Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 13
9 câu hỏi
(1,5 điểm)
Đo chiều cao (đơn vị là cm) của học sinh lớp 9A cho kết quả như sau;
156 157 164 166 166 165 157 154 155 158 160 163 163
161 162 159 159 160 160 160 159 158 160 160 158 163
162 162 162 161 162 161 163 161 163 161 164 166 165
165
Hãy lập bảng tần số ghép nhóm với các nhóm [155; 158), [158; 161), [161; 164), [164;167).
Tính tần số tương đối của nhóm [161; 164)
Bảng tần số ghép nhóm
Chiều cao (cm) | [155; 158) | [158; 161) | [161; 164) | [164;167) |
Số HS | 5 | 12 | 15 | 8 |
· Tần số tương đối của nhóm [161; 164) là
1540 . 100% = 37,5%
Trong túi có 6 quả bóng bàn kích thước và chất liệu như nhau gồm 2 quả màu đỏ, 2 quả màu trắng, 2 quả màu xanh. Không nhìn vào túi mà lấy ra 2 quả bóng. Tính xác suất của biến cố A lấy được ít nhất một quả bóng màu đỏ.
2) Kí hiệu các quả bóng đỏ trắng xanh là Đ1, Đ2, X1, X2, T1, T2 Không gian mẫu: Ω = { Đ1Đ2, X1X2, T1T2, Đ1X1, Đ1X2, Đ2X1, Đ2X2, Đ1T1, Đ1T2, Đ2T1, Đ2T2, X1T1, X1T2, X2T1, X2T2} |
Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố A là : Đ1Đ2, Đ1X1, Đ1X2, Đ2X1, Đ2X2, Đ1T1, Đ1T2, Đ2T1, Đ2T2 |
P(A) = 915=35 |
(2,5 điểm)
Lúc 6 giờ 30 phút sáng, một ca nô xuôi dòng sông từ A đến B dài 48km. Khi đến B, ca nô nghỉ 30 phút sau đó ngược dòng từ B về A lúc 10 giờ 36 phút cùng ngày. Tìm vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc dòng nước là 3km/h.
Đổi 30 phút = 1/2 giờ Gọi vận tốc riêng của ca nô là x(km/h) (x > 3) Vận tốc xuôi dòng là x + 3 (km/h) Vận tốc ngược dòng là x - 3 (km/h) |
Thời gian xuôi dòng là Thời gian ngược dòng là Thời gian cả đi và về và nghỉ là: 10 giờ 36 phút - 6 giờ 30 phút = 4 giờ 06 phút = |
Ta có phương trình: = . Giải phương trình ra x1 = 27; x2 = |
Đối chiếu điều kiện và trả lời Vận tốc riêng của ca nô là 27 km/h |
Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc. Nếu người thợ thứ nhất làm một mình trong 5 ngày rồi nghỉ, người thứ hai làm tiếp 4 ngày thì cả hai làm được công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc.
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong việc là x (ngày) (x > 6 ) Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong việc là y (ngày) (y > 6 ) Thì 1 ngày người thứ nhất làm được (công việc) 1 ngày người thứ hai làm được (công việc) 1 ngày cả hai người làm được (công việc) |
Ta có phương trình (1) |
5 ngày người thứ nhất làm được (công việc) 4 ngày người thứ hai làm được (công việc) Ta có phương trình (2) |
Giải hệ 2 phương trình (1), (2) được x = 9, y = 18 Đối chiếu kết quả với điều kiện và trả lời |
Biết phương trình x2 + ax + 5 = 0 có một nghiệm là x = . Tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình trên.
Phương trình đã cho có 2 nghiệm khi Theo định lí Viète ta có x1 . x2 = 5 mà x1 = nên x2 = |
Ta có - 2x1 . x2 = 82 – 2.5 = 54 |
(1,5 điểm) Cho hai biểu thức \(A = \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }}\) và \(B = \frac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}{\rm{ }}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)
1) . Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\)
2) . Đặt \(P = A + B\). Rút gọn biểu thức \(P\)
3) . Tìm \(m\) để có x thỏa mãn \(P(\sqrt x + 3) = m\)
1) Bảng tần số ghép nhóm
| ||||||||||
1) Thay \[x = 16\](tmđk) vào biểu thức \[A = \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }}\]ta được \[A = \frac{{3\sqrt {16} - 2}}{{1 - \sqrt {16} }} = \frac{{3.4 - 2}}{{1 - 4}} = \frac{{12 - 2}}{{ - 3}} = - \frac{{10}}{3}\] Vậy khi \[x = 16\]thì \[A = - \frac{{10}}{3}\] | ||||||||||
2) Với x ≥ 0 , x ≠ 1 . Ta có: \[P = A + B = \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} + \frac{{15\sqrt x - 11}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}\] \[P = \frac{{\left( { - 3\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{15\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\] \[P = \frac{{ - 3x - 7\sqrt x + 6 + 15\sqrt x - 11 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\]\[ = \frac{{ - 5x + 7\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{ - \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {5\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}\] \[P = \frac{{ - 5\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}\] . Vậy với \[x \ge 0;\,x\, \ne \,1\] thì \[P = \frac{{ - 5\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}\]
| ||||||||||
Có 9 kết quả thuận lợi cho biến cố A là : Đ1Đ2, Đ1X1, Đ1X2, Đ2X1, Đ2X2, Đ1T1, Đ1T2, Đ2T1, Đ2T2 | ||||||||||
3) Với \[x \ge 0;\,x\, \ne \,1\] ta có: \[m = P\left( {\sqrt x + 3} \right) = \frac{{ - 5\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}.\left( {\sqrt x + 3} \right) = - 5\sqrt x + 2\] Với \[x \ge 0 \Rightarrow - 5\sqrt x \le 0 \Rightarrow - 5\sqrt x + 2 \le 2 \Rightarrow m \le 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\] Mặt khác \[x\, \ne \,1\, \Rightarrow \,\sqrt x \, \ne 1\, \Rightarrow - 5\sqrt x \ne - 5 \Rightarrow - 5\sqrt x + 2 \ne - 3 \Rightarrow m \ne - 3\,\,\left( 2 \right)\] Từ (1) và (2) \[ \Rightarrow m \le 2;\,m \ne \, - 3\] Vậy với \[m \le 2;\,m\, \ne \, - 3\] thì có x thỏa mãn \[P\left( {\sqrt x + 3} \right) = m\] |
(4,0 điểm)
Một bồn nước inox có dạng một hình trụ với chiều cao 1,75 m và bán kính đáy là 5 dm. Trong bồn đang chứa đầy nước, người ta tháo nước ở trong bồn ra cho đến khi mực nước trong bồn còn cao 1m. Hỏi số nước đã tháo ra ngoài là bao nhiêu lít? (Bỏ qua bề dày của bồn nước).
Đổi 1,75m = 17,5 dm Số nước đã tháo ra ngoài thể tích của hình trụ có bán kính ddáy là 5 dm và có chiều cao là: 17,5dm – 10dm = 7,5dm |
Thể tích phần nước tháo ra là 2.5.π .7,5 235,5 dm3 = 235,5 l Vậy thể tích nước đã tháo ra ngoài xấp xỉ 235,5 lít |
Cho đường tròn (O) cố định. Từ một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AM và AN với đường tròn ( M;N là các tiếp điểm). Đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của dây BC.
a) . Chứng minh rằng: AMON là tứ giác nội tiếp.
b). Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh rằng: AK.AI = AB.AC
c). Xác định vị trí của cát tuyến ABC để \(IM = 2IN\).
a) Tứ giác AMON nội tiếp Vì AM là tiếp tuyến nên AM MO Do đó vuông tại M nên nội tiếp trong đường tròn đường kính AO Chứng minh tương tự ta được nội tiếp trong đường tròn đường kính AO Do đó 4 điểm A, O, M, N cùng nằm trên đường tròn đường kính AO Vậy tứ giác AMON nội tiếp |
b) Chứng minh I thuộc đường tròn đường kính AO Chứng minh Chứng minh Từ (1) và (2) suy ra AK.AI = AB.AC
|
c) Chứng minh Chứng minh (vì NA=MA) Do đó \(IM = 2IN \Leftrightarrow \frac{{IN}}{{IM}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{KN.MA}}{{KA}}}}{{\frac{{KM.MA}}{{KA}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{KN}}{{KM}} = \frac{1}{2}\) Vậy IM=2.IN khi cát tuyến ABC cắt MN tại K với \(\frac{{KN}}{{KM}} = \frac{1}{2}\) |
(0,5 điểm) Một cái sân hình vuông ABCD có cạnh là 8 m. Người ta muốn lát gạch màu khác để trang trí lên mảnh sân hình vuông MNPQ nội tiếp trong sân hình vuông ABCD. Tìm vị trí của M, N, P, Q để hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất
Gọi cái sân đó là hình vuông ABCD, phần nát gạch màu trang trí là hình vuông MNPQ
Chứng minh
Gọi AM = x thì MB = 8-x
Diện tích hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất khi tổng diện tích 4 tam giác vuông ở 4 góc hình vuông ABCD là lớn nhất. Gọi S là tổng diện tích 4 tam giác đó, ta có:
S = 2. AM. AQ
Mà AM + AQ = AM + MB = 8 (m)
(AM – MB)2
AM2 + MB2
(AM + MB)2
= 32
Hay S
Dấu “=” xảy ra khi AM = MB =
Khi đó M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.
Vậy khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA thì hình vuông MNPQ có diện tích nhỏ nhất.
