Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 27

a) Lập bảng tần số ghép nhóm :

 b) Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm \[\left[ {\left. {50;60} \right)} \right.\] là: \[f = \frac{{6.100}}{{30}}\%  = 20\% \]

Xét phép thử “Quay đĩa tròn một lần”

Ta thấy, các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là đồng khả năng.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là :

\[\Omega  = \{ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12\} \]

Số phần tử của tập hợp \[\Omega \] là 12.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố \[A\] là : \[II,IV,VI,VIII\].

Do đó, có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố \[A\].

Vậy \[P(A) = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\]

a) Tính giá trị của \(A\,\)khi \(x = \frac{9}{4}\).

Thay \(x = \frac{9}{4}\) (tmđk) vào \(A\,\) ta được: \(A = \frac{{\sqrt {\frac{9}{4}} }}{{\sqrt {\frac{9}{4}}  - 3}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{3}{2} - 3}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{{ - 3}}{2}}} =  - 1\).

Vậy khi \(x = \frac{9}{4}\) thì \(A =  - 1\).

b) Rút gọn \(M = A - B\).

\(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \left[ {\frac{7}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}} \right]\)

\(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} - \frac{7}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{{12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) - 7\left( {\sqrt x  - 3} \right) - 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x  - 7\sqrt x  + 21 - 12}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{x - 6\sqrt x  + 9}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\) \( = \frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}\)

c) Tìm các giá trị của \(x\) sao cho \({M^2} < \frac{{25}}{4}\).

\(\begin{array}{l}{M^2} < \frac{{25}}{4}\\{\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}} \right)^2} < \frac{{25}}{4}\end{array}\)

\({\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}}} \right)^2} < {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2}\)

\(\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{5}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt x  - 3}}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{5}{2}} \right) < 0\)

\(\left( {7\sqrt x  - 1} \right)\left( { - 3\sqrt x  - 11} \right) < 0\)

\(7\sqrt x  - 1 > 0\)

\(x > \frac{1}{{49}}\), điều kiện \(x \ge 0;x \ne 9\)

Vậy với \[\frac{1}{{49}} < x;\,\,x \ne 9\] thì \({M^2} < \frac{{25}}{4}\).

Đổi 7 giờ 12 phút = \(\frac{{36}}{5}\)giờ

Gọi thời gian vòi 1 và vòi 2 chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y (giờ). Điều kiện \(x,y > 0\)

Trong 1 giờ, vòi 1 chảy được : \[\frac{1}{x}\] (bể)

Trong 1 giờ, vòi 2 chảy được: \[\frac{1}{y}\] (bể)

Trong 1 giờ, car2 vòi chảy được : \[\frac{5}{{36}}\] (bể)

Ta có phương trình:  \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{36}}\)  \(\left( 1 \right)\)

Vì mở vòi 1 chảy trong 5 giờ rồi khóa lại thì vòi 1 chảy được: \(\frac{5}{x}\)(bể),

và mở tiếp vòi 2 chảy trong 6 giờ thì vòi 2 chảy được: \(\frac{6}{y}\)(bể)

Vậy cả hai vòi chảy được \(\frac{3}{4}\)bể, ta có phương trình: \(\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{{36}}\\\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{5}{x} + \frac{5}{y} = \frac{{25}}{{36}}\\\frac{5}{x} + \frac{6}{y} = \frac{3}{4}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{y} = \frac{1}{{18}}\\\frac{1}{x} = \frac{1}{{12}}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 12(tm)\\y = 18(tm)\end{array} \right.\)

Vậy  vòi 1 chảy một mình đầy bể hết 12 giờ;

Vòi 2 chảy một mình đầy bể hết 18 giờ

            Gọi số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là \[x\]  (cây) (ĐK: \[x > 0\])

Số cây chi đoàn trồng được trong mỗi giờ trên thực tế là \[x + 5\] (cây)

Thời gian chi đoàn dự định trồng xong số cây là \(\frac{{30}}{x}\) (h)

Số cây mà chi đoàn trồng được trong thực tế là \[30 + 10 = 40\] (cây)

Thời gian chi đoàn trồng xong số cây trong thực tế là \(\frac{{40}}{{x + 5}}\) (h)

Do chi đoàn hoàn thành công việc trước dự định là 20 phút = \(\frac{1}{3}\) h nên ta có phương      trình:

\(\frac{{30}}{x} - \frac{{40}}{{x + 5}} = \frac{1}{3}\)

\[\frac{{30.3\left( {x + 5} \right) - 40.3x}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{3.x\left( {x + 5} \right)}}\]

\[90\left( {x + 5} \right) - 120x = x\left( {x + 5} \right)\]

\({x^2} + 35x - 450 = 0\)

\[\Delta  = {35^2} - 4.1.\left( { - 450} \right) = 3025\]

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:\[{x_1} = \frac{{ - 35 + \sqrt {3025} }}{{2.1}} = 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_2} = \frac{{ - 35 - \sqrt {3025} }}{{2.1}} =  - 45\]

\[{x_1} = 10\]  (Thỏa mãn điều kiện); \[{x_2} =  - 45\] (Loại)

Vậy số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là 10 cây

Phương trình: \[{x^2} + 2x + m = 0\]

Ta có \(\Delta ' = 1 - 1.m = 1 - m\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\) (vì \(a = 1 \ne 0\))

\(\begin{array}{l}1 - m > 0\\m < 1\end{array}\).

Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2{\rm{        }}\left( 1 \right)\\{x_1}.{x_2} = m{\rm{            }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Theo bài ra ta có:

\({x_1} + 2{x_2} = 1{\rm{      }}\left( 3 \right)\)

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 2\\{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right.\)\(\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 3\\{x_1} + 2{x_2} = 1\end{array} \right.\)\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 3\\{x_1} + 2.3 = 1\end{array} \right.\]\[\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}{x_2} = 3\\{x_1} =  - 5\end{array} \right.\]

Thay \({x_1}\); \({x_2}\)vào \[\left( 2 \right)\] ta được:

\(m = 3.\left( { - 5} \right) =  - 15\)(nhận).

Vậy  \(m =  - 15\) là giá trị cần tìm.

a) Độ dài của thanh tre uốn thành vòng tròn lớn nhất của vảnh chiếc nón lá bằng chu vi đường tròn đáy:

                                 \(C = \pi d\)

                                 \(C \approx 125,6\)cm.

b) Độ dài đường sinh : \(l = \sqrt {{{20}^2} + {{19}^2}}  = \sqrt {761} \)(cm).

              Diện tích phần lá phủ xung quanhcủa chiếc nón lá bằng diện tích xung quanh hình nón.

Diện tích lá cần dùng là:

 \(S = \pi .R.l\) \( = 1732,42\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\).

1) Gọi \[M\]là trung điểm \[AB\]

Ta có: \[AD\] đường cao của tam giác \[ABC\]

\[ \Rightarrow AD \bot BC\]

\[ \Rightarrow \widehat {ADB} = {90^0}\]

\[\Delta ABD\] vuông tại \[D\] có  \[DM\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\[ \Rightarrow DM = MA = MB = \frac{1}{2}AB\]

\( \Rightarrow A,\,B,\,D\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\).

Có: \[BF\] là đường cao của tam giác \[ABC\]

\( \Rightarrow BF \bot AC\)

\( \Rightarrow \widehat {BFA} = 90^\circ \)

\[\Delta ABF\] vuông tại \[F\] có \[FM\]là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\[ \Rightarrow FM = MA = MB = \frac{1}{2}AB\]

\( \Rightarrow B,\,F,\,A\) nằm trên đường tròn đường kính \(AB\)

\( \Rightarrow \) các điểm \[A,B,D,F,A\] cùng thuộc đường tròn đường kính \(AB\)

Þ Tứ giác \[ABDF\] nội tiếp đường tròn đường kính\[AB\], hay tâm đường tròn là trung điểm \[AB\]

2) Xét  \(\Delta ADC\) và \(\Delta BFC\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\widehat {ADC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \\\widehat {ACB}\,chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ADC\,\, \sim \,\,BFC\) (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{CD}}{{CF}} = \frac{{CA}}{{CB}} \Rightarrow CD.CB = CF.CA\)

3) *) Ta có: \(BF \bot AC\) (gt);

\(KA \bot AC\) (do \[\widehat {KAC}\]nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))

\[ \Rightarrow AK//BF\] \[ \Rightarrow AK\,{\rm{//}}\,BI\] (3)

Tương tự ta có: \(AD \bot BC\) (gt)

\(KB \bot BC\) (do \[\widehat {KBC}\]nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow AD\,{\rm{//}}\,KB \Rightarrow AI\,{\rm{//}}\,KB\)

Mà: \(AK\,{\rm{//}}\,BI\) (cmt)

\( \Rightarrow AKBI\) là hình bình hành

*) Vì: \(AKBI\) là hình bình hành  \( \Rightarrow AB\) cắt \(KI\)  tại trung điểm mỗi đường

Mà \(E\)  là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow E\) là trung điểm của \(KI\)

\( \Rightarrow \) \(K\,;\,\) \(I\,;\,\) \(E\) thẳng hàng   (1)

+) Xét \(\left( O \right)\) có góc \(\widehat {KHC} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow KH \bot CH\)

Gọi J là trung điểm IC

\[\Delta DIC\]vuông tại D có \[DJ\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\[ \Rightarrow JD = JI = JC = \frac{1}{2}IC\]

\[\Delta FIC\] vuông tại F có \[FJ\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

\[ \Rightarrow JF = JI = JC = \frac{1}{2}IC\]

\[ \Rightarrow JF = JI = JC = JD\]

Suy ra, \[F,I,C,D\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[IC\]

mà \(H\) cùng thuộc đường tròn này.

\( \Rightarrow \)\(IH \bot CH\) mà \(KH \bot CH\) (cmt)

\( \Rightarrow \)\(K\) ;\(I\); \(H\) thẳng hàng (2)

Từ (1) ; (2) :\( \Rightarrow \) \(K\) ;\(E\) ;\(H\) thẳng hàng .

Ta có \[AE = GB = x\,\,(0 < x < 15) \Rightarrow EG = 30 - 2x\].

Kẻ đường cao \(AK\) của \(\Delta AGE\).

Vì \(\Delta AGE\) cân tại \[A\] nên \(KE = \frac{{EG}}{2} = \frac{{30 - 2x}}{2} = 15 - x\) (cm).

\(\Delta AKE\) vuông tại \(K\)\( \Rightarrow AE > KE \Rightarrow x > \frac{{15}}{2}\).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông \[AKE\] ta có

 \[A{K^2} + K{E^2} = A{E^2}\]

\[ \Leftrightarrow A{K^2} = A{E^2} - K{E^2}\]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {A{E^2} - K{E^2}} \]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {{x^2} - {{\left( {15 - x} \right)}^2}} \]

\[ \Leftrightarrow AK = \sqrt {30x - 225} \].

Diện tích đáy \[AGE\] là

\[{S_{AGE}} = \frac{1}{2}AK.GE = \frac{1}{2}\sqrt {30x - 225} .\left( {30 - 2x} \right) = \sqrt {30x - 225} .\left( {15 - x} \right)\,\,\left( {c{m^2}} \right)\].

Thể tích lăng trụ là \[V = 30.\sqrt {30x - 225} .(15 - x)\,\,\left( {c{m^3}} \right)\].

\[V = 30.\sqrt {30x - 225} .(15 - x) = 30.\sqrt {15.\left( {2x - 15} \right)} .\sqrt {15 - x} .\sqrt {15 - x} \]

                                        \[ = 10.\sqrt {15} .3.\sqrt {2x - 15} .\sqrt {15 - x} .\sqrt {15 - x} \].

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(2x - 15\), \(15 - x\), \(15 - x\) ta được

\[3.\sqrt[3]{{\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}} \le \left( {2x - 15} \right) + \left( {15 - x} \right) + \left( {15 - x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}} \le 5\]

\[ \Leftrightarrow \left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right) \le {5^3}\]

\[ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {2x - 15} \right)\left( {15 - x} \right)\left( {15 - x} \right)}  \le \sqrt {{5^3}}  = 5\sqrt 5 \]

\[ \Rightarrow V \le 10.\sqrt {15} .3.5\sqrt 5  \Rightarrow V \le 750\sqrt 3 \].

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi \(2x - 15 = 15 - x \Leftrightarrow x = 10\).

Vậy \(x = 10\) thì thể tích lăng trụ lớn nhất.