Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 31

Giá trị đại diện của các nhóm dữ liệu lần lượt là \[42,5\]\(47,5;52,5;57,5;62,5\).

Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng biểu điễn số liệu đã cho:

Có \(5\) cách chọn đoạn thẳng thứ nhất

Có \(4\) cách chọn đoạn thẳng thứ hai

Có \(3\) cách chọn đoạn thẳng thứ ba

Vậy có \(5\,.\,4\,.\,3 = 60\)cách lấy ra ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng có độ dài lần lượt là \(2\,;\;4\,;\;6\,;\;8\,;\;10\left( {{\rm{cm}}} \right)\) nên số phần tử của không gian mẫu là \(60\)

Trong 10 bộ ba đoạn thẳng đó có ba bộ ba các đoạn thẳng lập thành ba cạnh của một tam giác là

\(\left\{ {{\rm{4}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{6}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{8}}\,{\rm{cm}}} \right\}{\rm{;}}\)\(\left\{ {{\rm{4}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{8}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{10}}\,{\rm{cm}}} \right\}{\rm{;}}\)\(\left\{ {{\rm{6}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{8}}\,{\rm{cm}}\,{\rm{;}}\;{\rm{10}}\,{\rm{cm}}} \right\}\)

Mỗi bộ có \(6\)kết quả thuận lợi

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \(E\) là \(3\,.\;6 = 18\)        

Xác suất của biến cố \(E\) là \(\frac{{18}}{{60}} = \frac{3}{{10}}\)

1)    Thay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\), ta được \(A = 1 - \frac{1}{{\sqrt 4 }} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

2)    Ta có \(B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  + 3} \right) + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)

3) Xét \(P = B. A\)\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\)\( = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}}\)

Xét \(P = 0\) hay \(\sqrt x  - 2 = 0\)\( \Rightarrow x = 4\) (thỏa mãn)

Xét \(P \ne 0\). Có \(P = \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  + 3}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x  + 3}}\).

Để \(P\) nhận giá trị nguyên thì \(\frac{5}{{\sqrt x  + 3}}\) nhận giá trị nguyên

Vì \(x > 0\)nên \(\frac{5}{{\sqrt x  + 3}} > 0\)                        \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác \(\sqrt x  + 3 \ge 3\) nên \(\frac{5}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{5}{3}\)           \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),  \left( 2 \right)\)suy ra :

\(0 < \frac{5}{{\sqrt x  + 3}} \le \frac{5}{3}\)\( \Rightarrow \frac{5}{{\sqrt x  + 3}} = 1\)

\( \Rightarrow \sqrt x  + 3 = 5\)

\( \Rightarrow \sqrt x  = 2\)

Nên \(x = 4\)(thỏa mãn)

Gọi giá nhập về của chiếc ti vi là \(x\)(đồng). Theo đề cửa hàng thu lãi \(\frac{x}{{10}}\), tức là giá đã bán là \(x + \frac{x}{{10}}\). Nếu cửa hàng tiếp tục nâng giá bán chiếc tivi đó thêm \(5\% \)giá đã bán và bớt cho khách hàng 245 000 đồng, khi đó giá bán ra là \(x + \frac{x}{{10}} + \frac{5}{{100}}\left( {x + \frac{x}{{10}}} \right) - 245000\)

Theo đề khi đó cửa hàng thu lãi là 12% của giá nhập về nên ta có phương trình :

\(x + \frac{x}{{10}} + \frac{5}{{100}}\left( {x + \frac{x}{{10}}} \right) - 24\,500 = x + \frac{{12}}{{100}}x\)

Từ đó tính được \(x = 7\,000\,000\)

Vậy giá nhập về của chiếc ti vi đó là 7 triệu đồng.

Gọi thời gian bạn A làm một mình hoàn thành công việc là \(x\) (giờ, \(x > 0\))

Gọi thời gian bạn B làm một mình hoàn thành công việc là \(y\) (giờ, \(y > 0\)).

Trong \(1\)giờ bạn A làm được số phần công việc là \(\frac{1}{x}\) (công việc)

Trong \(1\)giờ bạn B làm được số phần công việc là \(\frac{1}{y}\) (công việc)

Theo bài ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\\x - y = 12\end{array} \right.\)

Giải hệ trên ta được: \(x = 24;\,\)\(y = 12\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy khi làm một mình thì B hoàn thành cả công việc trong \(12\) ngày

Sau khi A làm được \(\frac{1}{3}\) công việc rồi nghỉ thì B làm nốt công việc còn lại trong thời gian là: \(\left( {1 - \frac{1}{3}} \right)\;.\;12 = 8\) ngày

Phương trình \[{x^2} + 3x - 10 = 0\] có hai nghiệm \[{x_1}\] và \[{x_2}\]. Theo định lý Viete, ta có

\({x_1} + {x_2} =  - 3;\)\({x_1}.{x_2} =  - 10\)

\[A = \frac{{{x_1} + 2}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2} + 2}}{{{x_1}}}\]\[ = \frac{{{x_1}\left( {{x_1} + 2} \right) + {x_2}.\left( {{x_2} + 2} \right)}}{{{x_1}.{x_2}}}\]

\[A = \frac{{x_1^2 + 2{x_1} + x_2^2 + 2{x_2}}}{{{x_1}.{x_2}}}\]\[ = \frac{{\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + \left( {2{x_1} + 2{x_2}} \right)}}{{{x_1}.{x_2}}}\]

\[A = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}.{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}.{x_2}}}\]

\[A = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^2} - 2\left( { - 10} \right) + 2\left( { - 3} \right)}}{{ - 10}}\]

\[A = \frac{{ - 23}}{{10}}\]

Gọi \[R\] là bán kính viên bi. Thể tích \(6\) viên bi là thể tích nước dâng lên trong cốc. Khi đó thể tích \(6\) viên bi là \({V_2} = 6.\frac{4}{3}\pi .{R^3} = 8\pi .{R^3}\)

                 Từ đó: \(8\pi .{R^3} = 125\pi  \Leftrightarrow R = \frac{5}{2}\) (cm)

a) Chứng minh bốn điểm \(A\), \(E\), \(H\), \(F\) nằm trên cùng một đường tròn.

Ta có \[\widehat {AEB} = 90^\circ \](do \(BE\) là đường cao của \(\Delta ABC\)) hay \[\widehat {AEH} = 90^\circ \]

\[\widehat {AFC} = 90^\circ \] (do \(CF\) là đường cao của \(\Delta ABC\)) hay \[\widehat {AFH} = 90^\circ \]

Suy ra bốn điểm \(A,E,H,F\) cùng nằm trên một đường tròn đường kính \(AH\) (đpcm)

b) Chứng minh \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\);

Vì \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AH\) nên \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(AH\)

Suy ra \(IA = IE\)

Vì\(\Delta IAE\) cân tại \(I\) nên \({\widehat A_1} = {\widehat E_1}\)                            (1)

\[\Delta EBC\] vuông tại \[E\]có \[EN\] là đường trung trrung tuyến ứng với cạnh huyền \[BC\]

Nên \(EN = NC\,\,\,\left( { = \frac{{BC}}{2}} \right)\)

Suy ra \[\Delta ENC\] cân tại \[N\] nên \(\widehat {NCE} = \widehat {{E_4}}\)                (2)

Xét \[\Delta AKC\] vuông tại \[K\] có \[\widehat {KCA} + {\widehat A_1} = 90^\circ \] hay \[\widehat {NCE} + {\widehat A_1} = 90^\circ \]        (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \({\widehat E_1} + {\widehat E_4} = 90^\circ \)

Lại có  \({\widehat E_1} + {\widehat E_4} + \widehat {IEN} = 180^\circ \)  (do \(A;\;E;\;C\) thẳng hàng)

Suy ra \(90^\circ  + \widehat {IEN} = 180^\circ \)hay\(\widehat {IEN} = 90^\circ \)

Suy ra \(EN \bot EI\) tại \(E\)

Do đó \(NE\) là tiếp tuyến của đường tròn đường kính \(AH\)  (đpcm)

c) Chứng minh \[C{I^2} - I{E^2} = CK\;.\;CB\].

Áp dụng định lí Py – Ta – Go \(\Delta CIK\) vuông tại \(K\), ta có: \(C{I^2} = C{K^2} + I{K^2}\)       

Lại có \(IA = IE = IH\) (cùng bán kính đường tròn tâm I)

Suy ra \[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + I{K^2} - I{E^2}\]

\[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IE)\]

\[C{I^2} - I{E^2} = C{K^2} + (IK + IE)(IK - IH)\]  \[ = C{K^2} + AK\;.\;KH\]  \(\left( 4 \right)\)

Ta lại có \[CK.CB = CK(CK + KB)\] \[ = C{K^2} + CK\;.\;KB\]   \(\left( 5 \right)\)

Xét  \(\Delta KBH\) và \(\Delta KAC\) có

\(\widehat {KBH} = \widehat {KAC}\) (\( = 90^\circ  - \widehat {ACB}\));  \[\widehat {BKH} = \widehat {AKC} = 90^\circ \]

Do đó \[\left( {g - g} \right)\]

Nên \(\frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{KH}}{{KC}}\) suy ra\(KA\;.\;KH = KB\;.\;KC\) hay \(AK\;.\;KH = CK\;.\;KB\)                  \(\left( 6 \right)\)

Từ \[\left( 4 \right)\],\(\left( 5 \right)\) và \(\left( 6 \right)\) suy ra \[C{I^2} - I{E^2} = CK\;.\;CB\]  (đpcm)

Gọi vị trí ban đầu của người đó là điểm \(A\).

Vì thời gian thực hiện mỗi vòng của đu quay là \(30\) phút nên khi đu quay quay đều thì \(10\) phút người đó đi được \(\frac{1}{3}\) vòng tròn và đang ở vị trí điểm B như hình vẽ sau:

Gọi \(A',\,B'\) lần lượt là hình chiếu của \(A,\,B\) trên mặt đất, kẻ \(OH \bot BB'\).

Ta có: \(\widehat {AOB} = \frac{1}{3}\; \cdot \;{360^ \circ } = {120^ \circ },\,\)\(OA' = 80\;{\rm{m}}\).

Vì \(OA'B'H\) là hình chữ nhật (tứ giác có \(3\) góc vuông) nên \(HB' = OA' = 80\,\;\left( {\rm{m}} \right)\)

Ta có: \(\widehat {AOH} = {90^ \circ }\) suy ra \(\widehat {BOH} = {120^ \circ } - {90^ \circ } = {30^ \circ }\)

Xét tam giác vuông \(OBH\) có: \(BH = OB.\sin {30^ \circ } = 75\; \cdot \;\frac{1}{2} = 37,5\,\left( m \right)\)

Mà \(BB' = BH + HB' = 37,5 + 80 = 117,5\;\,\left( {\rm{m}} \right)\).

Vậy sau \(10\) phút người đó ở độ cao \(117,5\;{\rm{m}}\) so với mặt đất.