Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 32
9 câu hỏi
Sau khi thống kê độ dài (đơn vị: centimét) của 60 lá dương xỉ trưởng thành, người ta có bảng tần số ghép nhóm như sau:
Nhóm | \(\left[ {10;20} \right)\) | \(\left[ {20;30} \right)\) | \(\left[ {30;40} \right)\) | \(\left[ {40;50} \right)\) | Cộng |
Tần số (n) | 7 | 16 | 27 | 10 | 60 |
Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {30;40} \right)\).
1) Tần số ghép nhóm \(\left[ {30;40} \right)\) là 27
Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \(\left[ {30;40} \right)\) là:
\(\frac{{27.100}}{{60}}\% = 45\% \)
Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt A, B, C, D, E, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hai điểm A, B được tô màu đỏ; ba điểm C, D, E được tô màu xanh. Bạn Châu chọn ra ngẫu nhiên một điểm tô màu đỏ, sau đó chọn ngẫu nhiên một điểm tô màu xanh để nối thành một đoạn thẳng.
Tính xác suất của mỗi biến cố \(X\): “ Trong hai điểm được chọn ra có điểm A”.
1) Không gian mẫu của phép thử là: \[\Omega = \left\{ {AC;AD;AE;BC;BD;BE} \right\}\]
Không gian mẫu có 6 phần tử.
Các kết quả của phép thử là đồng khả năng.
+ Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố X là \[AC;AD;AE\] . Xác suất của biến cố X là \(P\left( X \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) .
(1,5 điểm) Cho hai biểu thức
\(A = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\) với \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\).
1) Tính giá trị của biểu thức \[A\] khi \[x = 25\].
2) Rút gọn biểu thức B.
3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để \(B < A\)
1) Với \[x = 25\] ( thỏa mãn điều kiện) suy ra \(A = \frac{{\sqrt {25} + 1}}{{\sqrt {25} - 2}} = \frac{6}{3} = 2\).
Vậy \(x = 25\) thì \(A = 2\)
2) Thu gọn biểu thức
\(B = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right) + \sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{x - 4 + \sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{x + 4\sqrt x - 3\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}\)
\( = \frac{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}}\)
Vậy \(x \ge 0;x \ne 4;x \ne 9\) thì \(B = \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}}\)
3) Ta có: \(B < A \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}} < \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x + 4}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 2}} < 0\)
\( \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt x - 2}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x < 2 \Leftrightarrow x < 4\)
Kết hợp điều kiện suy ra \(0 \le x < 4\). Mà \[x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\].
Vậy \(x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\) thì \(B < A\)
Gọi \(x\) (triệu đồng), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền mà cửa hàng đã vay từ ngân hàng A và B \(\left( {x > 0,y > 0} \right)\).
Cừa hàng đã vay tổng 600 triệu đồng nên: \(x + y = 600\)
Vì lãi suất của hai ngân hàng A và B lần lượt là \(8\% \)/năm và \(9\% \)/năm, tổng tiền lãi một năm phải trả cho cả hai ngân hàng là 50 triệu đồng nên: \(8\% .x + 9\% .y = 50\) hay \(8x + 9y = 5000\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 600\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\8x + 9y = 5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
Từ phương trình \((1)\)ta có: \(y = 600 - x\).
Thế \(y = 600 - x\) vào phương trình \((2)\)ta được: \[8x + 9.(600 - x) = 5000\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\]
Giải phương trình \((3)\):
\[\begin{array}{l}8x + 9.(600 - x) = 5000\\8x + 5400 - 9x\,\,\,\, = 5000\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - x = - 400\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 400\end{array}\]
Ta thấy \(x = 400\) thỏa mãn \(x > 0\)
Thay \(x = 400\) vào phương trình \(y = 600 - x\), ta có: \(y = 600 - 400 = 200\)(thỏa mãn \(y > 0\))
Vậy số tiền của hàng đã vay từ ngân hàng A và B lần lượt là 400 triệu đồng và 200 triệu đồng.
Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là \(x\) (sản phẩm).
Điều kiện: \(x > 0\).
Thời gian dự kiến là \(\frac{{600}}{x}\) (ngày).
Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là \(\frac{{400}}{x}\) (ngày).
Thời gian làm 600 - 400 = 200 sản phẩm sau là \(\frac{{200}}{{x + 10}}\) (ngày).
Vì thực tế công việc hoàn thành sớm hơn dự kiến 1 ngày nên ta có phương trình:
\[\frac{{600}}{x} - \left( {\frac{{400}}{x} + \frac{{200}}{{x + 10}}} \right) = 1\]
\[\frac{{200}}{x} - \frac{{200}}{{x + 10}} = 1\]
\[\frac{{200(x + 10) - 200x}}{{x(x + 10)}} = 1\]
\[{x^2} + 10x - 2000 = 0\]
\[{x^2} + 10x + 25 - 2025 = 0\]
\[{(x + 5)^2} = 2025.\]
\[{x_1} = 40\]( thỏa mãn), \[{x_2} = - 50\] (loại).
Vậy số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là 40 (sản phẩm).
Phương trình \({x^2} - 4\sqrt 3 x + 8 = 0\)
\[\Delta ' = {(2\sqrt 3 )^2} - 8 = 4 > 0\] nên phương trình có hai nghiệm x1; x2
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \[{x_1} + {x_2} = 4\sqrt 3 \] và \[{x_1}{x_2} = 8\]
Ta có: \({\rm{Q}} = {x_1}^3 + {x_2}^3\)
\({\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 - {x_1}{x_2} + {x_2}^2} \right)\)
\({\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {{x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 3{x_1}{x_2}} \right)\)
\[{\rm{Q}} = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\]
\[{\rm{Q}} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\]
Thay \[{x_1} + {x_2} = 4\sqrt 3 \] và \[{x_1}{x_2} = 8\] vào \[{\rm{Q}}\]ta được:
\[{\rm{Q}} = {\left( {4\sqrt 3 } \right)^3} - 3.8.4\sqrt 3 = 96\sqrt 3 \]
1) Tính thể tích của mô hình tên lửa trong hình bên.
Thể tích thân tên lửa chính là thể tích hình trụ có bán kính đáy\[\;R = \frac{6}{2} = 3\;(cm)\] và chiều cao \[h = 9\;(cm)\] nên \[{V_1} = \pi {R^2}h = \pi {.3^2}.9 = 81\pi (c{m^3})\]
-Thể tích đầu tên lửa chính là thể tích của hình nón có bán kính đấy\[\;R = \frac{6}{2} = 3\;(cm)\] và chiều cao \[h = 5\;(cm)\] nên \[{V_2} = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.5 = 15\pi \;(c{m^3})\]
- Thể tích của mô hình tên lửa là : \[V = {V_1} + {V_2} = 81\pi + 15\pi = 96\pi \;(c{m^3})\]
a) Chứng minh \(\Delta AEF\) đồng dạng \(\Delta ABC.\)
b) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[EF.\]
c) Đường phân giác góc \(FHB\) cắt \(AB\) và \(AC\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\;\)Gọi \(I\)là trung điểm của \(MN,\,J\)là trung điểm của\(AH.\) Chứng minh tứ giác \(AFHI\)nội tiếp và ba điểm\(I,J,K\)thẳng hàng.
a) Vẽ đúng hình đến ý 1)
\(BE \bot AC\)⇒ \[\widehat {BEC} = {90^0}\]
\(CF \bot AB\) ⇒ \(\widehat {CFB} = {90^0}\)
⇒ Tứ giác \(BFEC\) là tứ giác nội tiếp
⇒ \(\Delta AEF\) đồng dạng \(\Delta ABC.\)
b) Chứng minh đường thẳng \(OA\) vuông góc với đường thẳng \[\]
Tứ giác BCEF nội tiếp ⇒ \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\)
\(\Delta OAC\) cân tại O ⇒ \(\widehat {EAO} = \frac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2}\)
\(\widehat {ABC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} \Rightarrow \frac{{{{180}^0} - \widehat {AOC}}}{2} = {90^0} - \widehat {ABC}\)
⇒ \(\widehat {AEF} + \widehat {EAO} = {90^0}\)⇒ \(AO \bot EF\)
c) Chứng minh tứ giác \(AFHI\) nội tiếp và \(I,\;J,\;K\) thẳng hàng.
Chứng minh \({\rm{\Delta }}AMN\) cân tại\(A\) vì\(\widehat {AMN} = \widehat {MBH} + \widehat {MHB} = \widehat {NCH} + \widehat {NHC} = \widehat {ANM}\) ⇒ \(AI \bot MN\)
\(\widehat {AFH} = \widehat {AIH} = {90^0}\) ⇒ Tứ giác \(AFHI\) là tứ giác nội tiếp.
Có \(\widehat {MAH} = \widehat {NAO} \Rightarrow \widehat {IAH} = \widehat {IAO} \Rightarrow IJ||AO\) suy ra \(IJ\)trung trực \(EF\)
Có \[JE = JF,KE = KF \Rightarrow \;\] \[KI\;\] trung trực \(EF\) ⇒ \(I,\;J,\;K\) thẳng hàng.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\sqrt 2 \sqrt {a + 1} \le \frac{{2 + a + 1}}{2} \le \frac{{3 + \frac{{{a^2} + 1}}{2}}}{2}\), dấu bằng xảy ra khi \[a = 1\]
Chứng minh tương tự suy ra \(P \le 2\sqrt 2 ,\) đẳng thức xảy ra khi \(a = b = 1.\)
Do đó, \(a\left( {\sqrt 2 - a} \right) + b\left( {\sqrt 2 - b} \right) \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 \)
Ta có: \(\sqrt {a + 1} + \sqrt {b + 1} \ge 1 + \sqrt {a + b + 1} \ge 1 + \sqrt {\sqrt 2 + 1} \),
Vậy GTLN của \(P\) là \(2\sqrt 2 \) khi \(a = b = 1.\)
đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \sqrt 2 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 2 \\b = 0\end{array} \right..\)
Vậy GTLN của \(P\) là\(1 + \sqrt {\sqrt 2 + 1} \) khi\(\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \sqrt 2 \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 2 \\b = 0\end{array} \right..\)
