Đề luyện thi Toán vào lớp 10 Hà Nội 2026 có đáp án - Đề 1

Tần số tương đối của mỗi nhóm là:

\[{f_1} = \frac{{5.100}}{{60}}\%  = 8,3\% \];\[{f_2} = \frac{{8.100}}{{60}}\%  = 13,4\% \];\[{f_3} = \frac{{12.100}}{{60}}\%  = 20\% \];\[{f_4} = \frac{{20.100}}{{60}}\%  = 33,3\% \];\[{f_5} = \frac{{15.100}}{{60}}\%  = 25\% \]

Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu số liệu đã cho là:

Số tiền (nghìn đồng)	\(\left[ {500\,;\,\,1000} \right)\)	\(\left[ {1000\,;\,\,1500} \right)\)	\(\left[ {1500\,\,;\,\,2000} \right)\)	\(\left[ {2000\,\,;\,\,2500} \right)\)	\(\left[ {2500\,\,;\,\,3000} \right)\)
Tần số   tương đối	\(8,3\% \)	\(13,4\% \)	\(20\% \)	\(33,3\% \)	\(25\% \)

Có \[A = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }}\] \[\left( {x > 0,x \ne 4} \right)\]   

Thay \[x = 16\] (TMĐK) vào biểu thức \[A\] ta có:

\[A = \frac{{16 - 3}}{{\sqrt {16} }} = \frac{{13}}{4}\]

Vậy \[A = \frac{{13}}{4}\] khi \[x = 16\]

Rút gọn \[B\]:

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{4\sqrt x }}{{4 - x}}(x > 0,x \ne 4)\]

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{4\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt {x + 2} )}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  - 2)}}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt {x + 2} )}} + \frac{{4\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt {x + 2} )}}\]

\[B = \frac{{x - 2\sqrt x  + 4\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt {x + 2} )}}\]

\[B = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt {x + 2} )}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x  + 2)}}{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt {x + 2} )}}\]

\[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\]

Vậy \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\] với \[x > 0,x \ne 4\]

Có \[A = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }}\] và \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}(x > 0,x \ne 4)\] 

\[P = A.B\]

\[P = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 2}}\]

\[P = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x  - 2}}\]

Để \[P \le 6\] thì \[\frac{{x - 3}}{{\sqrt x  - 2}} \le 6\]

        \[\frac{{x - 3}}{{\sqrt x  - 2}} - 6 \le 0\]         

        \[\frac{{x - 3 - 6(\sqrt x  - 2)}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\]

        \[\frac{{x - 3 - 6\sqrt x  + 12}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\]

        \[\frac{{x - 6\sqrt x  + 9}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\]

        \[\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 2}} \le 0\]

TH1: \[\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 2}} = 0\]

        \[{\left( {\sqrt x  - 3} \right)^2} = 0\]

        \[\sqrt x  - 3 = 0\]

        \[\sqrt x  = 3\]

        \[x = 9\] (TMĐK)

TH2: \[\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x  - 2}} < 0\]

Mà \[{\left( {\sqrt x  - 3} \right)^2} \ge 0,\forall x\] TMĐKXĐ

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)}^2} > 0}\\{\sqrt x  - 2 < 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x  - 3 \ne 0}\\{\sqrt x  < 2}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt x  \ne 3}\\{x < 4}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 9}\\{x < 4}\end{array}} \right.\]

\[ \Rightarrow x < 4\] mà \[x > 0,x \ne 4\] và \[x\] là số nguyên \[ \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} \]

Vậy để \[P \le 6\] thì \[x \in \{ 1;2;3;9\} \]

Gọi giá tiền niêm yết của một cái bàn ủi:\(x\) (ngàn đồng).

Gọi giá tiền niêm yết của một cái quạt điện là: \(y\) (ngàn đồng).

Điều kiện: \(0 < x < 850;\,\,0 < y < 850\).

Vì với tổng số tiền theo giá niêm yết là \(850\) ngàn đồng nên ta có phương trình:

\(x + y = 850\).     (1)

Thực tế khi trả tiền:

  + Số tiền mà anh Bình được giảm khi mua một cái bàn ủi là: \(10\% \,x = 0,1x\) (ngàn đồng).

  + Số tiền mà anh Bình được giảm khi mua một cái quạt điện là: \(20\% \,y = 0,2y\) (ngàn đồng).

Vì anh Bình đã được giảm giá \(125\) ngàn đồng khi mua \(2\) sản phẩm trên nên ta có phương trình: \(0,1\,x + 0,2\,y\, = 125\).     \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 850\\0,1\,x + 0,2\,y\, = 125\end{array} \right.\).

Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 450\\y = 400\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của một chiếc bàn ủi mà anh Bình đã mua là: \(450\;.\;10\%  = 45\) (ngàn).

Số tiền chênh lệch giữa giá bán niêm yết với giá bán thực tế của một chiếc bàn ủi mà anh Bình đã mua là: \(400\;.\;20\%  = 80\) (ngàn).

Xe máy đi trước ô tô thời gian là: \(6\) giờ \(30\) phút - \(6\) giờ \( = \) \(30\) phút \( = \) \(\frac{1}{2}h\).

Gọi vận tốc của xe máy là \(x\) (km/h) \((x > 0)\)

Vì vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy \(15\) km/h nên vận tốc của ô tô là \(x + 15\)(km/h)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường AB là: \[\frac{{90}}{x}\,\,(h)\]

Thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là: \(\frac{{90}}{{x + 15}}\,\,\,(h)\)

Do xe máy đi trước ô tô \(\frac{1}{2}\) giờ và hai xe đều tới B cùng một lúc nên ta có phương trình: \[\frac{{90}}{x} - \frac{1}{2} = \frac{{90}}{{x + 15}}\]

\[90.2.(x + 15) - x(x + 15) = 90.2x\]

\[180x + 2700 - {x^2} - 15x = 180x\]

\[{x^2} + 15x - 2700 = 0\]

Ta có:  \(\Delta  = {15^2} - 4.( - 2700) = 11025 > 0\); \(\sqrt \Delta   = \sqrt {11025}  = 105\)

\({x_1} = \frac{{ - 15 - 105}}{2} =  - 60\) (không thỏa mãn)

\({x_2} = \frac{{ - 15 + 105}}{2} = 45\) (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của xe máy là \(45\) (km/h), vận tốc của ô tô là \(45 + 15 = 60\)(km/h).

\[2{x^2} - 4x + m = 0\] có nghiệm \[x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\] nên ta thay \[x = \frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}\] vào phương trình:

\[2{\left( {\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2}} \right)^2} - 4.\frac{{2 + \sqrt {10} }}{2} + m = 0\]

\[7 + 2\sqrt {10}  - 4 - 2\sqrt {10}  + m = 0\]

\[m =  - 3\]

Phương trình: \[2{x^2} - 4x - 3 = 0\]

Theo định lí Vi-et ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = \frac{{ - 3}}{2}\end{array} \right.\]

Tổng nghịch đảo 2 nghiệm: \[\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}.{x_1}}} = \frac{2}{{\frac{{ - 3}}{2}}} = \frac{{ - 4}}{3}\]

Vì ống đồng hình trụ có \(h = 5R\) nên: \[{V_{ongdong}} = {S_d}.h\] \[ = \pi {R^2}h\] \[ = \pi {R^2}5R\] \[ = 5\pi {R^3}\]

\( \Rightarrow {R^3} = \frac{{{V_{ongdong}}}}{{5\pi }}\) \( = \frac{{40\pi }}{{5\pi }}\) \( = 8\)

\( \Rightarrow R = 2\)\( \Rightarrow h = 10\,\,{\rm{(cm)}}\)

Vậy chiều cao của ống đồng là \(10\,\,{\rm{(cm)}}\).

a) Gọi \[I\] là trung điểm của \[HB\]\( \Rightarrow HI = IB = \frac{{HB}}{2}\)

Xét nửa đường tròn \((O)\), đường kính \[AB\] có: \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta CHB\) vuông, mà  \[CI\] là đường trung tuyến

\( \Rightarrow IC = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (1)

Xét nửa đường tròn \((O)\), đường kính \[AB\] có: \(\widehat {HKB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta KHB\) vuông, mà  \[KI\] là đường trung tuyến.

\( \Rightarrow IK = IH = IB = \frac{{HB}}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \( \Rightarrow IC = IK = IH = IB\)

\( \Rightarrow \) Bốn điểm \[C,{\rm{ }}B,{\rm{ }}H,{\rm{ }}K\]cùng thuộc một đường tròn.

b) Có \(\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn ); \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\) (tứ giác \(CHKB\) nội tiếp)

\( \Rightarrow \widehat {MCA} = \widehat {ACK}\)

\( \Rightarrow CA\) là phân giác \(\widehat {MCK}\).

c) Theo giả thiết: \(\frac{{AP.MB}}{{MA}} = R\)\( \Rightarrow \frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\)

Xét \(\Delta PAO\) và \(\Delta AMB\) có: \(\frac{{AP}}{{MA}} = \frac{{OA}}{{MB}}\); \(\widehat {PAO} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)

 (c-g-c)

\( \Rightarrow \widehat {POA} = \widehat {MBA}\) (hai góc tương ứng)

\[ \Rightarrow OP{\rm{ // B}}Q\]

Xét \(\Delta ABQ\) có: \[OP{\rm{ // B}}Q\], \[O\]là trung điểm của AB nên         \[P\]là trung điểm của \[AQ\].

Gọi \[F\]là giao điểm của \[BP\] và \[HK\].

Xét \(\Delta ABP\)có \[FK{\rm{ // }}AP\]nên \[\frac{{FK}}{{AP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\]

Xét \(\Delta QBP\)có \[FH{\rm{ // }}QP\]nên \[\frac{{FH}}{{QP}} = \frac{{BF}}{{BP}}\]

Từ đó \(HF = FK\)suy ra \[PB\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng\[HK\].

Gọi \(a,b(cm)(a > 0,b > 0)\) là độ dài chiều dọc và chiều ngang của trang chữ suy ra kích thước trang giấy là \(a + 6,b + 4.\)

Ta có: \(a.b = 384\) suy ra \(b = \frac{{384}}{a}(1)\).

Diện tích trang sách là \(S = (a + 6)(b + 4)\)

Suy ra \(S = 4a + \frac{{2304}}{a} + 408\).

Theo bất đẳng thức CAUCHY ta có:

\(S \ge 2\sqrt {4a.\frac{{2304}}{a}}  + 408 = 600.\)

Suy ra \(MinS = 600\)suy ra \(4a = \frac{{2304}}{a}\)suy ra \(a = 24\)

Suy ra chiều dọc và chiều ngang tối ưu của trang giấy là\(30cm,20cm\).