Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 28
8 câu hỏi
(1,5 điểm)
1). Tính giá trị biểu thức \(A = 2\sqrt {48} + 3\sqrt {75} - 2\sqrt {108} \)
2). Rút gọn biểu thức \[P = \left( {\frac{3}{{\sqrt x - 3}} - \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right).\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{9}{{\sqrt {4x} }}} \right) - 1\] với x > 0, x ¹ 9
3). Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 1\\2x + y = 5\end{array} \right.\)
1) (0,5 điểm) \(A = 2\sqrt {48} + 3\sqrt {75} - 2\sqrt {108} = 11\sqrt 3 \)
2) (0,5 điểm) (\[P = \left( {\frac{3}{{\sqrt x - 3}} - \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right).\left( {\frac{{\sqrt x }}{2} - \frac{9}{{\sqrt {4x} }}} \right) - 1\] (với x > 0, x ¹ 9)
= \[\frac{{3\sqrt x + 9 - \sqrt x - 3}}{{x - 9}}.\frac{{x - 9}}{{2\sqrt x }} - 1\] = \[\frac{{2\sqrt x + 6}}{{2\sqrt x }} - 1\]
= \[\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }} - 1 = \frac{{\sqrt x + 3 - \sqrt x }}{{\sqrt x }} = \frac{3}{{\sqrt x }}\].
Vậy P = \[\frac{3}{{\sqrt x }}\] với x > 0, x ¹ 9
3) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình NH-2024-GV48: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 6y = 8\,\,\,\,\,\\3x - 7y = - 10\,\end{array} \right.\)
\(\left\{ \begin{array}{l} - 6x + 18y = 24\,\,\,\,\\6x - 14y = - 20\,\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}4y = 4\,\,\,\,\\6x - 14y = - 20\,\end{array} \right.\) \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình NH-2024-GV48 có nghiệm là \(x = - 1\); \(y = 1\).
(2,0 điểm)
Sau khi thống kê độ dài (đơn vị: centimét) của \[60\] lá dương xỉ trưởng thành, người ta có bảng tần số ghép nhóm như sau
Nhóm | \(\left[ {10;20} \right)\) | \(\left[ {20;30} \right)\) | \(\left[ {30;40} \right)\) | \[{\rm{[}}40;50]\] | Cộng |
Tần số \(\left( n \right)\) | \[8\] | \[18\] | \[24\] | \[10\] | \(60\) |
a) Tìm tần số tương đối của mỗi nhóm.
b) Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
c) Vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm ở dạng biểu đồ cột và biểu đồ đoạn thẳng của mẫu số liệu ghép nhóm đó.
a) (0,5 điểm) Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là: \({f_1} = \frac{{8.100}}{{60}}\% = 13,33\% ;{f_2} = \frac{{18.100}}{{60}}\% = 30\% \)
\({f_3} = \frac{{24.100}}{{60}}\% = 40\% ;{f_4} = \frac{{10.100}}{{60}}\% = 16,67\% \)
b) (0,5 điểm) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó
Nhóm | \(\left[ {10;20} \right)\) | \(\left[ {20;30} \right)\) | \(\left[ {30;40} \right)\) | \[{\rm{[}}40;50]\] | Cộng |
Tần số tương đối \(\left( \% \right)\) | \[13,33\] | \[30\] | \[40\] | \[16,67\] | \(100\) |
c) (0,5 điểm)
(0,5 điểm) Cho phương trình: \({x^2} - 5x - 6 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Hãy tính giá trị của biểu thức sau: A = \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}}\)
PT: \({x^2} - 5x - 6 = 0\) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 5}\\{{x_1}.{x_2} = - 6}\end{array}} \right.\)
Khi đó: A = \(\frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 1}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 1}}\) = \(\frac{{{x_1}\left( {{x_1} - 1} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 1} \right)}}{{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right)}}\)
A = \(\frac{{{x_1}^2 + {x_2}^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\) = \(\frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\)
Vậy: A = \(\frac{{{5^2} - 2.( - 6) - 5}}{{ - 6 - 5 + 1}} = \frac{{ - 16}}{5}\)
(2,0 điểm) .
(0,5 điểm) Tìm các hệ số x, y để cân bằng phương trình phản ứng hoá học sau.
\[xZn + 4yHN{O_3} \to xZn{(N{O_3})_2} + 2NO + 2y{H_2}O\]
Vì chỉ số của Zn và H ở hai bên phương trình phản ứng bằng nhau, nên ta chỉ quan tâm đến chỉ số của N và O
Theo định luật bảo toàn nguyên tố đối với N và O, ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}4y = 2x + 2\\12y = 6x + 2 + 2y\end{array} \right.\] (0,25 điểm)
\[\left\{ \begin{array}{l}4y - 2x = 2\\10y - 6x = 2\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}2y - x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\5y - 3x = 1\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]
Nhân \[2\] vế pt \[\left( 1 \right)\]với \[3\] ta được hệ pt: \[\left\{ \begin{array}{l}6y - 3x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\\5y - 3x = 1\,\,\,\,\,\,\end{array} \right.\]
Trừ từng vế \[2\] pt trên ta được \[y = 2\]
Thay \[y = 2\] vào pt \[\left( 1 \right)\]ta được \[x = 3\]
Vậy ta có phương trình sau cân bằng \[3Zn + 8HN{O_3} \to 3Zn{(N{O_3})_2} + 2NO + 4{H_2}O\]
(1,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Bác Lan có \[500\] triệu đồng để đầu tư vào hai khoản: Trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng với kì hạn \[12\] tháng. Lãi suất của trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là \[7\% /\]năm và \[6\% /\]năm. Tính số tiền mà bác Lan đầu tư vào mỗi khoản để mỗi năm nhận được tiền lãi là \[32\] triệu đồng từ hai khoản đầu tư đó.
Gọi số tiền bác Lan đầu tư vào hai khoản trái phiếu và gửi tiết kiệm lần lượt là \[x\] (triệu đồng), \[y\] (triệu đồng) (\[x > 0\], \[y > 0\])
Theo bài ra, bác Lan có \[500\] triệu đồng để đầu tư vào \[2\] khoản nên ta có phương trình:
\[x + y = 500\] \[\left( 1 \right)\]
Mặt khác, số tiền đầu tư vào \[2\] khoản có lãi suất lần lượt là \[7\% /\]năm và \[6\% /\]năm và tổng số tiền lãi \[1\] năm nhận được là \[32\] triệu đồng nên ta có pt:
\[7\% .x + 6\% .y = 32\]hay\[7.x + 6.y = 3200\] \[\left( 2 \right)\]
Từ \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] ta có hệ pt: \[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\7x + 6y = 3200\end{array} \right.\]
Từ pt (1), ta có: \[y = 500 - x\]
Thế \[y = 500 - x\]vào pt \[\left( 2 \right)\] ta được: \[7.x + 6.(500 - x) = 3200\]
\[x + 3000 = 3200\]
\[x = 200\](TMĐK)
Thay\[x = 200\] vào pt \[y = 500 - x\], ta có:
\[y = 500 - 200 = 300\](TMĐK)
Vậy số tiền mà bác Lan đầu tư vào trái phiếu và gửi tiết kiệm lần lượt là 200 triệu đồng và 300 triệu đồng.
(4,0 điểm)
(1,0 điểm) Đài phun nước ở Công viên Hồ Khánh Hội, TP HCM códạng đường tròn (gọi là đường tròn tâm \[O\]) và được thiết kếtheo hình dáng những cánh hoa đan xen nhau, bên dưới là hệthống phun nước với nhiều độ cao khác nhau kết hợp với hệthống chiếu sáng và âm nhạc cùng các mảng cây xanh tạokhông gian đô thị vui tươi, sinh động.Một học sinh vẽ tam giác đều \[ABC\] ngoại tiếp đường tròn\[\left( O \right)\]và tính được diện tích tam giác đều là \[1\,200\]m2. Bạn hãy tính bán kính và chu vi của đường tròn \[\left( O \right)\] (Kết quả làm tròn một chữ số thập phân và p = 3,14).
Gọi \[O\] là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ABC\].
Khi đó \[O\] là giao điểm 3 đường phân giác.
Mà \[\Delta ABC\] đều nên \[AH\]là đường phân giác cũng là đường cao, đường trung tuyến.
Do đó \[O\] là trọng tâm \[\Delta ABC\] và \[AH = 3.OH = 3.R\].
và \[\widehat {HAC} = \frac{{\widehat {BAC}}}{2} = {30^0};\,\,BC = 2.HC\]
Xét \[\Delta HAC\]vuông tại \[H\]ta có
\[HC = AH.\tan 30^\circ = 3R.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = R.\sqrt 3 \]
\[{S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH.BC = AH.HC = 3R.R\sqrt 3 {\rm{ = 3}}\sqrt 3 {R^2}\]
\[1\,200\,\, = \,\,3\sqrt 3 .{R^2}\,\]
\[R{\rm{ = }}\sqrt {\frac{{1200}}{{3\sqrt 3 }}} \,\, \approx 15,2\,\,\,\,\,\left( {\rm{m}} \right)\]
Chu vi đường tròn (O) là \[2.3,14.15,2 \approx 95,5\](m)
Vậy bán kính \[\left( O \right)\]là \[15,2\]m; chu vi là \[95,5\]m.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Chứng minh bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn.b) Chứng minh \[DB.DC = DH.DA\]. c) Đường thẳng AO cắt đường tròn tâm O tại điểm K khác điểm A. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HK và BC. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BC. d) Tính \[\frac{{AH}}{{AD}} + \frac{{BH}}{{BE}} + \frac{{CH}}{{CF}}\].
(0,75 điểm)
Ta có:\[\widehat {ADB} = {90^0}\] ( vì \[AD \bot BC\] 
\[\widehat {AEB} = {90^0}\] (vì \[BE \bot AC\])
Xét tứ giác ABDF có \[\widehat {ADB} = \widehat {AEB} = {90^0}\]
mà D và F là 2 đỉnh kề nhau cùng cạnh AB
dưới 1 góc vuông
Nên 4 điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn.
b) (0,75 điểm) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDF có
\[\widehat {EBD}\]là góc nội tiếp chắn cung DE
\[\widehat {EAD}\]là góc nội tiếp chắn cung DE
Nên \[\widehat {EBD} = \widehat {EAD}\](Hệ quả góc nội tiếp) hay \[\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\]
Xét ΔBHD và ΔACD có\[\widehat {HDB} = \widehat {CDA} = {90^0}\]
\[\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\] (cmt)
Do đó \[\Delta BHD\] đồng dạng với\[\Delta ACD\] (g-g)
Suy ra \[\frac{{DB}}{{AD}} = \frac{{DH}}{{DC}}\] => DB.DC = DH.DA
c) (0,75 điểm) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BC.
(0,75 điểm) Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng BC.
Xét đường tròn (O) có:
\(\widehat {ABK} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), do đó
\(KB \bot AB\).
Mặt khác:\(CH \bot AB\) (giả thiết)
Suy ra:\(KB\)//\(CH\) (quan hệ vuông góc song song) (1)
Xét đường tròn (O) có:\(\widehat {ACK} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn), do đó \(KC \bot AC\).
Mặt khác:\(BH \bot AC\) (giả thiết)
Suy ra: \(KC\)//\(BH\) (quan hệ vuông góc song song) (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành
(dấu hiệu nhận biết), suy ra hai đường chéo BC và HK
cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (tính chất).
Mà I là giao điểm của BC và HK nên I là trung điểm
của BC.
d) (0,75 điểm) Tính \[\frac{{AH}}{{AD}} + \frac{{BH}}{{BE}} + \frac{{CH}}{{CF}}\].
Đặt \(P = \frac{{AH}}{{AD}} + \frac{{BH}}{{BE}} + \frac{{CH}}{{CF}}\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}P = \frac{{AD - HD}}{{AD}} + \frac{{BE - HE}}{{BE}} + \frac{{CF - HF}}{{CF}}\\P = 1 - \frac{{HD}}{{AD}} + 1 - \frac{{HE}}{{BE}} + 1 - \frac{{HF}}{{CF}}\\P = 3 - \left( {\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}}} \right)\end{array}\)
Ta có: \(\frac{{HD}}{{AD}} = \frac{{\frac{1}{2}HD \cdot BC}}{{\frac{1}{2}AD \cdot BC}} = \frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\frac{{HE}}{{BE}} = \frac{{{S_{\Delta HAC{\rm{ }}}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}};\,\,\,\,\frac{{HF}}{{CF}} = \frac{{{S_{\Delta HAB}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\) \(\frac{{HD}}{{AD}} + \frac{{HE}}{{BE}} + \frac{{HF}}{{CF}} = \frac{{{S_{\Delta HBC}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} + \frac{{{S_{\Delta HAC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{\Delta HAB}}}}{{{S_{AABC}}}} = \frac{{{S_{\Delta HBC}} + {S_{\Delta HAC}} + {S_{\Delta HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{\Delta BC}}}} = 1\)
Vậy \(P = \frac{{AH}}{{AD}} + \frac{{BH}}{{BE}} + \frac{{CH}}{{CF}} = 3 - 1 = 2\)
(0,5 điểm) Bác Nam muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài của khuôn gỗ (các đường in đậm trong hình bên, bỏ qua độ rộng của cạnh khuôn gỗ) là 8m. Em hãy giúp bác An tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất.
Gọi đường kính của nửa hình tròn là \[x\,(m;\,\,0 < x < 8)\]
Khi đó bán kính: \[\frac{x}{2}\,(m)\]
Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là \[y\,\,(m;\,0 < y < 8)\]
khi đó tổng độ dài của khuôn gỗ
\[\begin{array}{l}\frac{{\pi x}}{2} + x + 2y = 8\\\left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right)x + 2y = 8\\y = 4 - \left( {\frac{{\pi + 2}}{4}} \right)x\end{array}\]
S cửa sổ \[S = \frac{1}{2}\pi .{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + xy = \frac{{\pi {x^2}}}{8} + xy\]
\[\frac{{\pi {x^2}}}{8} + x\left[ {4 - \left( {\frac{{\pi + 2}}{4}} \right)x} \right]\]
= … = \[ - \frac{{\pi + 4}}{8}{\left( {x - \frac{{16}}{{\pi + 4}}} \right)^2} + \frac{{32}}{{\pi + 4}} \le \frac{{32}}{{\pi + 4}}\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[x = \frac{{18}}{{\pi + 4}}\] nên \[y = \frac{8}{{\pi + 4}}\]
