Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 32

1)    Tần số ghép nhóm  \(\left[ {30;40} \right)\) là 27

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {30;40} \right)\) là:

\(\frac{{27.100}}{{60}}\%  = 45\% \)

1)    Không gian mẫu của phép thử là: \[\Omega  = \left\{ {AC;AD;AE;BC;BD;BE} \right\}\]

Không gian mẫu có 6 phần tử.

Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

+ Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố X là \[AC;AD;AE\] . Xác suất của biến cố X là \(P\left( X \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) .

Gọi \(x\) (triệu đồng), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà cửa hàng đã vay từ ngân hàng A và B \(\left( {x > 0,y > 0} \right)\).

Cừa hàng đã vay tổng 600 triệu đồng nên: \(x + y = 600\)

Vì lãi suất của hai ngân hàng A và B lần lượt là \(8\% \)/năm và \(9\% \)/năm, tổng tiền lãi một năm phải trả cho cả hai ngân hàng là 50 triệu đồng nên: \(8\% .x + 9\% .y = 50\) hay \(8x + 9y = 5000\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\8x + 9y = 5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

Từ phương trình \((1)\)ta có: \(y = 600 - x\).

Thế \(y = 600 - x\) vào phương trình \((2)\)ta được: \[8x + 9.(600 - x) = 5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\]

Giải phương trình \((3)\):

\[\begin{array}{l}8x + 9.(600 - x) = 5000\\8x + 5400 - 9x\,\,\,\, = 5000\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - x =  - 400\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 400\end{array}\]

Ta thấy \(x = 400\) thỏa mãn \(x > 0\)

Thay \(x = 400\) vào phương trình \(y = 600 - x\), ta có: \(y = 600 - 400 = 200\)(thỏa mãn \(y > 0\))

Vậy số tiền của hàng đã vay từ ngân hàng A và B lần lượt là 400 triệu đồng và 200 triệu đồng.

Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là \(x\) (sản phẩm).

Điều kiện: \(x > 0\).

Thời gian dự kiến là \(\frac{{600}}{x}\) (ngày).

Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là \(\frac{{400}}{x}\) (ngày).

Thời gian làm 600 - 400 = 200 sản phẩm sau là \(\frac{{200}}{{x + 10}}\) (ngày).

Vì thực tế công việc hoàn thành sớm hơn dự kiến 1 ngày nên ta có phương trình:

\[\frac{{600}}{x} - \left( {\frac{{400}}{x} + \frac{{200}}{{x + 10}}} \right) = 1\]

\[\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = 1\]

\[\frac{{200(x + 10) - 200x}}{{x(x + 10)}} = 1\]

\[{x^2} + 10x - 2000 = 0\]

\[{x^2} + 10x + 25 - 2025 = 0\]

\[{(x + 5)^2} = 2025.\]

\[{x_1} = 40\]( thỏa mãn), \[{x_2} =  - 50\] (loại).

Vậy số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là 40 (sản phẩm).

 Phương trình \({x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0\)

\[\Delta ' = {(2\sqrt 3 )^2} - 8 = 4 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm x1; x2

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \[{x_1} + {x_2} = 4\sqrt 3 \]  và  \[{x_1}{x_2} = 8\]

Ta có: \({\rm{Q}} = {x_1}^3 + {x_2}^3\)

      \({\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\)

      \({\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2}} \right)\)

      \[{\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\]

      \[{\rm{Q}} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\]

Thay  \[{x_1} + {x_2} = 4\sqrt 3 \]  và  \[{x_1}{x_2} = 8\] vào \[{\rm{Q}}\]ta được:

\[{\rm{Q}} = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^3} - 3.8.4\sqrt 3  = 96\sqrt 3 \]

1)      Với \[x = 25\] ( thỏa mãn điều kiện) suy ra \(A = \frac{{\sqrt {25}  + 1}}{{\sqrt {25}  - 2}} = \frac{6}{3} = 2\).

 Vậy \(x = 25\) thì \(A = 2\)

2)      Thu gọn biểu thức

\(B = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) + \sqrt x  - 8}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x - 4 + \sqrt x  - 8}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 4\sqrt x  - 3\sqrt x  - 12}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 2}}\)

Vậy \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\) thì \(B = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 2}}\)

3)      Ta có: \(B < A \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 2}} < \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 2}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x  - 2}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  < 2 \Leftrightarrow x < 4\)

Kết hợp điều kiện suy ra \(0 \le x < 4\). Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\].

Vậy \(x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\) thì \(B < A\)

Thể tích thân tên lửa chính là thể tích hình trụ có bán kính đáy\[\;R = \frac{6}{2} = 3\;(cm)\] và chiều cao \[h = 9\;(cm)\] nên  \[{V_1} = \pi {R^2}h = \pi {.3^2}.9 = 81\pi (c{m^3})\]

-Thể tích đầu tên lửa chính là thể tích của hình nón có bán kính đấy\[\;R = \frac{6}{2} = 3\;(cm)\] và chiều cao \[h = 5\;(cm)\] nên  \[{V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.5 = 15\pi \;(c{m^3})\]

- Thể tích của mô hình tên lửa là : \[V = {V_1} + {V_2} = 81\pi  + 15\pi  = 96\pi \;(c{m^3})\]

a) Vẽ đúng hình đến ý 1)

\(BE \bot AC\)⇒  \[\widehat {BEC} = {90^0}\]

\(CF \bot AB\) ⇒  \(\widehat {CFB} = {90^0}\)

⇒ Tứ giác \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp

⇒ \(\Delta AEF\) đồng dạng \(\Delta ABC.\)

b) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[\]

Tứ giác BCEF nội tiếp ⇒  \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\)

\(\Delta OAC\) cân tại O ⇒  \(\widehat {EAO} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2}\)

\(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} \Rightarrow \frac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2} = {90^0} - \widehat {ABC}\)

⇒  \(\widehat {AEF} + \widehat {EAO} = {90^0}\)⇒ \(AO \bot EF\)

c) Chứng minh tứ giác \(AFHI\) nội tiếp và \(I,\;J,\;K\) thẳng hàng.

 Chứng minh \({\rm{\Delta }}AMN\) cân tại\(A\) vì\(\widehat {AMN} = \widehat {MBH} + \widehat {MHB} = \widehat {NCH} + \widehat {NHC} = \widehat {ANM}\) ⇒ \(AI \bot MN\)

\(\widehat {AFH} = \widehat {AIH} = {90^0}\) ⇒ Tứ giác \(AFHI\) là tứ giác nội tiếp.

Có \(\widehat {MAH} = \widehat {NAO} \Rightarrow \widehat {IAH} = \widehat {IAO} \Rightarrow IJ||AO\) suy ra \(IJ\)trung trực \(EF\)

Có  \[JE = JF,KE = KF \Rightarrow \;\] \[KI\;\] trung trực \(EF\) ⇒ \(I,\;J,\;K\) thẳng hàng.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\(\sqrt 2 \sqrt {a + 1}  \le \frac{{2 + a + 1}}{2} \le \frac{{3 + \frac{{{a^2} + 1}}{2}}}{2}\), dấu bằng xảy ra khi \[a = 1\]

Chứng minh tương tự suy ra \(P \le 2\sqrt 2 ,\) đẳng thức xảy ra khi \(a = b = 1.\)

Do đó, \(a\left( {\sqrt 2  - a} \right) + b\left( {\sqrt 2  - b} \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)

Ta có: \(\sqrt {a + 1}  + \sqrt {b + 1}  \ge 1 + \sqrt {a + b + 1}  \ge 1 + \sqrt {\sqrt 2  + 1} \),

Vậy GTLN của \(P\) là \(2\sqrt 2 \) khi \(a = b = 1.\)

đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \sqrt 2 \end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 2 \\b = 0\end{array} \right..\)

Vậy GTLN của \(P\) là\(1 + \sqrt {\sqrt 2  + 1} \) khi\(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \sqrt 2 \end{array} \right.\)  hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 2 \\b = 0\end{array} \right..\)