Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 21

a) Liệt kê các giá trị khác nhau ta được: \(1150;{\rm{ }}1160;{\rm{ }}1170;{\rm{ }}1180;{\rm{ }}1190\)

Với mỗi giá trị khác nhau, ta đếm xem giá trị đó xuất hiện bao nhiêu lần trong bảng.

Bảng phân bố tần số:

Tuổi thọ (giờ)	\(1150\)	\(1160\)	\(1170\)	\(1180\)	\(1190\)	Tổng
Tần số (\(n\))	\(3\)	\(6\)	\(12\)	\(6\)	\(3\)	\(N = 30\)

Tần số tương đối của các giá trị lần lượt là:

\({f_1} = \frac{{3.100}}{{30}} = 10\% \); \({f_2} = \frac{{6.100}}{{30}} = 20\% \); \({f_3} = \frac{{12.100}}{{30}} = 40\% \);

\({f_4} = \frac{{6.100}}{{30}} = 20\% \); \({f_5} = \frac{{3.100}}{{30}} = 10\% \)

Vì vậy, bảng tần số tương đối của mẫu số liệu đã cho được nêu trong Bảng sau.

Tuổi thọ (giờ)	\(1150\)	\(1160\)	\(1170\)	\(1180\)	\(1190\)	Tổng
Tần số tương đối (\(\% \))	\(10\)	\(20\)	\(40\)	\(20\)	\(10\)	\(100\)

b) Số bóng đèn có tuổi thọ từ \(1160\) đến \(1180\) chiếm số phần trăm là:

\(20\%  + 40\%  + 20\%  = 80\% \)

Vậy nhận định “Có trên \(75\% \) bóng đèn có tuổi thọ từ \(1160\) đến \(1180\)” là đúng.

Xét phép thử “Tung một đồng tiền xu liên tiếp ba lần”. Ta thấy, các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó là đồng khả năng.

Có 8 khả năng có thể xảy ra là: SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: SNN; NSN; NNS.

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{3}{8}.\)

Gọi \[x\] là số tiền đôi giầy lúc chưa giảm giá (\(x > 0;\) đồng)

Gọi \[y\] là số cà vạt lúc chưa giảm giá (\(y > 0;\) đồng)

Theo bài ra:

+)  Số tiền mua mỗi đôi giầy gấp \[11\] lần tiền mua mỗi chiếc cà vạt không giảm giá nên ta có phương trình \[x = 11y\] (1)

+) Vì giảm giá \[18\% \] cho mỗi đôi giầy và \[20\% \] cho mỗi chiếc cà vạt nên số tiền cần phải trả để mua giầy là \(\left( {100 - 18} \right)\% x = 0,82x\) (đồng) và số tiền cần trả để mua cà vạt là \(\left( {100 - 20} \right)\% y = 0,8y\) (đồng). Bạn Duy đã dùng \[834{\rm{ }}700\] đồng nên ta có phương trình: \(0,82x + 0,8y = 834{\rm{ }}700\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 11y\\0,82x + 0,8y = 834\,700\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình ta được \[x = 935{\rm{ }}000;{\rm{ }}y = 85{\rm{ }}000\]

Do đó khi chưa giảm giá số tiền mua đôi giầy và cà vạt là:

\[935{\rm{ }}000 + 85{\rm{ }}000 = 1{\rm{ 020 000}}\] đồng

Vậy với số tiền 1 025 000 đồng bạn Duy đủ tiền mua nên bạn nhẩm chưa đúng.

Gọi \[x\] (chiếc) là số khẩu trang mà tổ phải may mỗi ngày theo kế hoạch (\(x \in \mathbb{N}*\)).

            Thời gian may xong theo kế hoạch là : \[\frac{{8400}}{x}\] (ngày)

            Số khẩu trang thực tế tổ phải may mỗi ngày là: \(x + 102\) (chiếc)

            Thời gian may xong theo thực tế là : \[\frac{{6416}}{{x + 102}}\] (ngày)

            Theo đề bài ta có phương trình: \(\frac{{8400}}{x} - \frac{{6416}}{{x + 102}} = 4\)

            Giải phương trình ta được: \(x = 700\,\,\,\,\,(tm)\) ; \(x =  - 306\,\,(ktm)\)

Vậy số khẩu trang tổ phải may mỗi ngày theo kế hoạch là \(700\) chiếc.

Nhận thấy \(a + b + c = 2 + \left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right] + m - 1 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm là \(1,\frac{{m - 1}}{2}\)

Không mất tính tổng quát giả sử phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) , theo yêu cầu bài toán ta có \({x_1} - {x_2} = {x_1}.{x_2}\)

+ Nếu \({x_1} = 1,{x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\) nên \(1 - \frac{{m - 1}}{2} = \frac{{m - 1}}{2} \Leftrightarrow m = 2\)

+ Nếu \({x_2} = 1,{x_1} = \frac{{m - 1}}{2}\) nên \(\frac{{m - 1}}{2} - 1 = \frac{{m - 1}}{2}\)  hay \( - 1 = 0\)  (vô lý)

Do đó, không có giá trị m thỏa mãn.

Có \(M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}\) và \(N = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) với \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\].

a) Thay \[x = 25\] (thoả mãn ĐKXĐ) vào biểu thức \(N\), ta có \(N = \frac{{\sqrt {25}  + 1}}{{\sqrt {25} }} = \frac{6}{5}\).

Vậy với \[x = 25\] thì giá trị của biểu thức \(N = \frac{6}{5}\).

b) Ta có: \(M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}}\)

\[M = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]

\[M = \frac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) - \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[M = \frac{{x + \sqrt x  - 2 - x + \sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\[M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

+) Có \[M = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]; \(N = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\) mà \[S = M.N\]

Nên \[S = \frac{{2\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x }}\]\[ = \frac{2}{{x - 1}}\].

Vậy \[S = \frac{2}{{x - 1}}\] khi \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\].

c) Có \[S = \frac{2}{{x - 1}}\] (\[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\]). Mà \[S <  - 1\] nên có \[\frac{2}{{x - 1}} <  - 1\].

Do đó: \(\frac{{2 + x - 1}}{{x - 1}} < 0\) hay \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}} < 0\) (1)

Vì \(x > 0\) nên \(x + 1 > 0\)                   (2)

Từ (1) (2), ta có: \(x - 1 < 0\) nên \(x < 1\).

Kết hợp điều kiện xác định \[x > 0;{\rm{ }}x \ne 1\] ta có: \(0 < x < 1\).

Vậy \(0 < x < 1\) thì \(S <  - 1\).

a) Thể tích đất sét làm viên gạch hình hộp chữ nhật chưa trừ bốn lỗ rỗng bên trong là:

\(V = 8.8.20 = 320\left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích của bốn lỗ hình trụ bằng nhau là: \({V_1} = \pi {R^2}h = 3,14.{\left( {\frac{{2,5}}{2}} \right)^2}.20 = 98,125\left( {c{m^3}} \right)\)

Thể tích đất sét để làm một viên gạch là: \({V_2} = V - {V_1} = 320 - 98,125 \approx 221,9\left( {c{m^3}} \right)\)

b) Số viên gạch bác Ba cần mua là: \(10.1000.\left( {1 + 2\% } \right) = 10{\rm{ 200}}\) (viên gạch)

            Số tiền bác Ba mua gạch để xây căn nhà là:  \(10{\rm{ 200}}{\rm{. 1 100  =  11 220 000}}\) (đồng)                 

a. Ta có: \(\widehat {AKB} = {90^0}\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[\left( O \right)\])

nên \(\Delta AKC\) vuông tại \(K\)

Do đó, ba điểm \(A,K,C\) thuộc đường tròn đường kính \[AC\] (1)

+) Ta có \(\widehat {AEC} = {90^0}\) (vì đường kính \[AB\] vuông góc với dây \[MN\] tại \[E\] theo giả thiết)

Nên \(\Delta AEC\) vuông tại \(E\)

Do đó, ba điểm \(A,E,C\) thuộc đường tròn đường kính \[AC\] (2)

Từ (1) và (2), ta có bốn điểm \(A,K,E,C\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AC\)

Vậy tứ giác \[AKCE\]nội tiếp.

b. + Ta có tứ giác AKCE nội tiếp (cmt)

nên \(\widehat {KA{\rm{E}}} + \widehat {KC{\rm{E}}} = {180^0}\) (tính chất)

Do đó, \(\widehat {KC{\rm{E}}} = {180^0} - \widehat {KA{\rm{E}}}\)   (1)

+) Ta có bốn điểm AKMB thuộc đường tròn (O) nên tứ giác AKMB nội tiếp

Do đó, \(\widehat {KA{\rm{B}}} + \widehat {KMB} = {180^0}\). Suy ra \(\widehat {KMB} = {180^0} - \widehat {KA{\rm{B}}}\) (2)

+) Từ (1) và (2) ta có: \(\widehat {KC{\rm{E}}} = \widehat {KMB}\) mà \(\widehat {KC{\rm{E}}} = \widehat {MCB}\) (đối đỉnh)

Nên \(\widehat {MCB} = \widehat {KMB}\)

+) Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta BKM\) có:

\(\widehat {MBK}\) chung; \(\widehat {MCB} = \widehat {KMB}\) (cmt)

Nên  (góc-góc)

Do đó \(\frac{{BM}}{{BK}} = \frac{{BC}}{{BM}}\). Suy ra\(B{M^2} = BK \cdot BC\).

c. Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AECK, ta có:

\(\widehat {EKC} = \widehat {EAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[EC\]) (3)

+) Xét tam giác BAI có BK, IE là hai đường cao, mà chúng cắt nhau tại C.

Suy ra C trực tâm tam giác \[BAI\] nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ \). Suy ra \[D\] thuộc đường tròn (O)

+) Ta có \(\widehat {CKD} = \widehat {EAC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[BD\]của đường tròn (O). (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {EKC} = \widehat {CKD}\)

Do đó, \[KC\] là tia phân giác của góc \[EKD\]

+) Chứng minh tương tự câu a ta được tứ giác \[BECD\]nội tiếp

Suy ra \(\widehat {CDE} = \widehat {CBE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[CE\])

Mặt khác \(\widehat {KDC} = \widehat {CBE}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \[AK\]của\[\left( {\rm{O}} \right)\])

Suy ra \(\widehat {CDE} = \widehat {KDC}\), suy ra \[DC\] là tia phân giác của góc \[KDE\]

Tam giác \[KDE\] có \[C\] là giao điểm của hai đường phân giác góc \[K\] và \[D\]

Suy ra \[C\] cách đều 3 cạnh của tam giác \[KDE\]

Gọi \[a\] (dm) là độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ \[\left( {a > 0} \right)\]

Theo đề bài ta có chiều cao của lăng trụ là \(h = \frac{{62,5}}{{{a^2}}}\)

Diện tích xung quang của hình lăng trụ đứng là:

\(S = 4.\frac{{62,5}}{{{a^2}}}.a + {a^2} = \frac{{250}}{a} + {a^2} = \frac{{125}}{a} + \frac{{125}}{a} + {a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương ta có \(S \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{125}}{a}.\frac{{125}}{a}.{a^2}}} = 75\).

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{{125}}{a} = {a^2}\) hay \(a = 5\).

Vậy diện tích gỗ nhỏ nhất để sản xuất thùng là \(75{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\) khi độ dài cạnh đáy là \(5{\rm{d}}m\).