Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 3

a)           Các y tá của phòng khám có thời gian công tác nhận những giá trị sau\[1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7.\] Bảng tần số:

Số năm công tác	1	2	3	4	5	6	7
Số y tá	6	5	5	7	9	5	2

b)          Phòng khám có: \[6 + 5 + 5{\rm{ }} + 7 + 9 + 5{\rm{ }} + 2{\rm{ }} = 39\]y tá.

c)           Có \[5 + 7 + 9 + 5 + 2 = 28\]y tá đã công tác ở phòng khám ít nhất 3 năm.

a) Các kết quả có thể xảy ra là: Trung, Quý, Việt, An, Châu, Hương.

b) Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: An, Châu, Hương.

Vậy \[P\left( A \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\].

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: Trung, Quý, An.

Vậy \[P\left( B \right) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\].

Thay x = 9 ( tmđk) vào biểu thức \[A\], ta được:

\(A = \frac{{9 - 7}}{{\sqrt 9 }} = \frac{2}{3}\)

Vậy khi \(x = 9\)thì \(A = \frac{2}{3}\)

\(B = \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{2x - \sqrt x  + 2}}{{x - 4}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{\sqrt x  - 2 - \sqrt x \left( {\sqrt x  + 2} \right) + 2x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\\ = \frac{{\sqrt x  - 2 - x - 2\sqrt x  + 2x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt {x - 2} } \right)}}\\ = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt {x - 2} } \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\end{array}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\) với \(x > 0,x \ne 4\)

\(P = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x  + 2}}\)+ Xét \(P = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x  + 2}}\) ( thoả mãn đk )

+ Xét \(P \ne 0\)

TH1: \(x \in \mathbb{Z};x \ne 7;\sqrt x \)là số vô tỉ \(P \notin \mathbb{Z}\) ( loại)

TH2: \(x \in \mathbb{Z},\sqrt x  \in \mathbb{Z}\)

Ta có: \(P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} = \sqrt x  - 2 - \frac{3}{{\sqrt x  + 2}}\)

Để \(P \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\sqrt x  - 2 - \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\frac{3}{{\sqrt x  + 2}} \in \mathbb{Z}\)

Suy ra \(\sqrt x  + 2 \in \)Ư(3)

Vậy \(\sqrt x  + 2 \in \left\{ {1;3} \right\}\)

Do \(\sqrt x  + 2 \ge 2 \Leftrightarrow \sqrt x  + 2 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x  = 1 \Leftrightarrow x = 1\) ( thoả mãn )

Vậy với \(x \in \left\{ {1;7} \right\}\); thì P có giá trị nguyên

Gọi vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là x ( km/h) ( ĐK: x > 5 ) Do kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến C hết tất cả 7 giờ nên ta có:

\(\frac{{60}}{{x + 5}} + \frac{{60}}{{x - 5}} + \frac{3}{5} = 7\)

Suy ra \(\frac{{60}}{{x + 5}} + \frac{{60}}{{x - 5}} = \frac{{32}}{5}\)

\( \Rightarrow 300(x - 5) + 300(x + 5) = 32(x - 5)(x + 5)\)

\(32{x^2} - 600x - 800 = 0 \Leftrightarrow (x - 20)(4x + 5) = 0\)

\(\begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x - 20 = 0\\4x + 5 = 0\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}x = 20(TM)\\x = \frac{{ - 5}}{4}(L)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy vận tốc của ca nô trong nước yên lặng là 20 km/h

a) Bán t chiếc váy với giá 250 000 đồng 1 chiếc thì thu về: \(250000.t\) đồng.

      Biểu thức \[X = 250000.t - 40000000\] ( đồng)

b)  Để bắt đầu có lời thì:\[X > 0\]

\[\begin{array}{l}250000.t > 40{\rm{ }}000{\rm{ }}000\\t > 160\end{array}\]

Vậy phải bán được ít nhất 161 chiếc váy thì nhà may bắt đầu có lời.

Phương trình \({x^2} + \left( {m + 1} \right)x - 3 = 0\)

Ta có: \[\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( { - 3} \right) = {\left( {m + 1} \right)^2} + 12 > 0\]

Vì \[\Delta  > 0\] với mọi m nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \[m\].

Áp dụng định lý Ta-lét ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} =  - 3\end{array} \right.\]

Ta có:  \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 2\], (\[{x_1};{x_2} \ne 0 \Rightarrow m \ne  - 1\])

  \[\begin{array}{l}\frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} = 2\\\frac{{ - \left( {m + 1} \right)}}{{ - 3}} = 2\\\frac{{m + 1}}{3} = 2\\m + 1 = 6\\m = 5{\rm{ }}(t/m)\end{array}\]

Vậy để thỏa mãn \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = 2\] thì m = 5.

Hình nón có đường sinh l = 50 cm; bán kính đáy R = 30 cm; chiều cao h

Áp dụng định lí Pythagore, ta có: \({h^2} + {R^2} = {l^2}\)\( \Leftrightarrow {h^2} + {30^2} = {50^2} \Leftrightarrow {h^2} = 1600 \Rightarrow h = 40(cm)\) 

Thể tích của hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi .{R^2}.h \approx \frac{1}{3} \cdot 3,14 \cdot {30^2} \cdot 40 = 37680(c{m^3})\)

a) Chứng minh tứ giác \(BFEC\)nội tiếp. Xác định tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFEC\)

Vì \(CF \bot AB\) nên \(\widehat {CFB} = 90^\circ \) suy ra tam giác BFC vuông tại F

Vì \(BE \bot AC\) nên \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) suy ra tam giác BEC vuông tại E

Gọi O’ là trung điểm đoạn \(BC.\)

Xét tam giác BEC vuông tại E, O’ là trung điểm đoạn \(BC.\) . Suy ra  (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.)       (1)

Xét tam giác BFC vuông tại F, O’ là trung điểm đoạn \(BC.\) . Suy ra  ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông.)       (2)

Từ (1) và (2) suy ra mà O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(BFEC\), suy ra \(O\) trùng O’

Suy ra \(O\)là trung điềm đoạn \(BC.\).

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AH\). Chứng minh \(IE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

Xét \(\Delta AEH\) vuông tại \(H\), có \(EI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(AH\) nên \(EI = \frac{1}{2}AH = IH\)

Suy ra: \(\Delta IEH\) cân tại \[I\] \( \Rightarrow \widehat {IEH} = \widehat {IHE}\)

Mà \(\widehat {IHE} = \widehat {BHD}\) (Hai góc đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {IEH} = \widehat {BHD}\) (1)

Ta lại có: \(OB = OE = R\) \( \Rightarrow \Delta OEB\) cân tại \(O\)

\( \Rightarrow \widehat {OBE} = \widehat {OEB}\) (2)

Từ (1) và (2), ta có: \(\widehat {IEH} + \widehat {OEB} = \widehat {BHD} + \widehat {OBE}\)

Mặt khác: \(\widehat {BHD} + \widehat {OBE} = 90^\circ \) (vì \(\Delta BHD\) vuông tại \(D\))

Suy ra: \(\widehat {IEH} + \widehat {OEB} = \widehat {BHD} + \widehat {OBE} = 90^\circ \) hay \(\widehat {OEI} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow OE \bot EI\)và \(E \in (O)\)Do đó: \(IE\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O)\).

c) Vẽ \(CI\) cắt đường tròn \((O)\) tại \(M\,(M\) khác \(C\) ), \(EF\) cắt \(AD\) tại \(K\). Chứng minh ba điểm \(B,K,M\) thẳng hàng.

Ta có: góc BMC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên góc BMC = 90 độ

\( \Rightarrow BM \bot IC\)

Xét \(\Delta IEK\) và \(\Delta IDE\) có:

\(\widehat {EIK}\) là góc chung

\(\widehat {IDE} = \widehat {IEK}\,( = \widehat {ECF})\)

Do đó: (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{IE}}{{ID}} = \frac{{IK}}{{IE}} \Rightarrow ID.IK = I{E^2}\)

Mặt khác: \(IM.IC = I{E^2}\) (Bạn đọc tự chứng minh)

\( \Rightarrow ID.IK = IM.IC\)

\( \Rightarrow \frac{{IM}}{{ID}} = \frac{{IK}}{{IC}}\)

Xét tam giác IMK và tam giác IDC có:

Góc MIK là góc chung

\(\frac{{IM}}{{ID}} = \frac{{IK}}{{IC}}\)

 

\( \Rightarrow \widehat {KMI} = \widehat {CDI} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow KM \bot IC\)

\(\left. \begin{array}{l}BM \bot IC\\KM \bot IC\end{array} \right\} \Rightarrow B,M,K\) thẳng hàng

Đặt AE = x \[\left( {0 \le x \le 30} \right)\]

Chỉ ra được \[{S_{EFGH}} = {S_{ABCD}} - 4{S_{AEH}} = 900 - 2x\left( {30 - x} \right)\]

Do đó: \[{S_{EFGH}} = 2{x^2} - 60x + 900 = 2{\left( {x - 15} \right)^2} + 450 \ge 450\]

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = 15 (tm)

Vậy min \[{S_{EFGH}} = 450{m^2}\]khi AE = 15m