Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 11

Đáp án đúng là: D

(3 - 2i)(1 + 2i) = 3 - 2i + 6i - 4i²

= 3 - 2i + 6i + 4 = 7 + 4i.

Đáp án đúng là: D

Gán hình dạng của biển quảng cáo vào hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.

Gọi S là diện tích của hình elip, S₁ là diện tích phần tô đậm và S₂ là diện tích phần còn lại.

Hình elip có A₁A₂ = 6m, B₁B₂ = 4m nên suy ra a = 3m, b = 4m.

Phương tình elip là: E:x29+y24=1

⇒y=±21−x29

Diện tích hình elip là S = pab = 6p.

Thay hoành độ của M, N vào phương tình elip ta suy ra được tọa độ hai điểm M−2; 253, N2; 253

Phương trình parabol có đỉnh B₁, trục đối xứng B₁B₂ và đi qua các điểm M, N có dạng: y = ax² - 2.

Điểm M thuộc parabol nên suy ra 253=4a−2⇔a=3+56

Vậy suy ra y=3+56x2−2

Diện tích phần tô đậm là:

S1=∫−2221−x29−3+56x2+2dx

=∫−22239−x2−3+56x2+2dx

=∫−22239−x2−3+56x2+2dx

» 10,7055

Þ S₂ = S - S₁ = 6p- S₁

Số tiền để hoàn thành biển quảng cáo trên là

100000S₁ + 300000S₂ = 100000S₁ + 300000(6p- S₁)

= 3600000p- 200000S₁

» 1800000p- 200000.10,7055

» 3513766 (đồng).

Đáp án đúng là: B

Đặt u=x⇒du=dx              dv=1cos2xdx⇒v=tanx

Suy ra ∫0π6xcos2xdx=xtanx0π6−∫0π6tanxdx

=xtanx0π6−∫0π6sinxcosxdx=xtanx0π6+lncosx0π6

=π318+ln32=318π−ln2+12ln3

Mà ∫0π6xcos2xdx=3aπ−lnb+12lnc nên suy ra a = 18, b = 2, c = 3

Khi đó P = a + b + c = 18 + 2 + 3 = 23.

Đáp án đúng là: A

IH là khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) nên:

IH=dI/P=2.1+2.2−2+522+22+12=3

Mặt cầu (S) có tâm I sao cho mặt phẳng (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r=11 nên suy ra MH=11.

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác IHM vuông tại H nên ta có:

IM=R=IH2+HM2=32+112=20

Phương trình của mặt cầu (S) có tâm I(1; 2; -2) và có bán kính R=20là

(S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z + 2)² = 20.

Đáp án đúng là: C

F (x) là một nguyên hàm của hàm số f x) trên [2; 3] nên suy ra

∫23fxdx=Fx23=F3−F2.

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của AB nên suy ra tọa độ trung điểm đoạnthẳng AB là

xI=xA+xB2=−1+32=1yI=yA+yB2=0+62=3 zI=zA+zB2=3−72=−2

Do đó I(1; 3; -2).

Đáp án đúng là: B

Ta có: x + 1 + 4yi = 3 - 2i

⇒x+1=34y=−2⇔x=2   y=−12

Đáp án đúng là: C

Đặt t = x² + 1Þ dt = 2x dx

Đổi cận:

+) x = 1 Þ y = 2

+) x = 2 Þ y = 5

Nên suy ra

I=∫122xx2+13dx=∫25t3dt.

Đáp án đúng là: A

z=1+5i3+2i=1+5i3−2i3+2i3−2i=3+15i−2i−10i232+22

=3+15i−2i+1032+22=13+13i13=1+i

Suy ra số phức liên hợp của z là z¯=1−i.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

+) ud→=2; 1; 3

+) nP→=1; −1; −1

Đường thẳng D song song với mặt phẳng (P) và vuông gócvới đường thẳng d nên uΔ→ đều vuông góc với ud→ và nP→

 

⇒uΔ→= ud→; nP→=13−1−1; 32−11; 211−1

= (2; 5; -3)

Đường thẳng D đi qua M(1;1; 2) và có véc-tơ chỉ phương là (2; 5; -3) có phương trình là Δ:x−12=y−15=z+2−3.

Đáp án đúng là: B

Ta có:CD→=1; −4; 1. 

Phương trình đường thẳng CD đi qua D vào có véc-tơ chỉ phương là (1; 4; 3)

CD:x=2+t    y=−2−4tz=t         

Điểm M thuộc CD nên M(2 + m; -2 - 4m; m).

Để tam giác ABM có chu vi nhỏnhất thì AM + BM + AB nhỏ nhất.

Mà AB cố định nên AM + BM nhỏ nhất.

Ta có: AM + BM

=m+32+−4m−32+m−62+m+52+−4m2+m+42

=18m2+18m+54+18m2+18m+41

=18m2+m+14+992+18m2+m+14+732

=18m+122+992+18m+122+732

≥992+732

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m=−12. 

Do đó tọa độ điểm M là M32; 0; −12.

Đáp án đúng là: D 

+) z = 2 + 3i; ⇒z¯=2−3i

+)w=1+2z¯+z=1+22−3i+2+3i  = 7 - 3i. 

Khi đó môđun của số phức w là:

w=7−3i=72+−32=58.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P): 2x - y + 3z - 4 = 0 có vectơ pháp tuyến là n→=2; −1; 3.

Đáp án đúng là: C

Lân lượt thử các tọa độ của các điểm trên vào phương trình đường thẳng d ta thấy điểm Q(1; 2; -3) là điểm thuộc d với

xQ=1+2t=1     yQ=2−3t=2    zQ=−3+4t=−3⇒t=0 (Thỏa mãn)

Đáp án đúng là: C

z(2 + i) =4 + 7i

⇒z=4+7i2+i=4+7i2−i2+i2−i=8+14i−4i−7i222+12

=8+14i−4i+75=15+10i5=3+2i.

Đáp án đúng là: B

w = z₁ - 2z₂ = (1 + 2i) - 2(2 - 3i)

= 1 + 2i - 4 + 6i = -3 + 8i.

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x² - 6x, trục hoành và hai đường thẳng x = 2, x = 4 bằng

S=∫243x2−6xdx=∫243x2−6xdx

=x3−3x224=43−3.42−23−3.22=20.

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S): (x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 12 có tâm I(1; -2; 3) và bán kính R=23

+) AB→=52; 0; 5

+) Mặtphẳng (P) có phương trình dạng 2x + by + cz + d = 0 có véc-tơ pháp tuyến là 

AB thuộc mặt phẳng (P) nên véc-tơ pháp tuyến của (P) vuông góc với

Ta suy ra được hệ phương trình

52.2+0.b+5c=02.−112+d=0  2.−3+5c+d=0⇔c=−1     d=11     5c=6−d

Từ đó suy ra (P) có dạng 2x + by - z + 11 = 0

Khối nón có đỉnh là tâm của (S), đáy là hình tròn (C) có thể tích là

V=13IH.πMH2=13IH.πIM2−IH2

=13IH.π12−IH2 đạt GTLN khi IH(12 - IH²) đạt GTLN

Ta có:

Với x > 0, xét hàm số f (x) = x(12 - x²) = 12x - x³

Þ f '(x) = 12 - 3x² = 0 Û x² = 4 Þ x = 2 (Do x > 0)

Vẽ được BBT của hàm số f (x) = x(12 - x²) trên (0; +¥)

Dựa vào BBT nên suy ra f (x) đạt GTLN bằng 16 khi x = 2

Nên suy ra IH(12 - IH²) đạt GTLN khi IH = 2

⇒IH=dI/P=2.1+b.−2−3+1122+b2+−12=2

⇔10−2bb2+5=2⇔5−bb2+5=1

5−b=b2+5

Þ |5 - b|² = b² + 5

Û 25 - 10b + b² = b² + 5

Û 10b = 20 Û b = 2

Từ đó suy ra b² + c² + d² = 2² + (-1)² + 11² = 126.

Đáp án đúng là: C

∫022022−f5−3xdx=∫022022dx−∫02f5−3xdx

Đặt u = 5 - 3x Þ du = -3 dx

Đổi cận:

+) x = 0 Þ u = 5

+) x = 2 Þ u = -1

Nên suy ra

∫022022dx−∫5−1fu.−13du=∫022022dx−13∫−15fudu

=2022x02−13.15=2022.2−13.15=4039.

Đáp án đúng là: A

Δ:x−2−3=y1=z+12⇒x=2−3ty=t       z=−1+t

M là điểm thuộc d nên M(2 - 3m; m; -1 + m)

M thuộc mặt phẳng (P) nên suy ra

(2 - 3m) + 2m - 3(-1 + m) = 0

Û 2 - 3m + 2m + 3 - 3m = 0

Û-4m + 5 = 0 ⇔m=54

Từ đó suy ra M−74; 54; 14

Vậy suy ra 3a+4b+5c=3.−74+4.54+5.14=1.

Đáp án đúng là: C

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = 3^x là

Fx=∫fxdx=∫3xdx=1ln3∫3x.ln3dx

=3xln3+C.

Đáp án đúng là: D

Họ nguyên hàm của hàm số f (x)= 4x³ + 2x là

Fx=∫fxdx=∫4x3+2xdx

= x⁴ + x² + C.

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x - 4y + 6z - 2 = 0

Û (x² + 2x + 1) + (y² - 4y + 4) + (z² + 6z + 9) = 16

Û (x + 1)² + (y - 2)² + (z + 3)² = 16

Vậy suy ra tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là I(-1; 2; -3).

Đáp án đúng là: A

Gọi z=a+bi⇒z¯=a−bi

−2+iz¯+3z=1−3i

Û (-2 + i)(a - bi) + 3(a + bi) = 1 - 3i

Û-2a + ai + 2bi - bi² + 3a + 3bi = 1 - 3i

Û-2a + ai + 2bi + b + 3a + 3bi = 1 - 3i

Û (a + b) + (a + 5b) = 1 - 3i

⇒a+b=1    a+5b=−3⇔a=2  b=−1

Lại có: w=z+2z¯=a+bi+2a−bi

= 3a - bi = 3.2 - (-1).i = 6 + i 

Vậy suy ra tổng phần thực và phần ảo của số phức w là 6 + 1 = 7.

Đáp án đúng là: D

Họ nguyên hàm của hàm số f (x) = cos2x là

Fx=∫fxdx=∫cos2xdx=12∫2cos2xdx

=12sin2x+C.

Đáp án đúng là: C

w = (2-i)z - 3i + 5

⇒u−5+3i2−i=z⇔u−5+3i2−i+3−4i=z+3−4i

⇔u−5+3i+6−8i−3i+4i22−i=z+3−4i

⇔u−5+3i+6−8i−3i−42−i=z+3−4i

⇔u−3−8i2−i=z+3−4i

Lấy môđun hai vế ta có

u−3−8i2−i=z+3−4i

⇔u−3−8i2−i=z+3−4i

⇔u−3−8i5=2

⇔u−3−8i=10

Vậy suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phứcw = (2-i)z - 3i + 5 là một đường tròn có tâm I(3; 8) và bán kính R=10.

Đáp án đúng là: B

Hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y=2x, trục hoành và các đường thẳngx = 1, x = 2. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox bằng

∫122x2dx=∫122xdx=x212=22−12=3.

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d:x−12=y+34=z−13 có vectơ chỉ phương là u3→=2; 4; 3.

Đáp án đúng là: A

Ta có: uΔ→=−3; 1; 1

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(2;1; -1) và vuông góc với đường thẳng D nên nhận uΔ→=−3; 1; 1 làm véc-tơ pháp tuyến

(P): -3(x - 2) + (y - 1) + (z + 1) = 0

Û-3x + y + z + 6 = 0

H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng D nên là giao của đường thẳng D và mặt phẳng (P) nên ta có

-3(-3 - 3t) + (1 + t) + (6 + t) + 6 = 0

Û 11t + 22 = 0 Û t = -2

Vậy suy ra tọa độ điểm H là H(3; -1; 4).

Đáp án đúng là: C

Diện tích miền hình phẳng được gạch chéo trong hìnhvẽ bên là

S=∫−23fxdx=∫−21fxdx+∫13fxdx

=∫−21fxdx−∫13fxdx.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (a): 3x + 5y- z -2 = 0 nên có véc-tơ pháp tuyến là nP→=3; 5; −1

Đường thẳng D vuông góc với mặt phẳng (a) nên nhận nP→=3; 5; −1 làm véc-tơ chỉ phương

Vậy suy ra véc-tơ chỉ phương của đường thẳng D là u3→=3; 5; −1.

Đáp án đúng là: C

z² - 4z + 5 = 0

Ûz² - 4z + 4 = -1

Û (z - 2)² = i²

z−2=i  z−2=−i⇔z=2+iz=2−i

Vậy tập nghiệm phức của phương trình z² - 4z + 5 = 0 trên tập số phức là

z = 2 ± i.

Đáp án đúng là: B

căn bậc hai của số thực -13 = 13i² là

13i2=±i13.

Đáp án đúng là: A

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng(Oxy) là z = 0.

Đáp án đúng là: C

+) z−iz+2−3i=1

Þ |z - i| = |z + 2 - 3i|

Þ x² + (y - 1)² = (x + 2)² + (y - 3)²

 Û x² + y² - 2y + 1 = x² + 4x + 4 + y² - 6y + 9

Û 4x - 4y = - 12 Û y = x + 3

ÛD: x - y + 3 = 0

M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z và thuộc đường thẳng y = x + 3

+) w+iw−1+i=2

Þ a² + (b + 1)² = 2(a - 1)² + 2(b + 1)²

Û 2(a - 1)² + (b + 1)² - a² = 0

Û 2a² - 4a + 2 + (b + 1)² - a² = 0

Û (a² - 4a + 4) + (b + 1)² = 2

Û (C): (a - 2)² + (b + 1)² = 2

N(a; b) là điểm biểu diễn của số phức w và thuộc đường tròn tâm I(2; -1) và có bán kính R=2

Ta có: |z -w| = MN đạt GTNN

Vậy suy ra MN đi qua tâm I và N gần M nhất

+) nΔ→=1; −1⇒nMN→=(1; 1)

Phương trình đường thẳng MN đi qua I(2; -1) và có véc-tơ pháp tuyến là nMN→=(1; 1)

MN: x - 2 + y + 1 = 0

Û x + y - 1 = 0

+) M là giao của đường thẳng D và MN nên ta có tọa độ điểm M thỏa mãn

x+y−1=0x−y+3=0⇔x+y=1  x−y=−3⇔x=−1y=2  

Vậy suy ra M(-1; 2) Þ z = -1 + 2i

+) N là giao của đường tròn (C) và MN nên ta có tọa độ điểm N thỏa mãn

a+b−1=0            a−22+b+12=2⇔b=1−a                 a−22+b+12=2

⇔b=1−a                 a−22+2−a2=2⇔b=1−a    a−22=1

⇔b=1−a    a−2=1  a−2=−1⇔b=1−aa=3a=1  ⇔a=3  b=−2a=1b=0  

Mà để N gần M hơn nên suy ra N(1; 0) Þ w = 1

Khi đó: 2z + 3w = 2(-1 + 2i) + 3

= 1 + 4i

Vậy phần ảo của số phức 2z + 3w là 4.

Đáp án đúng là: B

Phương trình tham số của đường thẳng D đi qua M(1;2;3) và có vectơ chỉphương a→=4; 3; −7 là:

Δ:x=1+4ty=2+3tz=3−7t.

Đáp án đúng là: A

5+4i3+6i=5+4i3−6i3+6i3−6i=15+12i−30i−24i232+62

=15+12i−30i+2445=39−18i45=1315−25i.

Đáp án đúng là: B

Véc-tơ chỉ phương của đường thẳng d là u→=−2; 1; 3

Mặt phẳng (P) đi qua A(1;2; -3) và vuông góc với đường thẳng d nên nhận véc-tơ u→=−2; 1; 3 làm véc-tơ pháp tuyến

Suy ra

(P): -2(x - 1) + (y - 2) + 3(z + 3) = 0

Û-2x + 2 + y - 2 + 3z + 9 = 0

Û 2x - y - 3z - 9 = 0.

Đáp án đúng là: D

(H) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong có phương trình y=x, nửa đường tròn y=2−x2 với 0≤x≤2 và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của hình (H) bằng

S=∫01xdx+∫122−x2dx=23∫0132xdx+S1

=23x301+S1=23+S1 (1)

+) Xét S1=∫122−x2dx

Đặt x=2.sinu

⇒2−x2=2−2sin2u=2.cosu

Và dx=2.cosudu

Đổi cận

+) x=1⇒u=π4

+) x=2⇒u=π2

Suy ra S1=∫122−x2dx=∫π4π22.cosu.2.cosudu

=∫π4π22cos2udu=∫π4π2cos2u+1du=sin2u2+uπ4π2

=0+π2−12+π4=−12+π4 (2)

Thay (2) vào (1) ta được

S=23−12+π4=16+π4=3π+212.

 

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;2; -3) vànhận n→=2; −1; 5 làm vectơ pháp tuyến là

(P): 2(x - 1) - (y - 2) + 5(z + 3) = 0

Û 2x - 2 - y + 2 + 5z + 15 = 0

Û 2x - y + 5z + 15 = 0.

Đáp án đúng là: A

Số phức z₁ + z₂ bằng

z₁ + z₂ = (4 + 3i) + (5 - 7i) = 9 - 4i.

Đáp án đúng là: B

Hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong y = sin x, trục hoành và hai đườngthẳngx= 0, x =p. Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox là

V=π∫0πsin2xdx.

Đáp án đúng là: D

Số phức z = 2 -5i có phần ảo bằng -5.

Đáp án đúng là: C

∫02fx+gxdx=∫02fxdx+∫02gxdx

= 7 + 3 = 10.

Đáp án đúng là: D

z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² + 2z + 10 = 0

Nên theo Vi-ét ta có z₁z₂ = 10

Þ |z₁z₂| = |z₁|.|z₂| = 10

⇒z1=z2=10

Khi đó giá trị của biểu thức |z₁| + |z₂| bằng

z1+z2=10+10=210.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

f (x).f '(x)+ 18x² = (3x² + x).f '(x)+ (6x + 1).f '(x) (1)

+) Xét phương trình f '(x) = 0

Khi đó phương trình (1) trở thành 18x² = 0 Û x = 0

Mà f '(0)¹0 nên suy ra f '(x) ¹ 0 với mọi x

+) Với x = 0 thay vào (1) ta có

f '(0) =0 (vô lí nên suy ra x = 0 không là nghiệm của phương trình)

Lấy nguyên hàm hai vế của phương trình (1) nên suy ra

1⇔∫fx.f'x+18x2dx=∫3x2+xf'x+6x+1fxdx

⇔∫fx.f'x+18x2dx=∫3x2+xf'x+3x2+x'fxdx

⇔12f2x+6x3=3x2+xfx+C (2)

Mà f (0) = 0 nên thay x = 0 vào (2) ta thấy

(2) Û C = 0

Vậy suy ra 12f2x+6x3=3x2+xfx

⇔f2x−23x2+xfx+12x3=0

⇔f2x−6x2.fx−2xfx+12x3=0

⇔fxfx−6x2−2xfx−6x2=0

⇔fx−2xfx−6x2=0⇒fx=2x  fx=6x2⇒f'x=2    f'x=12x

Mà do f '(0) ¹ 0 nên suy ra ta chọn f (x) = 2x

Khi đó

∫232fx+2lnxdx=∫234x+2lnxdx

Đặt u=lnx⇒du=1xdx                dv=4x+2dx⇒v=2x2+2x

Nên suy ra ∫234x+2lnxdx

=2x2+2xlnx23−∫232x+2dx

=2x2+2xlnx23−x2+2x23

= 24ln 3 - 12ln 2 - 15 + 8

= -7 - 12ln 2 + 24ln 3.

Mà ta biết ∫232fx+2lnxdx=a+bln2+cln3

Nên suy ra được a = -7, b = -12, c = 24

Khi đó: P = 2a + 3b + c

= 2.(-7) + 3.(-12) + 24 = -26.

Đáp án đúng là: B

I=∫121x2dx=−∫12−1x2dx=−1x12=−12+1=12.

Đáp án đúng là: C

fx=1x⇒Fx=∫fxdx=∫1xdx

= ln |x| + C.

Đáp án đúng là: C

Với z = 4 + 3i, khi đó số phức liên hợp z¯ của z là z¯=4−3i.

Đáp án đúng là: D

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y = f (x), y = g (x) liên tục trên [a; b] và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) được tính theo công thức S=∫abfx−gxdx.