Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 3
50 câu hỏi
Điểm nào trong hình vẽ dưới đây là điểm biểu diễn của số phức z = i−31+i?
Điểm B
Điểm C
Điểm A
Điểm D
Đáp án đúng là: C
z = i−31+i = (i−3)(1−i)1−i2 = −1 + 2i
Điểm biểu diễn của số phức z = −1 + 2i là điểm A
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 + 2x + 4y – 6z – 1 = 0. Tâm của mặt cầu (S) có tọa độ là:
(−1; −2; 3)
(1; 2; −3)
(2; 4; −6)
(−2; −4; 6)
Đáp án đúng là: A
Tâm của mặt cầu (S) là (−1; −2; 3)
Nếu ∫12f(x)dx = 2, ∫14f(x)dx = −1 thì ∫24f(x)dx bằng
−3
1
−2
3
Đáp án đúng là: A
∫24f(x)dx = ∫14f(x)dx+∫21f(x)dx = −1 + (−2) = −3
Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = −4 – i. Số phức z = z1 – z2 có môđun là
217
13
22
213
Đáp án đúng là: D
z = z1 – z2 = (2 + 3i) – (−4 – i) = 6 + 4i
|z| = 62+42 = 213
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b (a < b). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức?
V = ∫abf(x)dx
V = π2∫abf(x)dx
V = π∫abf2(x)dx
V = π2∫abf2(x)dx
Đáp án đúng là: C
Thể tích khối tròn xoay được tạo thành là V = π∫abf2(x)dx
Cho các số thực a, b (a < b) và hàm số y = f(x) có đạo hàm là hàm liên tục trên ℝ. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
∫abf(x)dx= f '(a) – f '(b)
∫abf'(x)dx= f(b) – f(a)
∫abf(x)dx= f '(b) – f '(a)
∫abf'(x)dx= f(a) – f(b)
Đáp án đúng là: B
∫abf'(x)dx = f(b) – f(a)
Cho biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Biểu thức ∫f(x)dx bằng
F(x)
F(x) + C
F '(x) + C
xF(x) + C
Đáp án đúng là: B
Do F(x) là nguyên hàm của f(x) nên ∫f(x)dx = F(x) + C
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a→ = −2i→ + 4j→ − 6k→. Tọa độ của a→ bằng
(−1; 2; −3)
(−2; 4; −6)
(2; −4; 6)
(1; −2; 3)
Đáp án đúng là: B
Tọa độ của a→ = (−2; 4; −6)
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình x=2+ty=3−tz=−2+t(t ∈ ℝ). Hỏi đường thẳng d đi qua điểm nào sau đây?
C(−2; −3; 2)
B(2; 3; −2)
D(2; 3; 2)
A(1; −1; 1)
Đáp án đúng là: B
Thay lần lượt các điểm C, B, D, A vào phương trìnhđường thẳng d có:
+) Điểm C: −2=2+t−3=3−t2=−2+t⇔t=4t=6t=−4 (vô lí);
+) Điểm B: 2=2+t3=3−t−2=−2+t⇔t=0t=0t=0⇔t=0 (thỏa mãn);
+) Điểm D: 2=2+t3=3−t2=−2+t⇔t=0t=0t=4 (vô lí);
+) Điểm A: 1=2+t−1=3−t1=−2+t⇔t=−1t=4t=3 (vô lí);
Vậy đường thẳng d đi qua điểm B(2; 3; −2).
Cho hàm số f(x) = 1cos2x. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
∫f(x)dx= tanx + C
∫f(x)dx= cotx + C
∫f(x)dx= −cotx + C
∫f(x)dx= −tanx + C
Đáp án đúng là: A
∫1cos2xdx = tanx + C
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(−1; 1; −2) và bán kính r = 3 là
(S) : (x + 1)2 + (y – 1)2 + (z + 2)2 = 3;
(S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 9;
(S) : (x + 1)2 + (y – 1)2 + (z + 2)2 = 9;
(S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 3.
Đáp án đúng là: A
(S) có tâm I(−1; 1; −2) và r = 3 có phương trình là:
(x + 1)2 + (y – 1)2 + (z + 2)2 = 9
Tất cả các nghiệm phức của phương trình z2 – 2z + 17 = 0 là
4i;
1 – 4i; 1+4i;
−16i;
2 + 4i; 2 − 4i.
Đáp án đúng là: B
z2 – 2z + 17 = 0 Û z=1+4iz=1−4i
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có vectơ pháp tuyến n→ và n'→. Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Chọn công thức đúng?
cos φ = n'→.n→n'→n→
cos φ = n'→.n→n'→n→
sin φ = n'→.n→n'→n→
sinφ = n'→.n→n'→n→
Đáp án đúng là: A
φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là: cos φ = n'→.n→n'→n→.
Trong không gian Oxyz, cho phương trình mặt phẳng (P) : 2x – z + 2 = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là
(2; −1; 0)
(2; −1; 2)
(2; 0; −1)
(0; −1; 2)
Đáp án đúng là: C
Vectơ pháp tuyến của (P) là (2; 0; −1)
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Diện tích S của miền được tô đậm như hình vẽ được tính theo công thức nào sau đây?
S = −∫03f(x)dx
S = ∫03f(x)dx
S = ∫04f(x)dx
S = −∫04f(x)dx
Đáp án đúng là: A
Diện tích của miền tô đậm là: S = −∫03f(x)dx
Cho số phức z = −1 + 5i. Phần ảo của số phức z¯ bằng
−5
5
1
−1
Đáp án đúng là: A
z¯ = −1 – 5i nên phần ảo là −5
Cho số phức z = a + bi (a ∈ ℝ, b ∈ ℝ). Khẳng định nào sau đây đúng?
|z¯| = a2−b2
|z| = a2 + b2
|z| = a2−b2
|z¯| = a2+b2
Đáp án đúng là: D
Ta có: |z| = |z¯| = a2+b2
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0) và C(0; 0; 5). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là
x2+y3+z5=1
x5+y3+z2=1
x2+y3+z5=0
x3+y2+z5=1
Đáp án đúng là: A
Phương trình mặt phẳng (ABC) là: x2+y3+z5=1
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – 2y + z + 6 = 0. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng
0
3
6
2
Đáp án đúng là: D
Khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng:
d(O; (P)) = 2.0−2.0+0+622+−22+1 = 63 = 2.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x – 3y + z – 3 = 0. Mặt phẳng nào dưới đây song song với mặt phẳng (α)?
(γ) : 2x – 3y + z + 2 = 0
(Q) : 2x + 3y + z + 3 = 0
(P) : 2x – 3y + z – 3 = 0
(β) : x – 3y + z – 3 = 0
Đáp án đúng là: A
Do mặt phẳng cần tìm song song với (α) nên có cùng vectơ pháp tuyến n→ = (2; −3; 1)
Mặt phẳng cần tìm là : (γ) : 2x – 3y + z + 2 = 0
Trong không gian Oxyz, gọi M(a; b; c) là giao điểm của đường thẳng d : x+12=y−3−1=z−21 và mặt phẳng (P) : 2x + 3y – 4z + 4 = 0. Tính T = a + b + c
T = 32
T = 6
T = 4
T = −52
Đáp án đúng là: B
d: x=−1+2ty=3−tz=2+t
Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (P), thay d vào (P) được:
−2 + 4t + 9 – 3t – 8 – 4t + 4 = 0 Û 3t = 3 Û t = 1
Thay t = 1 vào d ta được M(1; 2; 3)
Nên T = 1 + 2 + 3 = 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm I(2; 0; −2) và A(2; 3; 2). Mặt cầu (S) có tâm I và đi qua điểm A có phương trình là
(x − 2)2 + y2 + (z + 2)2 = 25
(x + 2)2 + y2 + (z – 2)2 = 25
(x – 2)2 + y2 + (z + 2)2 = 5
(x + 2)2 + y2 + (z – 2)2 = 5
Đáp án đúng là: A
IA→ = (0; 3; 4)
IA = 32+42 = 5 = R
Phương trình mặt cầu (S) có R = 5 có phương trình là:
(x – 2)2 + y2 + (z + 2)2 = 25
Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện |z – i + 2| = 2 là
Đường tròn tâm I(1; −2), bán kính R = 2
Đường tròn tâm I(−1; 2), bán kính R = 2
Đường tròn tâm I(2; −1), bán kính R = 2
Đường tròn tâm I(−2; 1), bán kính R = 2
Đáp án đúng là: D
Theo đề bài: z thỏa mãn |z – (a + bi)| = R có tập hợp điểm là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R.
Nên |z – i + 2| = 2 là đường tròn tâm I(−2; 1) và R = 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(−2; 1; 8). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (Oxy). Tọa độ của điểm H là
H(−2; 0; 8)
H(−2; 1; 0)
H(0; 0; 8)
H(0; 1; 8)
Đáp án đúng là: B
Hình chiếu vuông góc của M là H(−2; 1; 0)
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y = 3x và y = 4 – x. Tính S
43
43π
4 – 3 ln3
3ln3 − 103
Đáp án đúng là: A
Phương trình hoành độ giao điểm là: 3x = 4 – x Û x(4 – x) = 3 Û −x2 + 4x – 3 = 0
Û x=1x=3
Diện tích giới hạn bởi 2 đường thẳng là:
S = ∫13−x2+4x−3dx = 43.
Tính tích phân I = ∫0π4sinxdx
I = 1 − 22
I = −1 + 22
I = −22
I = 22
Đáp án đúng là: A
∫0π4sinxdx = −cosx0π4 = −22−1 = 1 − 22
Trong không gian Oxyz, cho phương trình của hai đường thẳng d1 : x2=y−1=z−11 và d2 : x−31=y1=z−2. Vị trí tương đối của hai đường d1 và d2 là
d1, d2 cắt nhau
d1, d2 song song
d1, d2 chéo nhau
d1, d2 trùng nhau
Đáp án đúng là: A
d1 có u→1 = (2; −1; 1)
d2 có u→2 = (1; 1; −2)
[u1→;u2→] = (1; 5; 3)
M1 (0; 0; 1) ∈ d1; M2 (3; 0; 0) ∈ d2
Þ M1M2→ = (3; 0; −1)
|[u1→;u2→] . M1M2→| = 0
Mà u1→ và u2→ không cùng phương (≠ 0) nên d1 và d2 cắt nhau
Giá trị các số thực a, b thỏa mãn 2a + (b + 1 + i)i = 1 + 2i (với i là đơn vị ảo) là
a = 12; b = 0
a = 12; b = 1
a = 0; b = 1
a = 1; b = 1
Đáp án đúng là: D
2a + (b + 1 + i)i = 1 + 2i Û 2a + bi + i – 1 = 1 + 2i Û (2a – 1) + (b + 1)i = 1 + 2i
Ta có: 2a−1=1b+1=2 Û a=1b=1
Tính ∫e2x−5dx ta được kết quả nào sau đây?
e2x−5−5+ C
−5e2x – 5 + C
e2x−52+ C
2e2x – 5 + C
Đáp án đúng là: C
∫e2x−5dx = 12e2x – 5 + C
Gọi z1, z2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình z2 + 3z + 4 = 0 trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức P = |z1| + |z2|
P = 42
P = 22
P = 4
P = 2
Đáp án đúng là: C
z2 + 3x + 4 = 0 Û z1=−3+7i2z2=−3−7i2
|z1| = −322+722 = 2
|z2| = −322+−722 = 2
Vậy P = 2 + 2 = 4
Tính tích phân I = ∫01x−3x+1dx
I = 2 – 5ln2
I = 1 – 4ln2
I = 72− 5ln3
I = 4ln3 – 1
Đáp án đúng là: B
∫01x−3x+1dx = ∫01(x+1)−4x+1dx = ∫011−4x+1dx = x01 − 4.ln(x+1)01 = 1 – 4ln2
Cho số phức z thỏa mãn (2 – i)z + 3i + 2 = 0. Phần thực của số phức z bằng
−15
−85
85
15
Đáp án đúng là: A
(2 – i)z + 3i + 2 = 0 Û z = −3i−22−i = −3i−22+i2−i2+i = −6i−3i2−4−2i5 = −15−85i
Vậy phần thực của số phức là −15
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm A(3; 1; −6) và B(5; 3; −2) có phương trình tham số là
x=5+ty=3+tz=−2+2t
x=3+ty=1+tz=−6−2t
x=6+2ty=4+2tz=−1+4t
x=5+2ty=3+2tz=−2−4t
Đáp án đúng là: A
AB→ = (2; 2; 4) = (1; 1; 2)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương AB→ là:
x=5+ty=3+tz=−2+2t
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(−1; 2; 1). Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là?
I(−3; 1; 0)
I12;32;1
I−32;−12;0
I13;1;23
Đáp án đúng là: B
Gọi tọa độ trung điểm của AB là I
I có tọa độ : x=2−12y=1+22z=1+12 Û x=12y=32z=1 Þ I12;32;1
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : 2x + 2y – z – 6 = 0. Gọi mặt phẳng (β) : x + y + cz + d = 0 không qua O, song song với mặt phẳng (α) và d((α),(β)) = 2. Tính c.d?
cd = 3
cd = 0
cd = 12
cd = 6
Đáp án đúng là: A
Do (α) // (β) nên 21=21=−1c Þ c = −12
Þ (β) : x + y −12z + d = 0
(α) : 2x + 2y – z – 6 = 0 Û x + y − 12z − 3 = 0
d((α);(β)) = 2 Û 3+d1+1+−122=2 Û |3 + d| = 3 Û d=0d=−6
Vì (β) không đi qua O nên loại d = 0
Nên d = −6
Vậy c.d = −12.(−6) = 3
Tích phân ∫010xe30xdx bằng
1900299e300+1
300 – 900e300
−300 + 900e300
1900299e300−1
Đáp án đúng là: A
Đặt u=xdv=e30xdx Û du=dxv=130e30x
Do đó, ta được: ∫010xe30xdx = x.e30x30010 − ∫010e30x30dx = x.e30x30−e30x900010
= 299e300+1900 = 1900299e300+1
Tính diện tích hình phẳng (phần được tô đậm) giới hạn bởi hai đường thẳng y = x2 – 4; y = x – 2 như hình vẽ bên dưới là
S = 9π2
S = 332
S = 92
S = 33π2
Đáp án đúng là: C
Phương trình hoành độ giao điểm là: x2 – 4 = x – 2 Û x2 – x – 2 = 0 Û x=−1x=2
Diện tích hình phẳng là: S = ∫−12x2−x−2dx = −∫−12x2−x−2dx=−x33−x22−2x−12=−83+2+4−13−12+2=92.
Trong không gian, cắt vật thể bởi hai mặt phẳng (P) : x = −1 và (Q) : x = 2. Biết một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 2) cắt theo thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng 6 – x. Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai đường thẳng (P), (Q) bằng
33π2
93π
332
93
Đáp án đúng là: B
V = π.∫ab[S(x)]2dx = π∫−126−x2dx = 93π.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2; 2; 2), B(0; 1; 1) và C(−1; −2; −3). Tính diện tích S của tam giác ABC
S = 532
S = 52
S = 53
S = 522
Đáp án đúng là: A
Ta có: AB→ = (−2; −1; −1); AC→ = (−3; −4; −5)
Diện tích ∆ABC là: S = 12.AB→.AC→ = 12.12+(−7)2+52 = 532
Vậy S = 532.
Cho ∫π6π4cos4xcosxdx = 2a+bc với a, b, c là các số nguyên, c < 0 và bc tối giản. Tổng a + b + c bằng
−77
−17
103
43
Đáp án đúng là: A
Ta có: cos4x . cosx = 12(cos 3x + cos5x)
Nên I = ∫π6π412cos3x+cos5xdx = 12.∫π6π4cos3xdx+∫π6π4cos5xdx
= 12.13sin3x+15sin5xπ6π4 = 230−1360
Nên a = 30; b = 13; c = −60
Vậy a + b + c = 30 + 13 – 60 = −17
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(1; 0; 0), B(2; 2; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + y + z – 2 = 0 có phương trình là
x + y – 2z – 4 = 0
2x – y – 3z – 2 = 0
x + y + z – 1 = 0
2x – y – z – 2 = 0
Đáp án đúng là: D
(P) có n→ = (1; 1; 1)
nα→ = AB→,n→ = (−2; 1; 1)
Phương trình mặt phẳn (α) đi qua A(1; 0; 0) và có nα→ là:
−2x + y + z + 2 = 0 Û 2x – y – z – 2 = 0
Vậy (α) : 2x – y – z – 2 = 0
Tính nguyên hàm ∫lnx+2dxxlnx bằng cách đặt t = lnx ta được nguyên hàm nào sau đây?
∫tdtt−2
∫t+2dt
∫1+2tdt
∫t+2dtt2
Đáp án đúng là: C
Đặt t = lnx Û dt = 1xdx
Do đó, ta có : ∫t+2tdt = ∫1+2tdt
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho (S) : x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 10z – 14 = 0. Mặt phẳng (P) : −x + 4z + 5 = 0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Tọa độ tâm H của (C) là
H(1; 1; −1)
H(−3; 1; −2)
H(9; 1; 1)
H(−7; 1; −3)
Đáp án đúng là: A
(S) : (x – 2)2 + (y – 1)2 + (z + 5)2 = 44
Þ Tâm I(2; 1; −5)
H là hình chiếu của I lên (P)
(P) có n→ = (−1; 0; 4)
d đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình :
x=2−ty=1z=−5+4t
Þ H ∈ d nên H(2 – t; 1; −5 + 4t)
H ∈ (P) Û −(2 – t) + 4(−5 + 4t) + 5 = 0 Û t = 1
Þ H(1;1; −1)
Vậy H(1; 1; −1)
Biết phương trình z2 + mz + n = 0 (m; n ∈ ℝ) có một nghiệm là 1 – 3i. Tính n + 3m
4
3
16
6
Đáp án đúng là: A
Vì 1 – 3i là nghiệm của số phức nên
(1 – 3i)2 + m(1 – 3i) + n = 0
Û −8 – 6i + m – 3mi + n = 0
Û −6−3m=0−8+m+n=0 Û m=−2n=10
Vậy 3m + n = 10 – 6 = 4
Cho số phức z = x + iy (với x; y ∈ ℝ) thỏa mãn: 2z – 5i.z¯ = −14 – 7i. Tính x + y
1
7
−1
5
Đáp án đúng là: B
z = x + iy Û z¯ = x – iy
2z – 5i.z¯ = −14 – 7i
Û 2(x + iy) – 5i(x – iy) = −14 – 7i
Û 2x + 2yi – 5ix + 5i2y = −14 − 7i
Û (2x – 5y) + (2y – 5x)i = −14 – 7i
Û 2x−5y=−14−5x+2y=−7 Û x=3y=4
Nên x + y = 3 + 4 = 7
Cho hàm số f(x) = ax3 + bx2 – 36x + c (a≠ 0; a, b, c ∈ ℝ) có hai điểm cực trị là −6 và 2. Gọi y = g(x) là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng y = f(x) và y = g(x) bằng
160
672
128
64
Đáp án đúng là: C
f '(x) = 3ax2 + 2bx – 36
Vì f '(x) có 2 điểm cực trị là −6 và 2 nên:
108a−12b−36=012a+4b−36=0 Û a=1b=6
Ta được: f(x) = x3 + 6x2 – 36x + c
Tại x = −6 : f(−6) = −216 + 216 + 216 + c = 216 + c
Tại x = 2 : f(2) = 8 + 24 – 72 + c = −40 + c
g(x) = a’x + b’ đi qua 2 điểm cực trị của f(x) nên :
−6a'+b'=216+c2a'+b'=−40+c Û b'=216+c+6a'b'=−40+c−2a'
Û 216 + c + 6a’ = −40 + c – 2a’Þ 256 = −8a’Þ a’ = −32 Þ b = 24 + c
g(x) = −32x + 24 + c
f(x) = g(x) Û x3 + 6x2 – 36x + c = −32x + 24 + c
Û x=−6x=2x=−2
Do đó S = ∫−62f(x)−g(x)dx = 128
Vậy S = 128
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi mặt phẳng (P) : 7x + by + cz + d = 0 (với b, c, d ∈ ℝ; c <0) đi qua điểm A(1; 3; 5). Biết mặt phẳng (P) song song với trục Oy và khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) bằng 32. Tính T = b + c + d.
T = 61
T = 78
T = 7
T = −4
Đáp án đúng là: A
A ∈ (P) : 7.1 + b.3 + c.5 + d = 0 Û 3b + 5c + d = 0
Oy có vectơ chỉ phương j→ = (0; 1; 0)
(P) // Oy Þ nP→. j→= 0 Þ b = 0 nên ta có : 5c + d = −7 Û d = −7 – 5c
d(O; (P)) = d72+b2+c2 = 32
Û 5c+7c2+49 = 32
Û |5c + 7| = 32 . c2+49
Û (5c + 7)2 = 18(c2 + 49)
Û25c2 + 70c + 49 = 18c2 + 882
Û 7c2 + 70c – 833 = 0
Û c=7c=−17 Û d=−42d=78
Þ b + c + d = −42+7=−35−17+78=61
Vậy T = b + c + d = 61.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(−2; −2; 1), A(1; 2; −3) và đường thẳng d : x+12=y−52=z−1. Gọi u→ = (1; a; b) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ đi qua M, ∆ vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng nhỏ nhất. Giá trị của a + 2b là
1
2
3
4
Đáp án đúng là: D
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d, khi đó (P) chứa ∆
Mặt phẳng (P) qua M(−2; −2; 1) và có vectơ pháp tuyến nP→ = ud→ = (2; 2; −1) nên có phương trình : (P) : 2x + 2y – z + 9 = 0
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên (P) và ∆. Khi đó: AK ≥ AH nên AK min khi
K ≡ H. Đường thẳng AH đi qua A(1; 2; −3) và có vectơ chỉ phương ud→ = (2; 2; −1) nên AH có phương trình tham số:
x=1+2ty=2+2tz=−3−t
H ∈ AH Þ H(1 + 2t; 2 + 2t; −3 – t)
H ∈ (P) Þ 2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) –(−3 – t) + 9 = 0 Þ H(−3; −2; −1)
Nên u→ = HM→ = (1; 0; 2)
Vậy a = 0; b = 2 Þ a + 2b = 4
Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z để số phức w = |z| − 1z−1 có phần ảo bằng 14. Biết rằng |z1 – z2| = 3 với z1, z2 ∈ S, giá trị nhỏ nhất của |z1 + 2z2| bằng
5− 3
35− 3
25− 23
35− 32
Đáp án đúng là: D
Đặt z1 = a + bi (a, b ∈ ℝ), z2 = c + di
Ta có : 1|z|−z = 1|z|−a−bi
Û |z| − 1z−1 = a + bi − 1z−1 = 12|z|+b2|z|2−2a|z|
Theo bài ta có: |z| − 1z−1 = 14 Û |z| = 4
|z1 – z2| = 3 Û (a – c)2 + (b – d)2 = 9
Û a2 + b2 + c2 + d2 – 2(ac + bd) = 9
Û ac + bd = −1
|z1 + 2z2| = (a+2c)2+(b+2d)2
=a2+b2+4(c2+d2)+4(ac+bd)
= 18 = 32.
Theo tính chất |z + z'| ≤ |z| + |z'| ta có:
|z1 + 2z2− 3i| ≥ |z1 + 2z2| + |−3i| = 35 − 35
Vậy giá trị nhỏ nhất là 35 − 32
Cho hàm số y = f(x) là hàm liên tục có tích phân trên [0; 2] thỏa mãn điều kiện f(x2) = 6x4 + ∫02xf(x)dx. Tính I = ∫02f(x)dx
I = −8
I = −24
I = −32
I = −6
Đáp án đúng là: A
Đặt ∫02xf(x)dx = m Û f(x2) = 6x4 + m Þ f(x) = 6x2 + m
Do đó ta được: ∫02x(6x2+m)dx = m
Û 6x44+mx2202 = m Û 24 + 2m = m Û m = −12
Nên I = ∫02f(x)dx = ∫02(6x2−12)dx = −8
Vậy I = −8.
