Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 6

Đáp án đúng là: B

Hàm số F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) và C là một hằng số

Khi đó ta có:

∫fxdx=Fx+C

Þ |F (x) + C|' = f (x)

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Trong không gian Oxyz, tâm và bán kính của mặt cầu (S): (x - 1)² + y² + (z + 2)² = 4 lần lượt là: I(1; 0; -2) và R = 2.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Họ nguyên hàm của hàm số fx=1x là

∫fxdx=∫1xdx=lnx+C.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ∫0112x+exdx=x2+ex01

= 1² + e¹ - 0² – e⁰ = 1 + e - 1 = e.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Với a→=−1; 2; −3và b→=−2; 4; 5 ta có:

a→.b→=−1.−2+2.4+−3.5=−5.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng Δ:x=1+t  y=2−3tz=2+4t có vectơ chỉ phương là u→=1; −3; 4

Đường thẳng đi qua điểm A(0; 1; 1) và song song với đường thẳng D nên nhận u→=1; −3; 4 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

x1=y−1−3=z−14.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm M(-1; 2; 0) và có vectơ pháp tuyến n→=4; 0; −5 là

4(x + 1) - 5z = 0

Û 4x - 5z + 4 = 0.

Vậy ta chọn phương án A.

 

Đáp án đúng là: D

Phương trình: z² - 2z + 5 = 0

Û z² - 2z + 1 = -4

Û (z - 1)² = 4i²

⇒z−1=2i  z−1=−2i⇔z=1+2iz=1−2i

Do đó phương trình z² - 2z + 5 = 0 có hai nghiệm là 1 + 2i và 1 - 2i.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

2z + (1 + i) = (5 - 2i)(1 - i)

Û 2z + 1 + i = 5 - 2i - 5i + 2i²

Û 2z = 5 - 2i - 5i - 2 - 1 - i

Û 2z = 2 - 8i

Û z = 1 - 4i

Khi đó Môđun của số z bằng z=12+−42=17.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Số phức liên hợp của số phức z = 2021 - 2022i là

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu có tâm I(-1; -2; 3) và bán kính R = 2 là

(S): (x + 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 4.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm M(3; 4; 5) đến mặt phẳng (P): 3x - 4y + 12z - 14 = 0 bằng

dM/P=3xM−4yM+12zM−1432+−42+122

=3.3−4.4+12.5−1432+−42+122=3.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Đặt u = 6x - 8

Þ du = 6.dx

Đổi cận:

x	1	2
u	–2	4

Þ ∫12f6x−8dx = ∫−2416fudu=16∫−24fudu

=16∫−24fxdx=16.12=2.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý khác 0 nên ta có:

∫abkfxdx=k∫abfxdx.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Đặt  t=x2+1

Þ t² = x² + 1

Þ 2t dt = 2x dx

Û t dt = x dx

Khi đó

∫xx2+1dx=∫t.tdt=∫t2dt.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H) quanh trục hoành là

V=π∫−111−x22dx=π∫−111−2x2+x4dx

=πx−2x33+x55−11

=π1−23+15−−1−2.−13+−15

=π1−23+15+1−23+15=16π15.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức

S=∫abfxdx.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x³, trục Ox và hai đường thẳng x = -2, x = 0 có diện tích bằng

S=∫−20x3dx=−∫−20x3dx=−x44−20=0−−−244=4.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

z₁ = 2 - 3i là một nghiệm của phương trình z² + bz + c = 0 nên nghiệm còn lại của phương tình đó là z₂ = 2 + 3i

Theo hệ thức Viet ta có:

z1+z2=−bz1.z2=c     ⇔−b=2−3i+2+3ic=2−3i.2+3i    

⇔−b=4     c=22+32⇔b=−4c=13

Giá trị của b + c là b + c = (-4) + 13 = 9.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Phương trình: z⁴ - 2z² - 8 = 0

Û z⁴ - 2z² +1 = 9

Û (z² - 1)² = 9

⇒z2−1=3  z2−1=−3⇔z2=4  z2=−2⇔z=2      z=−2    z=2i  z=−2i

Khí đó, giá trị của |z₁|² + |z₂|² + |z₃|² + |z₄|² bằng

22+−22+22+−22=12.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Phần ảo của số phức z = 2 + i là 1.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là n→=1; −2; 2

Đường thẳng đi qua điểm A(-2; 3; 5) và vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận n→=1; −2; 2 làm vectơ chỉ phương nên có phương trình

x=−2+ty=3−2tz=5+2t .

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

•Xét phương án A: x² + y² - z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) - (z² + 2z + 1) = 2

Û (x - 1)² + (y - 1)² - (z + 1)² = 2

Vậy phương trỉnh trên không là phương trình mặt cầu

• Xét phương án B: x² + y² + 2z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (2z² - 2z + 1) = 4

Û (x - 1)² + (y - 1)² + (2z² - 2z + 1) = 4

Vậy phương trỉnh trên không là phương trình mặt cầu

• Xét phương án C: x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z - 1 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) + (z² - 2z + 1) = 4

Û (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 4

Vậy phương trỉnh trên là phương trình mặt cầu tâm I(1; 1 ; 1) và bán kính R = 2.

• Xét phương án D: x² + y² + z² - 2x - 2y - 2z + 3 = 0

Û (x² - 2x + 1) + (y² - 2y + 1) +(z² - 2z + 1) = 0

Û (x - 1)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 0

Vậy phương trỉnh trên không là phương trình mặt cầu do R = 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Nhận xét nhanh:

Trong 4 phương án ta thấy:

• Phương án C có dạng phương trình tổng quát với hệ số của x², y², z² đều bằng 1 và hệ số tự do d = –1 < 0 nên chắc chắn là phương trình mặt cầu.

• Phương án A không có dạng phương trình tổng quát do có hệ số của z² bằng –1 nên đây không phải là phương trình mặt cầu.

• Phương án B không có dạng phương trình tổng quát do có hệ số của z² (bằng 2) khác hệ số của x², y² (bằng 1) nên đây không phải là phương trình mặt cầu.

• Phương án D có dạng phương trình tổng quát và có R=a2+b2+c2−d=12+12+12−3=0

Do đó đây không phải là phương trình mặt cầu.

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình: x - 2y + (3x + y)i = 2 + 13i

Nên suy ra x - 2y = 2 (phần thực)

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Với A(2; 1; -1), B(3; 2; -1) và C(1; 1; 2) ta có:

AB→=1; 1; 0, AC→=−1; 0; 3

⇒AB→; AC→

=1003; 013−1; 11−10

= (3; -3; 1)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) vuông góc với cả hai vectơ AB→=1; 1; 0, AC→=−1; 0; 3 nên ta có:n→=AB→; AC→= (3; -3; 1)

Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là (3; -3; 1).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = -x² + 4 và y = -x + 2 là nghiệm của phương trình

-x² + 4 = -x + 2

Û x² - x - 2 = 0

Û x² - 2x + x - 2 = 0

Û x(x - 2) + (x - 2) = 0

Û (x - 2)(x + 1) = 0

⇒x−2=0x+1=0⇔x=2  x=−1

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x² + 4 và y = -x + 2 bằng

S=∫−12−x2+4+x−2dx=∫−12−x2+x+2dx

=∫−12−x2+x+2dx=−x33+x22+2x−12

=−233+222+2.2−−−133+−122+2.−1

=103−−76=92.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): x - y + 2z + 1 = 0 là n→P=1; −1; 2

Với A(-1; 2; 3), B(1; 4; 2) ta có: AB→=2; 2; −1

Þ AB→; n→ =2−1−12; −1221; 221−1

Þ AB→; n→ = (3; -5; -4)

Mặt phẳng chứa hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) thì có vectơ pháp tuyến vuông góc với n→P=1; −1; 2và AB→=2; 2; −1nên có vectơ pháp tuyến là:

n→=AB→; n→ = (3; -5; -4).

Phương trình mặt phẳng đi qua A(-1; 2; 3) và có vectơ pháp tuyến n→=3; −5; −4

3(x + 1) - 5(y - 2) - 4(z - 3) = 0

Û 3x - 5y - 4z + 25 = 0

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Dựa vào hình vẽ ta thấy tọa độ của điểm M là M(4; -2)

Do đó M là điểm biểu diễn của số phức z = 4 - 2i.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Đặt: u=x⇒du=dx           dv=cosxdx⇒v=sinx

Þ ∫0π2xcosxdx=xsinx0π2−∫0π2sinxdx

=π2.sinπ2−0+cosx0π2

=π2−cosπ2=π2−1.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Khi ô tô dừng hẳn thì v (t) = -2t + 8 = 0 Û t = 4

Do đó ô tô còn đi thêm được 4s.

Quãng đường mà ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng lại là

s=∫04vtdt=∫04−2t+8dt

=8t−t204=8.4−42=16 m.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Số phức z₁ - z₂ là

z₁ - z₂ = (2 - 3i) - (4 - 6i) = -2 + 3i.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = xe^x là

∫fxdx=∫xexdx

Đặt: u=x⇒du=dx    dv=exdx⇒v=ex

Khi đó:

∫fxdx=∫xexdx=xex−∫exdx

= xe^x - e^x + C.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và haiđường thẳng x = -2, x = 2 là

S=∫−22fxdx=∫−21fxdx+∫12fxdx

=−∫−21fxdx+∫12fxdx.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Điểm M(6; -6; 6) thuộc đường thẳng D nên ta có

xM−82=yM+n4=zM−m−3

⇔6−82=−6+n4=6−m−3

⇔−1=−6+n4=6−m−3

⇒n−6=−46−m=3⇔n=2m=3

Khi đó m - n = 3 - 2 = 1.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: C

Với A(1; 3; -5) và B(3; 1; -3) ta có AB→ = (2; -2; 2).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x² + 2x + 1 là

∫fxdx=∫3x2+2x+1dx

= x³ + x² + x + C.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

Môđun của số phức z = -3 + 4i bằng

z=−32+42=5.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Ta có: z = (4 - i) + (1 + 4i) = 5 + 3i

Do đó phần thực của số phức z là 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng Δ1:x−3−2=y−62=x−13 có vectơ chỉ phương là u→1=−2; 2; 1.

Đường thẳng Δ2:x=2t     y=−t    z=2+3tcó vectơ chỉ phương là u→2=2; −1; 3.

Đường thẳng cần tìm vuông góc với hai đường thẳng trên nên có vectơ chỉ phương vuông góc với hai vectơ u1→=−2; 2; 1, u2→=2; −1; 3

⇒u→=u1→; u2→

=21−13; 1−232; −222−1

= (7; 8; -2)

Đường thẳng đi qua điểm A(0; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u→ = (7; 8; -2) nên có phương trình là:

x7=y−18=z−1−2.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): 3x - 2y + 2z + 1 = 0 có tọa độ là (3; -2; 2).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P): x + y + z - 2022 = 0 có vectơ pháp tuyến là n→=1; 1; 1

Điểm A thuộc d1:x−12=y1=z+2−1 nên ta có A(1 + 2a; a; -2 - a).

Điểm B thuộc d2:x−11=y+23=z−2−2 nên ta có B(1 + b; -2 + 3b; 2 - 2b)

⇒AB→=b−2a; 3b−a−2; a−2b+4

Ta có n→⊥AB→(Vì D có vectơ chỉ phương là AB→ và song song với mặt phẳng (P))

⇒n→.AB→=0

Þ b - 2a + 3b - a - 2 + a - 2b + 4 = 0

Û 2b - 2a + 2 = 0

Û2a = 2b + 2

Û a = b + 1

Với AB→=b−2a; 3b−a−2; a−2b+4 ta có:

AB=b−2a2+3b−a−22+a−2b+42

=b−2b−22+3b−b−1−22+b+1−2b+42

=−b−22+2b−32+−b+52

=b2+4b+4+4b2−12b+9+b2−10b+25

=6b2−18b+38=6b2−3b+38

=6b2−2.32b+94−6.94+38

=6b−322+492

Vậy ta có AB=6b−322+492≥492=722

Do đó AB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi b−32=0⇔b=32

Þ a=32+1=52

Khi đó ta có A6; 52; −92 và AB→=72; 0; −72=−72−1; 0; 1

Do đó đường thẳng Dcó vectơ chỉ phương làu→=−1; 0; 1

Phương trình đường thẳng D đi qua A6; 52; −92 và có vectơ chỉ phương u→=−1; 0; 1 là: 

Δ:x=6−t   y=52       z=−92+t .

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Ta có: ∫cos2xdx=∫1+cos2x2dx

=∫12+2cos2x4dx

=x2+sin2x4+C=2x+sin2x4+C

Mà ∫cos2xdx=ax+bsin2xm+C

Khi đó: a = 2, b = 1, m = 4

⇒a+bm=2+14=34.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

fx=∫f'xdx=∫12x−1dx

=12∫22x−1dx=12ln2x−1+C

Þ f(2) = 12.ln|2.2 – 1| + C = 12ln3 + C

Mà  f2=3+12ln3

Þ 12ln3+C=3+12ln3⇔C=3

Vậy fx=12ln2x−1+3

⇒f3=12ln5+3.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Gọi z =x + yi

Khi đó |z - 6i + 8| = 25

Û |x + yi – 6i + 8| = 25

Û |x + 8 + (y – 6)i| = 25

⇔x+82+y−62=25

Û (x + 8)² + (y – 6)² = 625

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn |z - 6i + 8| = 25 là một đường tròn tâm I(–8; 6).

Khi đó a + b = –8 + 6 = –2.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: A

fx=x2+∫12xfxdx

 ⇔xfx=x3+x∫12xfxdx (1) (Nhân hai vế của phương trình trên với x)

Đặt ∫12xfxdx=t (Với t là một hằng số)

Phương trình (1) trở thành

Û xf (x) = x³ + xt

Lấy tích phân 2 vế của phương trình trên trên khoảng (1; 2) ta có

∫12xfxdx=∫12x3dx+∫12xtdx

⇒t=x4412+tx2212

⇔t=4−14+2t−t2

⇔t2+154=0⇔t=−152

Vì xf (x) = x³ + xt

Þ f(x) = x² + t

Þ fx=x2−152

⇒∫02xfxdx=∫02xx2−152dx

=∫02x3−152xdx=x44−15x2402

=244−15.224=−11.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Tâm I của mặt cầu thuộc đường thẳng d:x1=y−11=z−21 nên ta có tọa độ của I là:

I(m; m + 1; m + 2)

•Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): 2x - z - 4 = 0 là:

dI/P=2m−m+2−422+−12=m−65

•Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q): x - 2y - 2 = 0 là:

dI/Q=m−2m+1−212+−22=−m−45=m+45

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên ta có:

dI/P=dI/Q⇔m−65=m+45

Û |m - 6| = |m + 4|

⇒m−6=m+4  m−6=−m−4⇔0.m=10 vl2m=2

Û m = 1 (thỏa mãn)

Khi đó bán kính của mặt cầu là

R=dI/Q=m+45=1+45=5.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Gọi z = x + yi

Ta có:

z + 2 = iw

Û z + 2 - i² = iw - i²

Û z + 2 + 1 = i(w - i)

Û z + 3 = i(w - i)

Mô-đun hai vế ta được

|z + 3| = |i(w - i)| = |i|.|w - i| = 2

Þ |x + yi + 3| = 2

Þ |x + 3 + yi| = 2

Þ (x + 3)² + y² = 4

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z thì tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(-3; 0) và bán kính R = 2.

Ta có: |z| = OM

Vậy OM đạt giá trị nhỏ nhất khi M º M₁ và OM đạt giá trị lớn nhất khi M º M₂

Khi đó:

M = OM_max = OM₂ = 5

m = OM_min = OM₁ = 1

Suy ra M + m = 5 + 1 = 6.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Phương trình

x² + y² + z² - 2(m + 2)x + 4my - 2mz + 7m² - 1 = 0

Û [x² - 2(m + 2)x + (m + 2)²]+ [y² + 4my + 4m²] + [z² - 2mz + m²] = (m + 2)² + 4m² + m² - 7m² + 1

Û [x - (m + 2)]²+ [y + 2m]² + [z - m]² = -m² + 4m + 5

Để phương trình trên là phương trình mặt cầu thì

-m² + 4m + 5 > 0

Û-m² + 5m - m + 5 > 0

Û-m(m - 5) - (m - 5) > 0

Û (m + 1)(m - 5) < 0

Û-1 < m < 5

Do đó có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn là m Î {0; 1; 2; 3; 4}.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Gọi S₁ và S₂ là diện tích được giới hạn bởi y = f'(x) và trục hoành trên các khoảng (-2; 0) và (0; 3)

S1=∫−20f'xdx=∫−20f'xdx=fx−20=f0−f−2>0

Þ f (0) > f (-2)

S2=∫03f'xdx=−∫03f'xdx=−fx03=f0−f3>0

Þ f (0) > f (3)

• Quan sát hình vẽ ta thấy S₁ < S₂

Þ f (0) - f (-2) < f (0) - f (3)

Û f (-2) > f (3)

Do đó f (0) > f (-2) > f (3).

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Gán hình dạng mảnh vườn vào hệ tọa độ Oxy như hình trên.

Gọi hai parabol đó là (P) và (Q).

+) Parabol (P): y = ax² + bx + c (a ≠ 0)

• (P) có đỉnh là M(0; 4) nên thay vào phương trình (P) ta được c = 4.

• (P) đi qua C(8; -4), D(-8; -4) nên ta có:

64a+8b+4=−464a−8b+4=−4 ⇔a=−18b=0

⇒P:y=−18x2+4

+) Tương tự parabol (Q) có đỉnh là N(0; -4) và đi qua B(8; 4), A(-8; 4) nên có phương trình là

Q:y=18x2−4

Hoành độ giao điểm của (P) và (Q) là nghiệm của phương trình:

−18x2+4=18x2−4

⇔14x2=8⇔x2=32⇔x=±42

Diện tích đất trồng rau là

S=∫−4242−18x2+4−18x2−4dx

=∫−4242−14x2+8dx=∫−4242−14x2+8dx

=8x−112x3−4242

=8.42−42312−8.−42+−42312

=642−6423

=12823 (m)

Vậy chi phí để trồng rau trên mảnh vườn đó là:

C=12823.45000≈2715000 (đồng)

 Vậy ta chọn phương án B.