Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 35

a) Nhóm [25; 35) chiếm 33,75% so với tổng số đại biểu và có 54 người.

Suy ra số người tham dự hội nghị là 54: 33,75% = 160 (người)

Vậy tổng số đại biểu tham dự hội nghị là 160 người.

b) Tổng số % số đại biểu tham dự hội nghị dưới 45 tuổi là:

\[33,75\%  + 28,75\%  = 62,5\%  > 50\% .\]

Vậy nhận định “Trên 50% số đại biểu tham dự hội nghị dưới 45 tuổi” “ là đúng.

Có \[12\] kết quả có thể xảy ra khi quay ngẫu nhiên tấm bìa một lần.

\[A = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,...\,\,;\,\,12} \right\}\]

Có \[5\] kết quả thuận lợi cho biến cố B là: \[2;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,11 & \].

Vậy xác suất của biến \[P\] cố là: \[\frac{5}{{12}}\].

a) Thay \[x = 4\] (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \[A\] ta có: \(A = \frac{{\sqrt 4  + 1}}{{\sqrt 4  + 3}} = \frac{3}{5}\)  

        Vậy giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = 4\) là: \(\frac{3}{5}\)

                        b)  Ta có: \(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{2\sqrt x  + 4}}{{x - 1}}\)

\[ = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{{2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2x - 2\sqrt x  - x - 2\sqrt x  - \sqrt x  - 2 + 2\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - 3\sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\]

                        Vậy \[B = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}}\] với \(x \ge 0;x \ne 1\).

        c) Ta có: \(A.B \le \frac{1}{2}\)

                         \(\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 1}} \le \frac{1}{2}\)

                                        \(\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{1}{2}\)

                                 \(\frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{2} \le 0\)

                     \(\frac{{2\sqrt x  - 4 - \sqrt x  - 3}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \le 0\)

                                 \(\frac{{\sqrt x  - 7}}{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \le 0\)

                                 \(\sqrt x  - 7 \le 0\)  (Vì \(2\left( {\sqrt x  + 3} \right) > 0\))

\(\sqrt x  \le 7\)

\(x \le 49\)

                 Kết hợp điều kiện ta có: \(0 \le x \le 49;\,\,\,x \ne 1\).

                 Vậy \(0 \le x \le 49;\,\,\,x \ne 1\) thì \(A.B \le \frac{1}{2}\).

Gọi giá tiền của bàn là và quạt điện theo giá niêm yết lần lượt là: \(x;\,y\) (đơn vị: nghìn đồng; điều kiện \(0 < x;\,y < 850\)).

Do tổng số tiền mua bàn là và quạt điện theo giá niêm yết là \[850\] nghìn đồng nên ta có phương trình:  \(x + y = 850\)   (1).

Bàn là giảm giá 20% nên số tiền cần trả cho bàn là là: \(x - \frac{{20}}{{100}}x = \frac{4}{5}x\) (nghìn đồng).

Quạt điện giảm giá 10% nên số tiền trả cho quạt điện là: \(y - \frac{{10}}{{100}}y = \frac{9}{{10}}y\) (nghìn đồng).

Tổng số tiền phải trả theo giá khuyến mại là \[740\] nghìn nên ta có phương trình:

\(\frac{4}{5}x + \frac{9}{{10}}y = 740\)     (2)

        Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 850\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{\frac{4}{5}x + \frac{9}{{10}}y = 740}\end{array}} \right.\)

        Giải hệ ta được \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 250}\\{y = 500}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

        Vậy giá tiền của bàn là là \[250\] nghìn đồng, của quạt điện là \[600\] nghìn đồng.

Gọi vận tốc lúc đi là: \(x\,\)(km/h) \(\left( {x > 0} \right)\)

      Thời gian lúc đi là \(\frac{{30}}{x}\) (giờ)

      Quãng đường lúc về là : \(30 + 6 = 36\) (km)

      Vận tốc lúc về là : \(x + 3\) (km/h)

      Thời gian lúc về là : \(\frac{{36}}{{x + 3}}\) (giờ)

Theo đầu bài thời gian về ít hơn thời gian đi \(20\) phút = \(\frac{1}{3}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\frac{{30}}{x} - \frac{{36}}{{x + 3}} = \frac{1}{3}\)

                                                   \(\frac{{90\left( {x + 3} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{108x}}{{3x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)}}\)

                                                           \(90\left( {x + 3} \right) - 108x = x\left( {x + 3} \right)\)

                                                              \({x^2} + 21x - 270 = 0\)

                                                             \(\left( {x + 30} \right)\left( {x - 9} \right) = 0\)

                                                         \(x =  - 30\) (loại) hoặc \(x = 9\) (thoả mãn)

            Vậy vận tốc lúc đi là \(9\) km/h.

Thể tích lượng nước trong khối hộp bị tràn ra ngoài là thể tích của khối nón.

\(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h \approx \frac{1}{3} \cdot 3,14.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot 1 \approx 0,26\,\,\,({m^2})\)

      Vậy lượng nước bị trào ra có thể tích \( \approx 0,26\,\,\,({m^2})\).

                    a) \(MA,\,MB\) là hai tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]nên : \(MA \bot OA;\,MB \bot OB\)

                   - Xét \(\Delta MAO\) có \(\widehat {MAO} = 90^\circ \) nên 3 điểm \(A,\,M,\,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

                   - Xét \(\Delta MBO\) có \(\widehat {MBO} = 90^\circ \) nên 3 điểm \(B,\,M,\,O\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(OM\)

Vậy bốn điểm \[M,{\rm{ }}A,{\rm{ }}O,{\rm{ }}B\] cùng thuộc một đường tròn. (ĐPCM)

b) Ta có:\(MA = MB\) (\(MA,\,MB\) là hai tiếp tuyến của \[\left( O \right)\])

            \(OA = OB = R\)

Nên \(OM\)là trung trực của \(AB\) hay \(OM \bot AB\) tại \(H\)

Mà \(B\) thuộc đường tròn đường kính \(AC\)nên \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) hay \(BC \bot AB\)

Suy ra: \(MO//BC\)

\(\widehat {IMD} = \widehat {BCD}\) (2 góc so le trong)

Lại có: \(\widehat {MBI} = \widehat {BCD}\) nên \[\widehat {IMD} = \widehat {IBM} = \widehat {BCD}\]

Xét \(\Delta IMD\) và \(\Delta IBM\) có :

\(\widehat {MIB}\) chung

\[\widehat {IMD} = \widehat {IBM}\]

Nên: \[\Delta IMD \sim \Delta IBM\] (g.g)

Suy ra: \[\frac{{IM}}{{IB}} = \frac{{ID}}{{IM}}\] hay \[I{M^2} = IB.ID\](ĐPCM)

c) Ta có \(\widehat {ADC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {ADM} = 90^\circ \)

Suy ra 3 điểm \(A,\,D,\,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AM\).

Mà \(\widehat {AHM} = 90^\circ \)nên 3 điểm \(A,\,H,\,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AM\).

Suy ra bốn điểm \(A,\,D,\,H,\,M\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AM\).

Hay \(AMDH\)  là tứ giác nội tiếp nên  \(\widehat {IHD} = \widehat {MAD}\)

Mà \(\widehat {MAD} = \widehat {ABD}\) nên \(\widehat {IBH} = \widehat {IHD}\)

Xét \(\Delta IHD\) và \(\Delta IBH\) có:

\(\widehat {IHD} = \widehat {IBH}\) (cmt)

\(\widehat {HIB}\) chung

Nên: \(\Delta IHD \sim \Delta IBH\), suy ra \(I{H^2} = IB.ID\)

Mà \(I{M^2} = IB.ID\)nên \(IM = IH\)

Gọi \(J\) là giao điểm của \(IL\) và \(BC\)

Xét \(\Delta MKI\) có \(IM{\rm{//}}CJ\) nên \(\frac{{JC}}{{IM}} = \frac{{KJ}}{{KI}}\)

Xét \(\Delta IKH\) có \(BJ{\rm{//}}IH\) nên \(\frac{{BJ}}{{IH}} = \frac{{KJ}}{{KI}}\)

Suy ra : \(JC = JB\)

Hay \(J\) là trung điểm của \(BC\)

Xét \(\Delta ILH\) có \(CJ{\rm{//}}LH\) nên \(\frac{{LC}}{{LH}} = \frac{{CJ}}{{HI}} = \frac{{2CI}}{{2HJ}} = \frac{{CB}}{{MH}}\)

Lại có \(\widehat {MHL} = \widehat {BCL}\) (đồng vị)

Suy ra \(\Delta MHL \sim \Delta BCL\) (c.g.c)

Từ đó ta có: \(\widehat {HLB} = \widehat {HLM}\)

Vậy \(M,B,\,L\) thẳng hàng.

Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt \(CJ = x,(x > 0).\)

Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên: \(\frac{{CJ}}{{AK}} = \frac{{JA}}{{KB}}\) hay \(\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}\)

Suy ra \(KB = \frac{{60}}{x}.\)

Diện tích của khu nuôi cá là:\(S(x) = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right).\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right)\)

                        \(S(x) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right)\)

                            \(S(x) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60\)

Áp dụng bất đẳng thức Cachy ta có: \(6x + \frac{{150}}{x} \ge 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}}  = 60\)

                        Dấu bằng xảy ra khi: \(6x = \frac{{150}}{x}\)

\({x^2} = 25\)

\(x = 5\) (vì \(x > 0\))

                        Vậy \(S(x) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60 \ge 60 + 60 = 120\).

                        Suy ra diện tích nhỏ nhất có thể giăng là \(120({m^2})\), đạt được khi \(x = 5\,m\).