Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 15

Số lượt nháy chuột	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)
Tần số tương đối	\(22,73\% \)	\(50,91\% \)	\(10,91\% \)	\(8,18\% \)	\(4,54\% \)	\(2,73\% \)

Bước 1: Xác định không gian mẫu (S)

Không gian mẫu \(S\) là tất cả các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp. Vì hộp có 10 viên bi được đánh số từ 1 đến 10, nên:

\(S = \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \)

Số phần tử của không gian mẫu là \(|S| = 10\).

Bước 2: Xác định biến cố \(A\)

Biến cố \(A\) là việc viên bi lấy ra có số ghi trên đó là số nguyên tố. Các số nguyên tố trong khoảng từ 1 đến 10 là:\(\{ 2,3,5,7\} \)

Vậy biến cố \(A\) là tập hợp:\(A = \{ 2,3,5,7\} \)

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(|A| = 4\).

Bước 3: Tính xác suất của biến cố \(A\)

Xác suất của biến cố \(A\) được tính bằng tỉ số giữa số phần tử của biến cố \(A\) và số phần tử của không gian mẫu \(S\):

\(P(A) = \frac{{|A|}}{{|S|}} = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\)

Kết luận: Xác suất để lấy được một viên bi có số ghi trên đó là số nguyên tố là \(\frac{2}{5}\).

 Bài toán có thể được giải bằng cách lập hệ phương trình dựa trên thông tin đề bài:

Gọi \(x\) là số học sinh đăng ký dự thi vào trường A

Gọi \(y\) là số học sinh đăng ký dự thi vào trường B

Theo đề bài, ta có hệ phương trình sau:

+) Tổng số học sinh đăng ký dự thi là 1850 học sinh: \(x + y = 1850\)

+) Tổng số học sinh trúng tuyển là 680 học sinh. Số học sinh trúng tuyển tại trường A chiếm 30% số học sinh đăng ký vào trường A, và tại trường B chiếm 80% số học sinh đăng ký vào trường B: \(0,3x + 0,8y = 680\)

Giải hệ phương trình này, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 1850}\\{0,3x + 0,8y = 680}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất, ta có:\(y = 1850 - x\)

Thay \(y = 1850 - x\) vào phương trình thứ hai ta được:

\(0,3x + 0,8(1850 - x) = 680\)

\(0,3x + 0,8 \cdot 1850 - 0,8x = 680\)

\(0,3x + 1480 - 0,8x = 680\)

\( - 0,5x + 1480 = 680\)

\( - 0,5x = 680 - 1480\)

\( - 0,5x =  - 800\)

\(x = \frac{{ - 800}}{{ - 0,5}} = 1600\)

+) Tìm \(y = 1850 - 1600 = 250\)

Vậy số học sinh đăng ký dự thi vào:

- Trường A là 1600 học sinh.

- Trường B là 250 học sinh.

Gọi chiều rộng mặt sân là \(x(m)\) (\(x > 0\)) \( \Rightarrow \) chiều dài mặt sân là \(x + 37(m)\)

Vì diện tích mặt sân là 7140\({m^2}\) nên ta có phương trình:

\(x(x + 37) = 7140\)

\({x^2} + 37x - 7140 = 0\)

Giải phương trình, ta được: \(x = 68(tm)\); \(x =  - 105(ktm)\)

Vậy chiều rộng mặt sân là 68, chiều dài là \(68 + 37 = 105m\).

Xét phương trình \({x^2} - 2mx + 4m - 4 = 0\)

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi

\(\Delta \prime  > 0\)

\({m^2} - 4m + 4 > 0\)

\({(m - 2)^2} > 0\)

\(m - 2 \ne 0\)

\(m \ne 2\)

Với \(m \ne 2\) thì phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)

Áp dụng hệ thức Viète ta có: \({x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = 2m;{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = 4m - 4\)

Theo đề bài ta có:

\(x_1^2 + x_2^2 - 8 = 0\)

\({({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2} - 8 = 0\)

\({(2m)^2} - 2.(4m - 4) - 8 = 0\)

\(4{m^2} - 8m + 8 - 8 = 0\)

\(4{m^2} - 8m = 0\)

\(4m(m - 2) = 0\)

\(4m = 0\) hoặc \(m - 2 = 0\)

\(m = 0\) (thỏa mãn điều kiện) hoặc \(m = 2\) (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy \(m = 0\).

1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 4\)

Biểu thức \(A\) được cho là: \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}}\)

Thay \(x = 4\) vào biểu thức:

\(A = \frac{{\sqrt 4 }}{{\sqrt 4  + 2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)

Vậy giá trị của \(A\) khi \(x = 4\) là \(\frac{1}{2}\).

2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - \sqrt x }}\)

Biểu thức \(B\) được cho là:

\(B = \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{x - \sqrt x }}\)

\(B = \frac{2}{{(\sqrt x  - 1)}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}}\)

\(B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x (\sqrt x  - 1)}}\)

\(B = \frac{{2\sqrt x  - \sqrt x  + 2}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  - 1)}}\)

\(B = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - \sqrt x }}\)

Điều phải chứng minh

3) Ta có: \(P = A + \frac{1}{B} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{x - \sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} = \frac{x}{{\sqrt x  + 2}}\) với

\(P = \frac{x}{{\sqrt x  + 2}} \ge 1 \Rightarrow x \ge \sqrt x  + 2 \Rightarrow x - \sqrt x  - 2 \ge 0\)

\( \Rightarrow \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 2} \right) \ge 0\)

\(\left( {\sqrt x  - 2} \right) \ge 0\)

\(\sqrt x  \ge 2\)

\( \Rightarrow x \ge 4\)

Kết hợp với điều kiện ta đc \(x \ge 4\) thì \(P \ge 1\)

a. Vì hộp sữa hình trụ có chiều cao \(h = 12cm\) và thể tích \(V = 192\pi c{m^3}\) nên:

\(V = \pi {r^2}h\)

\(192\pi  = 12\pi {r^2}\)

\({r^2} = 16\)

\( \Rightarrow r = 4cm\)

b. Vì hộp sữa hình trụ có \(r = 4cm\) và chiều cao \(h = 12cm\) nên diện tích toàn phần của hộp sữa là:

\({S_{tp}} = 2\pi r(h + r) = 2\pi .4(12 + 4) \approx 402,124(c{m^2}) \approx 0,04{m^2}\)

Chi phí sản xuất 10 000 vỏ hộp sữa là: \(0,04.10000.80000 = 32000000\) đồng

a) \(A,P,M,O\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(PO\)

b) Ta có: \(OP \bot AM;BM \bot AM \Rightarrow BM//OP\)

c) \(\Delta A{\rm{O}}P = \Delta OBN \Rightarrow OP = BN\), ta lại có \(BN//OP\) nên \(OPNB\) là hình bình hành

d) Ta có: \(ON \bot PJ;PM \bot OJ\), mà \(PM \bot ON = I \Rightarrow I\)là trực tâm \(\Delta POJ \Rightarrow IJ \bot OP\) (1)

Chứng minh được \(PAON\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow K\) là trung điểm \(OP\)

Lại có: \(APO = OPI = IOP \Rightarrow AIPO\) cân tại \(I \Rightarrow IK \bot OP\) (2)

Từ (1)(2)\( \Rightarrow I,J,K\) thẳng hàng.

Đặt tên các điểm như hình vẽ. Đặt\(CJ = x,(x > 0).\)

Vì hai tam giác AJC và BKA là hai tam giác đồng dạng nên:

\(\frac{{CJ}}{{AK}} = \frac{{JA}}{{KB}}\)

\(\frac{x}{5} = \frac{{12}}{{KB}}\)

\(KB = \frac{{60}}{x}.\)

Diện tích của khu nuôi cá là:\(S = \frac{1}{2}\left( {x + 5} \right).\left( {\frac{{60}}{x} + 12} \right).\)

\(S(x) = \frac{1}{2}\left( {60 + 12x + \frac{{300}}{x} + 60} \right)\)

\(S(x) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

\(6x + \frac{{150}}{x} \ge 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}}  = 60\)

            Dấu bằng xảy ra khi \(6x = \frac{{150}}{x}\).

            \({x^2} = 25\)

            \(x = 5\)

            Nên  \(S(x) = 6x + \frac{{150}}{x} + 60 \ge 60 + 60 = 120\)

            Suy ra diện tích nhỏ nhất có thể giăng là \(120({m^2})\),  đạt được khi \(x = 5\,m\).