Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 26

Tần số \[5\% \] là tần số tương đối của nhóm \[\left[ {1\,,75;2} \right)\].

Không gian mẫu của phép thử là: 

              = {(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3)}.

Số các kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu) là  .

Gọi \(A\) là biến cố “Lấy được 2 viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ”.

Số kết quả thuận lợi của biến cố \(A\) là  \(n(A) = 8\)

Xác suất của biến cố\(A\)  là \(p(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\).

Gọi số bảng đấu dự kiến ban đầu là x (bảng) \(\left( {x \in N*;\,x > 3} \right)\).

Số đội mỗi bảng ban đầu là \(\frac{{56}}{x}\)(đội)

Số đội tham dự thực tế là \(56 - 1 = 55\)(đội)

Tổng số bảng đấu giảm đi 3 bảng nên số bảng lúc sau là \(x - 3\)(bảng)

Số đội mỗi bảng lúc sau là \(\frac{{55}}{{x - 3}}\)(đội)

Vì tăng thêm mỗi bảng 1 đội nên ta có phương trình:\(\frac{{55}}{{x - 3}} - \frac{{56}}{x} = 1\)

\( \Rightarrow \frac{{ - x + 168}}{{x\left( {x - 3} \right)}} = 1 \Rightarrow {x^2} - 2x - 168 = 0\)

Giải phương trình tim được 2 nghiệm x1 = 14 (tm) hoặc x2 = -12 ( loại)

Vậy số bảng dự kiến ban đầu là 14 bảng đấu.

Gọi số tiền điện nhà bạn \(A\) phải trả trong tháng \(4\) là \[x{\rm{ }}\left( {x > 0} \right)\] (đồng)

Số tiền điện nhà bạn B phải trà trong tháng 4 là \(y \left( {y > 0} \right)\)  (đồng)

Theo bài ta có tổng số tiền điện trong tháng \(4\) nhà bạn \(A\) và nhà bạn \(B\) phải trả là \(560\,000\) nên ta có phương trình \(x + y = 560\,000\) \(\left( 1 \right)\)

Số tiền điện trong tháng \(5\) nhà bạn \(A\) phải trả là \(x + 30\% \,x = 1,3\,x\) (đồng)

Số tiền điện trong tháng \(5\) nhà bạn \(B\) phải trả là: \(y + 20\% \,y = 1,2\,y\) (đồng)

Theo bài ta có tổng số tiền điện trong tháng \(5\) nhà bạn \(A\) và nhà bạn \(B\) phải trả là \(701\,000\)nên ta có phương trình: \(1,3\,x + 1,2\,y = 701\,000\)\(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 560\,000}\\{1,3x + 1,2y = 701\,000}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 290\,000}\\{y = 270\,000}\end{array}} \right.\)

Vậy số tiền điện nhà bạn \(A\) phải trả trong tháng \(4\) là \(290\,000\) đồng.

Nhận thấy: \(290\,000 = 100\,.\,1500 + 50\,.\,2000 + 10\,.\,4000\)

                           Vậy số điện nhà bạn \(A\) dùng trong tháng \(4\) là \(100 + 50 + 10 = 160\left( {kWh} \right)\).

Ta có \({x^2} + 2\sqrt 2 x = 6\) đưa về \({x^2} + 2\sqrt 2 x - 6 = 0\)

Tính được \(\Delta ' = 2 + 6 = 8 > 0\).

Khi đó, phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - \sqrt 2  + \sqrt 8 }}{1} = \sqrt 2 \) và \({x_2} = \frac{{ - \sqrt 2  - \sqrt 8 }}{1} =  - 3\sqrt 2 \)

1)   Thay \[x = 25\] (tmđk) vào \(B\)

  \[B = \frac{{5 - 2}}{{5 + 1}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\].

Vậy khi \(x = 25\)thì \[B = \frac{1}{2}\]

 2) A = \[\frac{{3\sqrt x  - 6 + \sqrt x  + (\sqrt x  - 3)(\sqrt x  - 2)}}{{\sqrt x (\sqrt x  - 2)}}\]

    \[ = \frac{{3\sqrt x  - 6 + \sqrt x  + x - 5\sqrt x  + 6}}{{\sqrt x (\sqrt x  - 2)}}\]\[ = \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x  - 2)}}\]

    \[ = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}}{{\sqrt x (\sqrt x  - 2)}}\]\[ = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  - 2}}\]

3)  \[Q = A.B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\]. ĐK để \[\sqrt Q \] xác định là \(Q \ge 0\)suy ra \(x \ge 1\)

\[\sqrt Q  < \frac{2}{3}\]

\[Q < \frac{4}{9}\]

\[\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}} < \frac{4}{9}\]

\[\sqrt x  < \frac{{13}}{5}\]suy ra \[0 < x < \frac{{169}}{{25}}\]

Kết hợp điều kiện  x nguyên tìm được \[x \in \left\{ {1;\,2;3;4;5;6} \right\}\]

Hộp phô mai hình trụ có đường kính đáy \({\rm{10}}{\rm{,6}}\,{\rm{cm}}\) và chiều cao \({\rm{1}}{\rm{,5}}\,{\rm{cm}}\).

      a) Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp nằm sát bên trong hộp. Hỏi thể tích của một miếng phô mai là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất, lấy\(\pi  \approx 3,14\))

            Thể tích hộp phô mai là:\[V = h.\frac{1}{4}.\pi .{d^2} \approx 1,5.\frac{1}{4}{.3,14.10,6^2} = 132,3039\,(c{m^3})\].

             Thể tích một miếng phô mai là: \[V' = \frac{{132,3039}}{8} \approx 16,5\,(c{m^3})\].

              b) Diện tích xung quanh của một miếng phô mai là:  

                     \[S = 2 \cdot \frac{d}{2} \cdot h + \frac{{d \cdot \pi  \cdot h}}{8} + 2 \cdot \frac{{\frac{1}{4} \cdot \pi  \cdot {d^2}}}{8}\]
\( \approx 10,6 \cdot 1,5 + \frac{{10,6 \cdot 3,14 \cdot 1,5}}{8} + \frac{{3,14 \cdot {{10,6}^2}}}{{16}} = 44,70815\,(c{m^2})\)

                 Diện tích giấy gói được sử dụng cho một miếng phô mai là:

        \(\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S' = 44,70815:90\%  \approx 49,7\,(c{m^2})\).

a)      

            Ta có \[HM \bot AB\]tại \[M\]nên \[\Delta AMH\] vuông tại \[M\], suy ra \[A,\,M,\,H\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH\]. 

           Ta có \[HN \bot AC\]tại \[N\]nên \[\Delta ANH\]vuông tại \[N\], suy ra \[A,\,N,\,H\]cùng thuộc đường tròn đường kính \[AH\].

           Do đó 4 điểm \[A,\,M,\,H,\,N\]cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

b)                                         

Xét \[\Delta AMH\] và \[\Delta AHB\] có \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \), \[\widehat A\] chung

     \[ \Rightarrow \] \[ \Rightarrow \] \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\)

    \[ \Rightarrow \]\[A{H^2} = AM.AB(1)\]

Chứng minh tương tự có \[A{H^2} = AN.AC(2)\]

Từ (1) và (2) suy ra \[AM.AB = AN.AC\]\[ \Rightarrow \] \(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\)

Xét \[\Delta AMN\] và \[\Delta ACB\]: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}}\\{\hat A\;chung}\end{array}} \right.\)

\(\)\[ \Rightarrow \]    \[ \Rightarrow \]\(\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\) (hai góc tương ứng)  (3)

Kẻ đường kính \[AD\] ta có    \(\widehat {DAC} = \widehat {DBC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[DC\]) (4)

Từ \[(3);(4)\] suy ra  \(\widehat {ANM} + \widehat {DAC} = \widehat {ABC} + \widehat {DBC} = \widehat {ABD} = 90^\circ \)

\[ \Rightarrow AO \bot MN\]

c)             

Theo chứng minh trên có  \[AN.AC = A{H^2} = 2{R^2} = AO.AD\]

\[ \Rightarrow \] \(\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{AC}}\)

Xét \[\Delta \]ANO  và \[\Delta \]ADC: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{AN}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{AC}}}\\{\hat A\;chung}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \]

              \[ \Rightarrow \]   \(\widehat {AON} = \widehat {ACD} = 90^\circ \)

             Chứng minh tương tự  \(\widehat {AOM} = \widehat {ABD} = 90^\circ \)

              \( \Rightarrow \widehat {AOM} + \widehat {AON} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ \)

            Hay  \[\widehat {AMN} = 180^\circ \]\[ \Rightarrow A,\,M,\,N\] thẳng hàng .               

Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ. Parabol có dạng \(y = a{x^2}\left( {a < 0} \right)\)

Khoảng cách từ điểm cao nhất của cửa đến mặt đất là 4 mét, khoảng cách giữa hai chân cửa là 4 mét nên parabol đi qua điểm \[\left( {2; - 4} \right)\]

Suy ra:

 \[ - 4 = a{.2^2}\]

\[\,\,\,\,a =  - 1\]

Parabol có dạng \(y =  - {x^2}\)

Giả sử\[ABCD\]là hình chữ nhật có độ dài \[AB = CD = 2k\]

Khi đó 4 đỉnh của khung thép hình chữ nhật có tọa độ là:

\[A\left( {k;\, - 4} \right);\,\,B\left( { - k; - 4} \right);C\left( { - k;\,\,{k^2}} \right);D\left( {k;\,\,{k^2}} \right)\left( {k > 0} \right)\]

Suy ra \[AB = 2k;\,\,BC = 4 - {k^2}\]

Khi đó diện tích hình chữ nhật ABCD bằng \[2k\left( {4 - {k^2}} \right)\]

Ta có:

\[2k\left( {4 - {k^2}} \right) - \frac{{32}}{{3\sqrt 3 }}\]\( =  - 2\left( {{k^3} - 4k + \frac{{16}}{{3\sqrt 3 }}} \right)\)

\( =  - 2\left( {{k^2} - 2k.\frac{2}{{\sqrt 3 }} + \frac{4}{3}} \right).\left( {k + \frac{4}{{\sqrt 3 }}} \right)\)

\( =  - 2{\left( {k - \frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^2}\left( {k + \frac{4}{{\sqrt 3 }}} \right) \le 0\) với \(k > 0\)

Suy ra

\[2k\left( {4 - {k^2}} \right) \le \frac{{32}}{{3\sqrt 3 }}\]

Dấu “=” có khi \(k = \frac{2}{{\sqrt 3 }}\)