Chứng minh \(BC\) vuông góc với \(OA\)

Xét \(\left( O \right)\)có:  \(AB\)và\(AC\) là hai tiếp tuyến cắt nhau ở \(A\) (GT)

               \( \Rightarrow AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

           Mà \(OB = OC\) (\(B,\,\,C\) thuộc đường tròn\(\left( O \right)\))

               \( \Rightarrow OA\) là đường trung trực của \(BC\) nên \(BC \bot OA\)

* Chứng minh \(BA.BE = AE.BO\)

Xét \(\Delta ABO\) và \(\Delta AEB\)  có:

\(\widehat {ABO} = \widehat {AEB} = 90^\circ \,\,(cmt)\)

\(\widehat {BAO}\): góc chung

Suy ra: \(\Delta ABO\) ~ \(\Delta AEB\) (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{BO}}{{EB}} \Rightarrow AB.EB = AE.BO\)

 c) Gọi \(I\)là điểm thộc đoạn thẳng \(BE\), đường thẳng qua\(I\)và vuông góc \(OI\)cắt các tia \(AB,\,\,AC\)theo thứ tự tại \(D\)và \(F\). Chứng minh \(F\) là trung điểm của\(AC\).

Vì \[AB \bot OB \Rightarrow \widehat {DBO} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \Delta DBO\]vuông tại \(B\) nên điểm \[B\] thuộc đường tròn đường kính \[DO\] (1)

Vì \[OI \bot DF \Rightarrow \widehat {DIO} = 90^\circ \]

\[ \Rightarrow \Delta DIO\]vuông tại \(I\) nên điểm \[I\] thuộc đường tròn đường kính \[DO\] (2)

Từ (1) và (2) sy ra: 4 điểm \(D,B,I,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \[DO\]

Do đó, tứ giác \(DBIO\) nội tiếp đường tròn đường kính \[DO\]

\[ \Rightarrow \widehat {IDO} = \widehat {IBO}\] ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[IO\])

CMTT ta có: \[\widehat {IFO} = \widehat {ICO}\]

Mặt khác: \[OB = OC \Rightarrow \Delta OBC\]cân ở \[O \Rightarrow \widehat {OBC} = \widehat {OCB}\] hay \[\widehat {IBO} = \widehat {ICO}\]

Do đó: \[\widehat {IDO} = \widehat {IFO} \Rightarrow \Delta ODF\] cân ở \[O\] mà \[OI \bot DF\] (GT)

                               \[ \Rightarrow I\] là trung điểm của \[DF\]

Gọi chiều rộng là \(x\left( {cm} \right)\left( {0 < x < 12} \right)\)

Chiều dài là \(12 - x\left( {cm} \right)\)

Chiều cao là \(24 - x\left( {cm} \right)\)

Ta có thể tích chiếc hộp là: \(V = x\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\left( {c{m^3}} \right)\)

Bất đẳng thức Cauchy 3 số không âm \(a,b,c\)ta có:  \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)      

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)

Thật vậy, đặt \(x = \sqrt[3]{a},y = \sqrt[3]{b},z = \sqrt[3]{c}\)\( \Rightarrow x,y,z \ge 0 \Rightarrow x + y + z \ge 0\)

Ta phái chứng minh:

\({x^3} + {y^3} + {z^3} \ge 3xyz\)

\({\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right) + {z^3} - 3xyz \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy - xz - yz} \right] - 3xy\left( {x + y + z} \right) \ge 0\)

\(\left( {x + y + z} \right)\left[ {{x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz} \right] \ge 0\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - xy - xz - yz \ge 0\)  (vì \(x + y + z \ge 0\))

\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\)\(\)(luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z\) hay \(a = b = c\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm ta có:

\(V = x\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\left( {c{m^3}} \right)\)

\(\frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.x.\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {12 - x} \right)\left( {24 - x} \right)\)

\( \le \frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{x + \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {12 - x} \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {24 - x} \right)}}{3}} \right]^3}\)

\( = \frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{x + 12\sqrt 3  - \sqrt 3 x - 12 + x + 48 - 2x - 24\sqrt 3  + \sqrt 3 x}}{3}} \right]^3}\)

\( = \frac{1}{{\left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}.{\left[ {\frac{{36 - 12\sqrt 3 }}{3}} \right]^3} = 384\sqrt 3 \)

 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \(x = \left( {\sqrt 3  - 1} \right)\left( {12 - x} \right)\)\( = \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {24 - x} \right)\)\( \Leftrightarrow x = 12 - 4\sqrt 3 \)

Vậy \({V_{\max }} = 384\sqrt 3 \)\( \Leftrightarrow x = 12 - 4\sqrt 3 \)