Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 22

(1,5 điểm)

Biểu đồ cột kép ở Hình \[30\] biểu diễn số lượng học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của một trường trung học cơ sơ.

Chọn ngẫu nhiên một học sinh tham gia giải thi đấu thể thao của trường đó. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:

A: “Học sinh được chọn là nam”;

B: “Học sinh được chọn thuộc khối \[6\]”;

C: “Học sinh được là nữ và không thuộc khối \[9\]”.

Một hộp đựng \[5\] tấm thẻ ghi các số \[1\];\[2\];\[3\];\[4\];\[5\]Rút ngẫu nhiên lần lượt hai tấm thẻ từ hộp, tấm thẻ rút ra lần đầu không trả lại vào hộp.

a) Phép thử và kết quả của phép thử là gì?

b) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

(1,5 điểm) Cho hai biểu thức

\(A = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  + 1}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} - \frac{{\sqrt x  + 2}}{{3 - \sqrt x }} - \frac{{x - 3\sqrt x  + 5}}{{x - 5\sqrt x  + 6}}\) với \(x \ge 0\); \(x \ne 4\); \( \ne x \ne 9\)

1 Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 25\).

2) Rút gọn \(B\).

3) Cho \(P = A:B\). Tìm \(x\) để \(2P = 2\sqrt x  - 9\).

(2,5 điểm)

Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Tháng thứ nhất hai đội sản xuất được \(1100\) sản phẩm. Sang tháng thứ hai, đội \(I\) làm vượt mức  \(15\% \) và đội \(II\) làm vượt mức \(20\% \) so với tháng thứ nhất, vì vậy cả hai đội đã làm được \(1295\) sản phẩm. Hỏi trong tháng thứ nhất mỗi đội làm được bao nhiêu sản phẩm ?

Một cơ sở sản xuất lập kế hoạch làm \(180\) sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất mỗi ngày tăng \(3\) sản phẩm, vì thế không những hoàn thành sớm một ngày, mà còn vượt mức \(18\) sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình : \(\left( * \right)\). Tính giá trị của biểu thức \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4 - m > 0 \Leftrightarrow m < 4\)

(4,0 điểm)

Người ta thả một cục đá vào cốc thuỷ tinh hình trụ có chứa nước, đá chìm một phần xuống nước trong cốc. Hãy tính thể tích phần đá chìm trong nước của cục đá đó, biết diện tích đáy của cốc nước hình trụ là \(16,5\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\)và nước dâng lên thêm \(80\,{\rm{mm}}\).

Cho \((O)\) đường kính \(AB\). Kẻ đường kính \(CD\) vuông góc với \(AB\). Lấy \(M\) thuộc cung nhỏ \(BC\), \(AM\) cắt \(CD\) tại \(E\). Qua \(D\) kẻ tiếp tuyến với \((O)\)cắt đường thẳng \(BM\) tại \(N\). Gọi \(P\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên \(DN\)

 a) Chứng minh các điểm \(M,\,N,D,E\) cùng thuộc một đường tròn.

b ) Chứng minh \(EN\,{\rm{//}}\,CB\).

c) Chứng minh\(AM.BN = 2{R^2}\) và tìm vị trí điểm \(M\) trên cung nhỏ \(BC\) để diện tích tam giác \(BNC\)đạt giá trị lớn nhất.

(0,5 điểm) Người ta muốn làm một vườn rau có dạng hình chữ nhật \(ABCD\) có diện tích \(640{m^2}\), để tạo thêm cảnh quan xung quanh đẹp hơn, người ta mở rộng thêm bốn phần diện tích để trồng hoa, tạo thành một đường tròn đi như hình vẽ, biết tâm hình tròn trùng với giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật. Khi đó chọn kích thước cạnh \(ABCD\) như thế nào để diện tích của bốn phần đất trồng hoa nhỏ nhất?