Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 18

a) Bảng tần số tương đối

Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số có một chữ số” là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

                 Vì thế xác suất của biến cố trên là: \[\frac{9}{{20}} = 0,45.\]

1) Khi \(x = 9\) thì \(A = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt 9  + 4}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{3 + 4}}{3} = \frac{7}{3}.\)

2) \(B = \frac{2}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{x + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{2\sqrt x  - 4 + x + 4}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{2\sqrt x  + x}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}}\)

         \( = \frac{{\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\)

3) \(P = A. B = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 2}}\) mà \(\left| {\,P\,} \right| = P\) khi và chỉ khi \(P \ge 0\) hay \(\frac{{\sqrt x  + 4}}{{\sqrt x  - 2}} \ge 0\) do đó

\[\begin{array}{l}\sqrt x  - 2 > 0\\\sqrt x  > 2\\x > 4\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array}\]

            Vậy \(x > 4.\)

Theo công thức lãi kép, số tiền cả vốn lẫn lãi nhận được sau 2 năm là:

\({\rm{200}}{\rm{.}}{\left( {{\rm{1}} + \frac{{\rm{5}}}{{{\rm{100}}}}} \right)^{\rm{2}}} = {\rm{220}}{\rm{,5}}\) (triệu đồng)

Vậy sau 2 năm người gửi đã nhận số tiền lãi là:        \(220,5 - 200 = 20,5\) triệu đồng.

Gọi số thí sinh vào trường THPT A và số thí sinh vào trường THPT B lần lượt là \[x,\,y\] (thí sinh) (điều kiện: \[x,\,y \in {\mathbb{N}^*}\]).

Vì số thí sinh vào trường THPT A bằng \[\frac{2}{3}\] số thí sinh vào trường THPT B nên ta có: \[x = \frac{2}{3}y\] (1)

Vì tổng số phòng thi của cả hai trường là 80 phòng và mỗi phòng thi có đúng 24 thí sinh nên tổng số thí sinh của cả hai trường là: \[80.24 = 1920\](thí sinh). Do đó ta có phương trình: 

\[x + y = 1920\] (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{2}{3}y\\x + y = 1920\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình ta được:

\[\left\{ \begin{array}{l}y = 1152\\x = 768\end{array} \right.{\rm{  (TM)}}\]

Vậy số thí sinh vào trường THPT A và số thí sinh vào trường THPT B lần lượt là 768 thí sinh, 1152 thí sinh.

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm là: \(\Delta ' = 2m + 6 \ge 0\) hay \(m \ge  - 3.\)

Theo hệ thức Viet ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1}.{x_2} =  - 2m + 3\end{array} \right.\) nên

\(\begin{array}{l}x_1^2 + x_2^2 = 20\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 20\\4m = 10\\m = \frac{5}{2}\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array}\)

            Vậy \(m = \frac{5}{2}.\)

Trong hình vẽ, AC  là tòa tháp, AB là bóng của tòa tháp trên mặt đất, \(\widehat B\)là góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất.

Vì  \(\Delta ABC\) vuông tại A nên \[AC = AB.\tan B = 53.\tan {34^0} \approx 35,7\,\left( m \right).\]

            Vậy chiều cao của tòa tháp khoảng 35,7m.

b) Độ dài đường sinh của hình nón là:

\(l = \sqrt {{{0,9}^2} + {{0,7}^2}}  = 1,14\,\,\left( m \right).\)

Diện tích xung quanh hình trụ là:

                        \(2\pi .0,7.0,7 = 0,98\pi \,\,\left( {{m^2}} \right).\)

Diện tích xung quanh của hình nón là:\[\pi .0,7.1,14 = 0,798\pi \,\,\left( {{m^2}} \right).\])

Diện tích mặt ngoài của dụng cụ là: \[0,98\pi  + 0,798\pi \, = 1,778\,\pi \,\left( {{m^2}} \right).\]

Mặt khác \(\widehat {BFC} = {90^0}\). Vậy tam giác BFC vuông cân tại F.

b) Vì tam giác BFC cân tại F nên\(FC = FB.\)

Ta có AF là đường trung trực của BD nên \(FD = FB\) mà \(FC = FB\) nên \(FD = FC\).

do đó \(\widehat {FDC} = \widehat {FCD}\)(đpcm).

c) Tam giác BCI vuông tại B có \(\widehat {BCI} = {45^0}\) nên tam giác BCI cân tại B, có BF là đường cao nên F là trung điểm CI.

Nối I với D, tam giác IDC có DF là trung tuyến và bằng nửa cạnh IC nên tam giác DIC vuông tại D. Mặt khác \(ED \bot AC\) nên I, E, D thẳng hàng.

Số phần tử của không gian mẫu là \(6.6 = 36\)

Gọi A là biến cố tích hai lần số chấm khi gieo xúc xắc là một số chẵn. Ta xét các trường  hợp:

TH1: Khi gieo lần 1, số chấm xuất hiện trên mặt là số lẻ thì khi gieo lần hai, số chấm xuất hiện phải là số chẵn. Khi đó có \(3.3 = 9\)cách gieo.

TH2: Khi gieo lần 1, số chấm xuất hiện trên mặt là số chẵn thì số chấm xuất hiện trên mặt khi gieo lần 2 là bất kì. Khi đó có \(3.6 = 18\) cách gieo.

Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: \(9 + 18 = 27\)

Vậy xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \frac{{27}}{{36}} = 0,75.\)