Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 11

Nhóm có tần số tương đối ghép nhóm lớn nhất là \([5;6)\)có tần số tương đối \(f = 40\% \)

và tần số \(n = 12\).

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra là:

\[\Omega \; = {\rm{ }}\left\{ {1,{\rm{ }}2, \ldots ,{\rm{ }}20} \right\}.\]

Gọi T: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1”.

Có 3 kết quả thuận lợi là: 1, 8, 15

Vậy xác suất của T là \(P\left( T \right) = \frac{3}{{20}}\) .

Gọi giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt lần lượt là \[x,{\rm{ }}y\](triệu đồng) \[\left( {0 < x < 25,4;{\rm{ }}0 < y < 25,4} \right).\]

Theo bài, giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng nên ta có: \[x + y = 25,4.\]

Do tủ lạnh được giảm 40% giá niêm yết nên giá của chiếc tủ lạnh sau giảm giá là \[60\% x = 0,6x\](triệu đồng).

Do máy giặt được giảm 25% giá niêm yết nên giá của chiếc máy lạnh sau giảm giá \[75\% y = {\rm{ }}0,75y\](triệu đồng).

Theo bài, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng nên ta có phương trình: \[0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,75y{\rm{ }} = {\rm{ }}16,77\]

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 25,4.\\0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,75y{\rm{ }} = {\rm{ }}16,77\end{array} \right.\) 

Giải hpt ta được:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 15,2\\y = 10,2\end{array} \right.\)

Vậy giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh là 15,2 triệu đồng và giá niêm yết của một chiếc máy giặt là 10,2 triệu đồng.

Gọi số cá mà xí nghiệp phải mua mỗi tuần theo kế hoạch là \(x\) tấn. (\(0 < x < 120\)).

Số tuần xí nghiệp đó định mua cá là: \[\frac{{120}}{x}\] tuần.

Thực tế mỗi tuần xí nghiệp đó thu mua được số cá là: \(x + 6\) tấn.

Thực tế số cá xí nghiệp đó thu mua được là: 130 tấn.

Thực tế số tuần xí nghiệp đó thu mua cá là: \(\frac{{130}}{{x + 6}}\) tuần.

Vì xí nghiệp đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần nên ta có phương trình :

            \(\frac{{120}}{x} - \frac{{130}}{{x + 6}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{120\left( {x + 6} \right) - 130x}}{{x\left( {x + 6} \right)}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{720 - 10x}}{{{x^2} + 6x}} = 1\)

            \( \Rightarrow 720 - 10x = {x^2} + 6x \Leftrightarrow {x^2} + 16x - 720 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 20\\x =  - 36\end{array} \right.\)

            Vì \(0 < x < 120\) nên \(x = 20\).

Vậy theo kế hoạch một tuần xí nghiệp đó thu mua 120 tấn cá.

Ta có: \(4{x^2} - 5x - 3 = 0.\)

\(a = 4\); \(\;b =  - 5\); \(c =  - 3\)

\(\Delta  = {b^2} - 4ac = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.4.\left( { - 3} \right) = 73 > 0\).

Vì \(\Delta  > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1}\,,\,\,{x_2}\]

3). Theo định lí Viète, ta có: \[S = {x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = \frac{5}{4};\,\] \[P = {x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 3}}{4}.\]

Ta có: \[F = \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) - {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\]

\[F = {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 - x_1^2 + 2{x_1}{x_2} - x_2^2\]

\[F = {x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 - x_1^2 - 2{x_1}{x_2} - x_2^2 + 4{x_1}{x_2}\]

\[F = 5{x_1}{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2}\]

\[F = 5.\frac{{ - 3}}{4} + \frac{5}{4} + 1 - {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} = \frac{{ - 49}}{{16}}.\]

 1) . Thay \(x = 64\) ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\) ta được \(A = \frac{2}{{\sqrt {64}  - 2}} = \frac{1}{3}\).

 2) . Ta có \(B = \frac{{3\left( {\sqrt x  + 2} \right) + \left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right) + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{x + 4\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}}\).

3) . Với \(x \ge 0,  x \ne 4\) thì

 \(P = \frac{A}{B} = \frac{2}{{\sqrt x  - 2}}:\frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}} = \frac{2}{{\sqrt x  + 2}}\).

Để

\(P \ge \frac{2}{{x + 2}} \Rightarrow \frac{2}{{\sqrt x  + 2}} \ge \frac{2}{{x + 2}}\).

Do \(2 > 0\) và \(x + 2 > 0,  \sqrt x  + 2 > 0 \Rightarrow \sqrt x  + 2 \le x + 2 \Rightarrow \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) \ge 0\)

TH1: \(\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) = 0\) nên \(\sqrt x  = 0 \Rightarrow x = 0\) (

TH2: \(\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) > 0 \Rightarrow \sqrt x  - 1 > 0\) vì \(\sqrt x  \ge 0\) nên \(x > 1\).

Kết hợp với điều kiện \(x \ge 0,  x \ne 4\) ta được \(x = 0\) hoặc \(x \ge 1,  x \ne 4\).

Vì đường kính của khôi gỗ hình trụ là \(20cm\) nên bán kính của khối gỗ hình trụ là \(10cm\).

            Thể tích của khối gỗ hình trụ là: \(\pi {.10^2}.30 = 3000\pi \left( {c{m^3}} \right)\).

Thể tích của hình nón là: \(\frac{1}{3}\pi {.10^2}.15 = 500\pi \left( {c{m^3}} \right)\).

Thể tích gỗ cần dùng để làm mô hình này là: \(3000\pi  + 500\pi  = 3500\pi \left( {c{m^3}} \right)\)

a) . Chứng minh: Tứ giác \(PHIB\) nội tiếp.

Ta có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \widehat {PHB} = 90^\circ \) (kề bù với \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)); \(\widehat {PIB} = 90^\circ \) (GT) \( \Rightarrow H,I\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(PB \Rightarrow \) tứ giác \(PHIB\) nội tiếp đường tròn đường kính \(PB\).

b) . Chứng minh: \(AH.AP = AI.AB\).

Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta ABP\) có:

\(\widehat {HAI}\) chung;

\(\widehat {AHI} = \widehat {ABP}\) (cùng bù với \(\widehat {PHI}\) do tứ giác \(PHIB\) nội tiếp)

.

c) . Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(AE\) và \(BP\). Kẻ \(KM \bot AB\) cắt \(AB\) tại \(M\), cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N\) . Chứng minh \(N,I,H\) thẳng hàng.

Tứ giác \(PHIB\) nội tiếp nên \(\widehat {HIP} = \widehat {HBP}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (1);

Tam giác \(ABP\) có hai đường cao \(PI,BH\) cắt nhau tại \(E \Rightarrow E\) là trực tâm của \(\Delta ABP \Rightarrow AE \bot BP\) hay \(AK \bot BP \Rightarrow \widehat {EKB} = 90^\circ \), mà \(\widehat {EIB} = 90^\circ \) (GT)\( \Rightarrow \) tứ giác \(BKEI\) nội tiếp đường tròn đường kính \(BE\) \( \Rightarrow \widehat {EIK} = \widehat {HBP}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn ) (2);

Mà \(\widehat {EKB} = 90^\circ \)\( \Rightarrow K \in \left( O \right)\), lại có \(AB \bot KN\) tại \(M\) \( \Rightarrow MK = MN\)(quan hệ vuông góc đường kính và dây) \( \Rightarrow \Delta IMK = \Delta IMN\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {MIK} = \widehat {MIN} \Rightarrow 90^\circ  - \widehat {MIK} = 90^\circ  - \widehat {MIN}\) \( \Rightarrow \widehat {EIK} = \widehat {DIN}\)(3);

Từ (1), (2), (3) ta có \(\widehat {HIP} = \widehat {DIN}\left( { = \widehat {HBP} = \widehat {EIK}} \right) \Rightarrow \widehat {HIP} + \widehat {PIN} = \widehat {DIN} + \widehat {PIN} = \widehat {PID} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {HIN} = 180^\circ  \Rightarrow H,I,N\) thẳng hàng.

Gọi số máy móc công ty nên sử dụng là \(x\) (máy)

            Điều kiện \(x > 0\).                                                                

Trong một giờ, số quả bóng tennis sản xuất được là \(30x\) (quả bóng)

Như vậy, số giờ để sản xuất \(8000\) quả bóng là \(\frac{{8000}}{{30x}}\) (giờ)

Mỗi giờ phải trả \(192\) nghìn đồng cho người giám sát và chi phí thiết lập cho mỗi máy là \(200\) nghìn đồng nên chi phí sản xuất là

\(B = 200000x + \frac{{8000}}{{30x}}.192000 = 200000x + \frac{{51200000}}{x}\) (đồng).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương \(200000x\) và \(\frac{{51200000}}{x}\), ta được

\(200000x + \frac{{51200000}}{x} \ge 2\sqrt {200000x.\frac{{51200000}}{x}}  = 6400000\).

Dấu "=" xảy ra khi \(200000x = \frac{{51200000}}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 256 \Leftrightarrow x = 16\) (nhận) hay \(x =  - 16\) (loại).

Vậy số máy móc công ty nên sử dụng là \(16\) máy để chi phí sản xuất là thấp nhất.