Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 25

1)Tần số tương đối của các nhóm lần lượt là:     

  \({f_1} = \frac{{8.100}}{{60}}\%  = 13,33\% ;{f_2} = \frac{{18.100}}{{60}}\%  = 30\% \)

\({f_3} = \frac{{24.100}}{{60}}\%  = 40\% ;{f_4} = \frac{{10.100}}{{60}}\%  = 16,67\% \)

 2) Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu ghép nhóm đó

3)

\[P = \frac{{\sqrt 4  + 8}}{{3\sqrt 4 }} = \frac{{2 + 8}}{6} = \frac{{10}}{6} = \frac{5}{3}\] 

 Vậy \[x = 4\] thì \[P = \frac{5}{3}\]

\[2)\] Với \[x \ge 0;x \ne 9\] Ta có

\[\begin{array}{l}Q = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} + \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{9 - x}}\\Q = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\end{array}\]

\[Q = \frac{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right) + 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 3} \right) - 7\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\]

2)    Ta có \[A = P.Q = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{3\sqrt x }}.\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} = \frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}}\]

Để \[A \ge 2\]thì \[\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}} \ge 2\] suy ra \[\frac{{\sqrt x  + 8}}{{\sqrt x  + 3}} - 2 \ge 0\]  suy ra \[\frac{{ - \sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  + 3}} \ge 0\]

 Suy ra \[ - \sqrt x  + 2 \ge 0\] (Vì \[\sqrt x  + 3 > 0\]\[\forall x > 0,x \ne 9\])

\[ - \sqrt x  \ge  - 2\] suy ra \[\sqrt x  \le 2\] thì \[x \le 4\]

Kết hợp với điều kiện \[x > 0,x \ne 9\] và \[x \in \mathbb{Z}\]

Vậy \[x \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\]thì \[A \ge 2\]

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}2 = y\\2x = 3y\end{array} \right.\]     \[\left\{ \begin{array}{l}2 = y\\2x = 3.2 = 6\end{array} \right.\]    \[\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\]

Vậy \[x = 3;y = 2\] thỏa mân yêu cầu bài toán.

(ĐK x \( \in {N^*}\))

*Theo kế hoạch:

+ Tổng số sản phẩm làm là \[3000\] (tấm)

+ Thời gian dự định hoàn thành là   \(\frac{{3000}}{x}\) (ngày)

*Thực tế:

-        \[8\] ngày đầu phân xưởng thực hiện đúng kế hoạch nên phân xưởng đã làm được là  \[8x\] (sản phẩm)

-        Số sản phẩm phải làm trong những ngày còn lại là \[3000 - 8x\] (sp)

-        Năng xuất làm trong những ngày còn lại là \[x + 10\] (tấm / ngày)

-        Thời gian hoàn thành số sản phẩm còn lại là \(\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}}\) (ngày)

Vì thời gian thực tế ít hơn kế hoạch là 2 ngày nên ta có phương trình

\(\frac{{3000}}{x} - \left( {\frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} + 8} \right) = 2\)

\(\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} - 8 = 2\)

\(\frac{{3000}}{x} - \frac{{3000 - 8x}}{{x + 10}} = 2 + 8 = 10\)

\(\frac{{3000\left( {x + 10} \right) - x.\left( {3000 - 8x} \right)}}{{x.\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{10x.\left( {x + 10} \right)}}{{x.\left( {x + 10} \right)}}\)

\(3000x + 30000 - 3000x + 8{x^2} = 10{x^2} + 100x\)

\(10{x^2} - 8{x^2} + 100x - 30000 = 0\)

\(2{x^2} + 100x - 30000 = 0\)

\({x^2} + 50x - 15000 = 0\)

\(\left( {x - 100} \right).\left( {x + 150} \right) = 0\)

\[x = 100\] (tmđk) hoặc \[x =  - 150\] ( ko tmđk)

Vậy số tấm thảm phân xưởng phải dệt trong một ngày theo kế hoạch là 100 (tấm)

Xét phương trình \[2{x^2} - 3x - 1 = 0\] (1)  có \[a = 2,b =  - 3,c =  - 1\]

Do \[a.c =  - 2 < 0\] nên pt(1) có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}{x_2}\]

Áp dụng hệ thức viete có \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{3}{2}\\{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\]

Do đó \[A = \frac{{{x_1} - 1}}{{{x_2} + 1}} + \frac{{{x_2} - 1}}{{{x_1} + 1}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2 - 2}}{{{x_1}.{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} - 2}}{{{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1}}\]\[ = \frac{{{{\left( {\frac{{ - 3}}{2}} \right)}^2} - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 2}}{{\frac{{ - 1}}{2} + \frac{3}{2} + 1}}\]\[ = \frac{{\frac{9}{4} + 1 - 2}}{{1 + 1}} = \frac{5}{4}.\frac{1}{2} = \frac{5}{8}\]

\[V = \pi {r^2}h\]

\[192\pi  = 12\pi {r^2}\] suy ra \[{r^2} = 16\] suy ra \[r = 4cm\]

Vì hộp sữa hình trụ có \[r = 4cm\]  và chiều cao \[h = 12cm\]nên diện tích toàn phần của hộp sữa là:

   \[{S_{tp}} = 2\pi r\left( {h + r} \right) \approx 402,124c{m^2} \approx 0,04{m^2}\]

Chi phí sản xuất \[10.000\] vỏ hộp sữa là : \[0,04.10000.80000 = 32000000\] đồng

a.Chứng minh rằng \[BD \bot {\rm{EF}}\] tại G

Có \[\widehat {BAD} = \widehat {BCD} = {90^0}\]( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BD)

Suy ra \[AE \bot DF\] và \[FC \bot DE\]

Mà AE cắt FC tại B

Suy ra B là trực tâm của \[\Delta D{\rm{EF}}\]

Suy ra \[BD \bot {\rm{EF}}\] tại G

b. Chứng minh bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn.

Gọi I là trung điểm của FB

Ta có \[BD \bot {\rm{EF}}\] tại G (cmt)

\[ \to \Delta FGB\] vuông tại G \[ \to GI = {\rm{IF =  IB}}\](1)

\[AE \bot DF\] (cmt) suy ra \[ \to \Delta FBA\] vuông tại A  \[ \to AI = {\rm{IF =  IB}}\](2)

Từ (1) và (2)  \[ \to GI = AI = {\rm{IF =  IB}}\]

Suy ra bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn. (đpcm)

c. Chứng minh rằng \[BA.BE = BC.BF = BD.BG\]

+ c/m  (g.g)

\[ \to \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{BF}}{{BE}}\] \[ \to BA.BE = BF.BC\] (1)

+ c/m  (g.g) \[ \to \frac{{BF}}{{BD}} = \frac{{BG}}{{BC}}\] \[ \to BF.BC = BD.BG\] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[BA.BE = BC.BF = BD.BG\] (đpcm)

d. Chứng minh rằng B là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ACG\]

+ Xét tứ giác ABGF có bốn điểm F, G, B, A cùng thuộc một đường tròn đường kính BF ( theo câu b) suy ra tứ giác ABGF nội tiếp đường tròn đường kính BF.

+ Do \[\widehat {BCE} = \widehat {BGE} = {90^0}\] nên Tứ giác DCEG nội tiếp đường tròn đường kính BE.

+Do \[\widehat {EAF} = \widehat {ECF} = {90^0}\] nên Tứ giác ACEF nội tiếp đường tròn đường kính EF.

Do đó \[\widehat {GAB} = \widehat {GFB}\]( =\[\frac{1}{2}\]sđ cung BG)

\[\widehat {CAE} = \widehat {EFA}\]( \[ = \frac{1}{2}\]sđ cung CE)

Suy ra \[\widehat {BAG} = \widehat {CAE}\left( { = \widehat {EFC}} \right)\] suy ra \[AB\] là đường phân giác của  \[\Delta ACG\](1)

Do đó \[\widehat {FCA} = \widehat {FEA}\]( =\[\frac{1}{2}\]sđ cung \[{\rm{AF}}\])

\[\widehat {GCF} = \widehat {GEB}\]( \[ = \frac{1}{2}\]sđ cung \[BG\])

Suy ra \[\widehat {FCA} = \widehat {GCF}\left( { = \widehat {FAE}} \right)\] suy ra \[CB\] là đường phân giác của  \[\Delta ACG\](2)

Từ (1) và (2) suy ra B là giao hai đường phân giác của \[\Delta ACG\]

Suy ra B là tâm đường tròn nội tiếp \[\Delta ACG\] (đpcm)