Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 29

Dựa vào bảng tần số ghép nhóm đã cho, tần số ghép nhóm của nhóm \[\left[ {160;{\rm{ }}165} \right)\]là 12 và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \[\left[ {160;{\rm{ }}165} \right)\] là \[\frac{{12.100}}{{40}}\%  = 30\% \]

2) Hình bên mô tả một đĩa tròn bằng bìa cứng được chia làm tám phần bằng nhau và ghi các số \[1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }} \ldots ;{\rm{ }}8\]. Chiếc kim được gắn cố định vào trục quay ở tâm của đĩa. Quay đĩa tròn một lần.

Tính xác suất của biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số lớn hơn 3”.

Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số lớn hơn 3” là 4; 5; 6; 7; 8.

Xác suất của biến cố A: “Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số lớn hơn 3” là: \[\frac{5}{8} = 0,625\]

 

Số tiền của Tuấn mang đến nhà sách là: 300 + 20 = 320 (nghìn đồng)

Gọi số tờ tiền loại 10 nghìn đồng và số tờ tiền loại 20 nghìn đồng lần lượt là \(x\), \(y\) (tờ, \(x,y > 0\))

Vì Tuấn mang 20 tờ tiền nên \(x + y = 20\) (1)

Số tiền của Tuấn mang đến nhà sách là 320 nghìn đồng nên \(10x + 20y = 320\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 20\\10x + {\rm{20}}y = 320\end{array} \right.\]

Giải hệ trên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 8\\y = 12\end{array} \right.\) (thoả mãn).

Vậy lúc đầu Tuấn có 8 tờ tiền loại 10 nghìn đồng và có 12 tờ tiền loại 20 nghìn đồng.

Gọi \(x\) (km), (\(x > 120\)) là độ dài quãng đường AB.

Thời gian ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h là: \(\frac{x}{{40}}\) (giờ);

Nửa quãng đường AB là \(\frac{x}{2}\) (km);

Thời gian thực tế ô tô đi đoạn đường lúc đầu với vận tốc 40 km/h là: \(\frac{{\frac{x}{2} - 60}}{{40}} = \frac{{x - 120}}{{80}}\) (giờ);

Vận tốc sau khi tăng 10 km/h là: 40 + 10 = 50 (km/h);

Thời gian thực tế ô tô đi đoạn đường còn lại với vận tốc 50 km/h là: \(\frac{{\frac{x}{2} + 60}}{{50}} = \frac{{x + 120}}{{100}}\) (giờ);

Ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định nên ta có phương trình:

\(\frac{{x - 120}}{{80}} + \frac{{x + 120}}{{100}} = \frac{x}{{40}} - 1\)

                                                     \(\frac{{5\left( {x - 120} \right)}}{{400}} + \frac{{4\left( {x + 120} \right)}}{{400}} = \frac{{10x}}{{400}} - \frac{{400}}{{400}}\)

                                                       \(\begin{array}{l}5x - 5.120 + 4x + 4.120 = 10x - 400\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9x - 120 = 10x - 400\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,9x - 10x =  - 400 + 120\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - x =  - 280\end{array}\)

                                                                                \(x = 280\) (thoả mãn)

Vậy quãng đường AB dài 280 km.

Vì phương trình bậc hai \({x^2} + 3x + m = 0\)có hai nghiệm nên \(\Delta  = {3^2} - 4.1.m = 9 - 4m \ge 0\).

Suy ra \(m \le \frac{9}{4}\).

Gọi \({x_1};\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình đã cho.

Theo hệ thức Viete, ta có \({x_1} + {x_2} =  - 3;\,\,\,{x_1}.{x_2} = m\).

Xét biểu thức tổng bình phương các nghiệm \({x^2}_1 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}.{x_2}\)

                                                                                      \[{x^2}_1 + {x_2}^2 = {\left( { - 3} \right)^2} - 2m = 9 - 2m\].

Để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đã cho bằng 2025 thì \[9 - 2m = 2025\].

Suy ra m = \( - \)1008 (thỏa mãn điền kiện \(m \le \frac{9}{4}\)).

Vậy m = \( - \)1008  thì tổng bình phương các nghiệm của phương trình đã cho bằng 2025.

1) Thay \(x\) = 25 thỏa mãn điều kiện \(x > 0;x \ne 1\) vào biểu thức A, ta được:

 \(A = \frac{{\sqrt {25}  + 1}}{{\sqrt {25}  - 1}} = \frac{{5 + 1}}{{5 - 1}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).

Vậy giá trị của biểu thức A bằng \(\frac{3}{2}\) tại x = 25.

2) \(B = \frac{{x + 1}}{{x - \sqrt x }} - \frac{2}{{\sqrt x  - 1}}\) với \(x > 0;x \ne 1\)

\(B = \frac{{x + 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\(B = \frac{{x + 1 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\sqrt x }}\).

3) \(P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0;x \ne 1\).

Xét hiệu: \(P - 1 = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }} - 1 = \frac{{\sqrt x  + 1 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{1}{{\sqrt x }}\).

Vì \(x > 0\)nên \(\sqrt x  > 0\), suy ra \(\frac{1}{{\sqrt x }} > 0\). Do vậy \(P - 1 > 0 \Rightarrow P > 1\).

Vậy \(P > 1\).

a) Bán kính đáy của lọ hình trụ là: r = 30:2 = 15 (cm)

Thể tích nước tinh khiết chứa trong lọ bằng thể tích của lọ hình trụ.

Thể tích nước tinh khiết là: \(V = \pi {r_1}^2.{h_1} \approx {3,14.15^2}.20 = 14\,130\) (cm3)

b) Gọi thể tích lọ thứ hai bên trong có đường kính đáy là \(40cm\), chiều cao h2 (cm) là \({V_2}\) 

Suy ra \({V_2} = \pi .{r_2}^2.{h_2} \approx 3,14.400.{h_2} = 1\,256.{h_2}\) (cm3)

Theo bài lượng nước trong lọ thứ hai cao một nửa chiều cao của lọ nên: \(1\,256.\frac{{{h_2}}}{2} = 14\,130\)

Suy ra \({h_2} = 22,5\)(cm).

Vậy chiều cao của lọ thứ hai là 22,5 cm.

a) +) Có \(MB\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(MB \bot OB\) tại \(B\). Suy ra \(B\) thuộc đường tròn đường kính \(MO\) (1)

            +) Có \(I\) là trung điểm của dây \(PQ\) của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(OI \bot PQ\) tại \(I\). Suy ra \(I\) thuộc đường tròn đường kính \(MO\) (2)

   Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(B\), \(O\), \(I\), \(M\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(MO\).

                                                           

b) +) Xét \(\left( O \right)\) có các tiếp tuyến \(MA\), \(MB\) cắt nhau nên tia \(OM\) là phân giác của \(\widehat {AOB}\).

            \[ \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM} = \frac{1}{2}\widehat {BOA}\]

            Lại có \[\widehat {BEA} = \frac{1}{2}\widehat {BOA}\]  (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung)

Suy ra \[\widehat {BOM} = \widehat {BEA}\] (3)

+) Có bốn điểm \(B\), \(O\), \(I\), \(M\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(MO\) (cmt)

\[ \Rightarrow \widehat {BOM} = \widehat {BIM}\] (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung ) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \[\widehat {BEA} = \widehat {BIM}\].

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(AE\)//\(IM\) hay \(AE\)//\(PQ\).

c) Kéo dài \(IO\) cắt \(AE\) tại \(H\).

Do \(OI \bot PQ\) và \(AE\)//\(PQ\) (cmt) nên \(OI \bot AE\) tại \(H\) hay \(OH \bot AE\) tại \(H\).

Suy ra \(H\) là trung điểm của \(AE\).

Mà \(K\) là trung điểm của \(AE\) nên \(K\) và \(H\) trùng nhau.

Suy ra \(K\) thuộc đường thẳng \(OI\).

Vậy ba điểm \(O\); \(I\); \(K\) thẳng hàng.

Thể tích hình nón: \[{V_A} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}.\pi {.3^2}.6 = 18\pi \] (in3)

Thể tích hình trụ \[{V_{\bf{B}}} = \pi {r^2}h = \pi {.3^2}.6 = 54\pi \] (in3)

Suy ra \[{V_{\bf{B}}} = 3.{V_A}\]. Do đó, lượng bắp rang bơ trong hộp hình trụ gấp ba lần lượng bắp rang bơ trong hộp hình nón.

Nếu một hộp bắp rang bơ hình nón có giá $1 thì giá tương đương một hộp bắp rang bơ hình trụ có giá là 3.1 = 3 ($).

Để người mua được lợi 10%, thì người mua cần trả 90% nguyên giá, tức là giá sau khi đã giảm là: 90%.3 = 2,7 ($).

Vậy cửa hàng B phải bán với giá $2,7 một hộp (hình trụ) để người mua được lợi 10% so với cùng lượng bắp rang bơ ở cửa hàng A.