Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 10

Gọi số quả bóng màu vàng là \(x\) (quả), đk: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)

        Tổng số bóng trong hộp là \(10 + x\) (quả)

        Xác suất của biến cố “Lấy được quả bóng màu đỏ” là \(\frac{{10}}{{10 + x}}\)

        Theo bài ra: \(\frac{{10}}{{10 + x}} = 0,4\) hay \(10 + x = 25 \Rightarrow x = 15\) (t/m)

        Vậy có 15 quả bóng màu vàng.

1) Thay \(x = 16\) (thoả mãn đk) vào biểu thức \[A\] ta được: \(A = \frac{{16 - 9}}{{16 - 3\sqrt {16} }} = \frac{7}{4}\).

2) Với \(x > 0;x \ne 9\) ta có: \[B = \frac{{x + 3}}{{x - 9}} - \frac{1}{{3 - \sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x  + 3}}\]

\[ = \frac{{x + 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]\[ = \frac{{x + 3 + \sqrt x  + 3 + 2\sqrt x  - 6}}{{\left( {\sqrt x  + 3} \right)\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}\]

\( = \frac{{x + 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}}\)\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\)

Vậy \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}}\) với \(x > 0;x \ne 9\) . (đpcm)

3) Ta có: \[P = A.B = \frac{{x - 9}}{{x - 3\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}}\]

Do đó: \[P < 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} < 1\]

\[\frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 3}} - 1 < 0\]

\[\frac{6}{{\sqrt x  - 3}} < 0\]

\[\sqrt x  - 3 < 0\]

\[0 < x < 9\]

Do \(x\) nguyên nên \(x \in \left\{ {1;2;3;...;8} \right\}\)

Vậy \(x \in \left\{ {1;2;3;...;8} \right\}\) thì \(P < 1\)

a) Vì nhà bạn Trang sử dụng hết 25m3 nước nên số tiền nhà Trang phải trả là 10m3 theo giá ở bậc 1; 10m3 theo giá ở bậc hai; 5m3 theo giá ở bậc 3.

                Số tiền nhà bạn Trang phải trả cho 10m3 nước đầu tiên là:

                           10.6000 = 60 000 (đồng)

                Số tiền nhà bạn Trang phải trả cho 10m3 nước tiếp theo là:

                           10.7100 = 71 000 (đồng)

                Số tiền nhà bạn Trang phải trả cho 5m3 nước tiếp theo nữa là:

                           5.8600 = 43 000 (đồng)

Vậy tổng số tiền nhà bạn Trang phải trả là:

                        60 000 + 71 000 + 43 000 = 174 000 (đồng)

b) Số tiền phải trả cho 30m3 nước đầu tiên là:

                        10.6000 + 10.7100 + 10.8600 = 217 000 (đồng)

Vì 297 000 (đồng) lớn hơn 217 000 (đồng) nên nhà Trang đã phải trả một số tiền theo giá ở bậc 4.

Gọi số mét khối nước mà nhà Trang phải trả theo giá ở bậc 4 là x (m3).

Theo đề bài ta có: 217 000 + x.16 000 = 297 000

Tìm được x = 5

Vậy trong tháng 2 nhà bạn Trang dùng hết 30 + 5 = 35 m3 nước

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai của \(x\) có: \(ac = 3.\left( { - 5} \right) < 0\)

              Nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\); \({x_2}\)

              - Theo định lý Vi-et, ta có : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = \frac{{12}}{3} = 4}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 5}}{3}}\end{array}} \right.{\rm{ }}\)

              Do đó: \[T = \frac{{{x_1}^2 + 4{x_2} - {x_1}{x_2}}}{{4{x_1} + {x_2}^2 + {x_1}{x_2}}} = \frac{{{x_1}^2 + {x_1}{x_2} + 4{x_2} - 2{x_1}{x_2}}}{{4{x_1} + {x_2}^2 + {x_1}{x_2}}} = \frac{{{x_1}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4{x_2} - 2{x_1}{x_2}}}{{4{x_1} + {x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}\]

\( = \frac{{4{x_1} + 4{x_2} - 2{x_1}{x_2}}}{{4{x_1} + 4{x_2}}} = \frac{{4({x_1} + {x_2}) - 2{x_1}{x_2}}}{{4({x_1} + {x_2})}} = \frac{{4.4 - 2.\left( {\frac{{ - 5}}{3}} \right)}}{{4.4}} = \frac{{29}}{{24}}\)

              Vậy giá trị của biểu thức \(T = \frac{{29}}{{24}}\)

Tổng số học sinh dự thi của hai trường X và Y là: \(420:84\%  = 500\)

              Gọi \(x\), \(y\) lần lượt là số học sinh hai trường X và Y (\(x\); \(y\) nguyên dương, \(x\); \(y < 420\))

              Vì số học sinh dự thi của 2 trường là 500 học sinh nên ta có phương trình \(x + y = 500\)                                                        \(\left( 1 \right)\)

              Tỉ lệ đạu lớp 10 của riêng trường X là 80%, trường Y là 90% nên ta có phương trình:  \(0,8x + 0,9y = 420\)\(\left( 2 \right)\)

              Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 500\\0,8x + 0,9y = 420\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 300\\y = 200\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

              Vậy trường X có \(300\) học sinh tham gia dự thi và trường Y là\(200\) học sinh dự thi.

Thể tích nước bơm vào bồn là : \(V = 3,1.11,5.\left( {2,3 - 1,5} \right) = 28,52{m^3} = 28520\,l\)

Thời gian cần để bơm nước đến độ cao cách nắp 1,5m là : \(\frac{{28520}}{{120}} \approx 238\)phút

Xét tứ giác \[BFEC\], có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BFC} = 90^\circ \,\left( {CF \bot AB} \right)\\\widehat {BEC} = 90^\circ \,\left( {BE \bot AC} \right)\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow F,E\] cùng nhìn cạnh \[BC\] dưới một góc \[{90^o}\]

\[ \Rightarrow \]Tứ giác \[BFEC\] nội tiếp đường tròn đường kính \[BC\].

\[ \Rightarrow \widehat {KBF} = \widehat {KEC}\] (cùng bù \[\widehat {FBE}\]).

\( \Rightarrow \frac{{KB}}{{KE}} = \frac{{KF}}{{KC}}\) (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

\[ \Rightarrow KB.KC = KE.KF\] \(\left( 1 \right)\)

b)   Đường thẳng \(KA\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(M\). Chứng minh tứ giác \(AEFM\) nội tiếp.

Ta có  \(AMBC\) nội tiếp \(\left( O \right)\)

\[ \Rightarrow \widehat {KMB} = \widehat {KCA}\]  (cùng bù \(\widehat {BMA}\))

\[ \Rightarrow \]\(\frac{{KB}}{{KA}} = \frac{{KM}}{{KC}}\)  (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

\[ \Rightarrow KB.KC = KM.KA\] \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) \[ \Rightarrow KM.KA = KE.KF\]

\[ \Rightarrow \frac{{KM}}{{KE}} = \frac{{KF}}{{KA}}\]

\[ \Rightarrow \widehat {KMF} = \widehat {KEA}\] (hai góc tương ứng bằng nhau)

\[ \Rightarrow AMFE\] nội tiếp.

c)   Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\). Chứng minh \(M\), \(H\), \(N\) thẳng hàng.

Xét tứ giác AMFE, ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\widehat {HFA} = {90^o}\,\,\left( {HF \bot AB} \right)\\\widehat {HEA} = {90^o}\,\,\left( {HE \bot AC} \right)\end{array} \right.\].

Suy ra: \[AFHE\] nội tiếp đường tròn đường kính \[AH\]

Mà \[AMFE\] nội tiếp

\[ \Rightarrow A,M,F,H,E\,\, \in \] đường tròn đường kính \[AH\]

\[ \Rightarrow \widehat {HMA} = \widehat {HFA} = 90^\circ \]\[ \Rightarrow HM \bot AM\] \(\left( 3 \right)\)

Gọi \[I\] là điểm đối xứng của \[A\] qua \[O \Rightarrow AI\] là đường kính của \[\left( O \right)\]

\[ \Rightarrow AM \bot MI\] \(\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) \[ \Rightarrow \,\,M,H,I\] thẳng hàng \(\left( 5 \right)\)

Mà \[AI\] là đường kính của \[\left( O \right)\]

\[ \Rightarrow IC \bot AC,\,IB \bot BA\]

\[ \Rightarrow IC\parallel BH,\,\,IB\parallel CH\]

\[ \Rightarrow BHCI\] là hình bình hành

\[ \Rightarrow HI \cap BC = N\] là trung điểm mỗi đường

\[ \Rightarrow H,N,I\] thẳng hàng \(\left( 6 \right)\)

Từ \(\left( 5 \right)\) và \(\left( 6 \right)\) \[ \Rightarrow M,H,N\] thẳng hàng (đpcm).

Gọi khoảng cách từ \(E\) đến \(AB,AD\) lần lượt là \(EH,EK.\)

  Đặt \(KN = x\left( m \right)\), đk: \(x > 0\)

  Hai tam giác vuông \(KEN,HME\) đồng dạng nên \[\frac{{KE}}{{KN}} = \frac{{HM}}{{HE}} \Rightarrow \frac{{12}}{x} = \frac{{HM}}{5} \Rightarrow HM = \frac{{60}}{x}\left( m \right)\]

            Diện tích tam giác \(AMN\) là:

                        \({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AM.AN = \frac{1}{2}.\left( {12 + \frac{{60}}{x}} \right).\left( {5 + x} \right) = \left( {6 + \frac{{30}}{x}} \right).\left( {5 + x} \right)\)

                         \[30 + 6x + \frac{{150}}{x} + 30 = 60 + 6x + \frac{{150}}{x} \ge 60 + 2\sqrt {6x.\frac{{150}}{x}} = \]120

Dấu “=” xảy ra khi

\[6x = \frac{{150}}{x}\]

\[{x^2} = 25\]

\[x = 5\].

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao \(AMN\) mà anh Thịnh có thể quây được là \(120{m^2}\)..