Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 1

Đáp án đúng là: C

Hàm số F (x) = x + $\frac{1}{x}$ (với x ≠ 0) là một nguyên hàm của hàm số f (x) nên đạo hàm hàm số F (x) ta tìm được f (x)

Vậy nên F(x) = f (x) = ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^{\text{'}}$= 1 − $\frac{1}{x^2}$.

Đáp án đúng là: B

Đặt u = x Þ du = dx

dv = coxdx Þ v = sinx + C                                   

Chọn C = 0 Þ v = sinx

Þ $\int xco\text{sxdx}$= xsinx − $\int \text{sinxdx}$

= xsinx + cosx + C₁

Chọn C₁ = 0 thì $\int xco\text{sxdx}$= xsinx + cosx.

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

x³ + 3x = 6x – 2 Û x³ – 3x + 2 = 0

Û (x³ – x) – (2x – 2) = 0

Û x(x – 1)(x + 1) – 2(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x² + x – 2) = 0

Û (x – 1)².(x + 2) = 0

Û $\left[\begin{array}{l}x=-2\\ x=1\end{array}\right.$

Đáp án đúng là: B

Phương trình đi qua hai điểm A (1; 0; 2) và B (4; 1; 0) nên vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là vectơ $\overrightarrow{AB}$: $\overrightarrow{u_d}$= $\overrightarrow{AB}$ = (3; 1; −2)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng có là $\overrightarrow{u_d}$= (3; 1; −2) và đi qua điểm A(1; 0; 2) là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=t\\ z=2-2t\end{array}\right.$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: |z| (z − 3 − i) + 2i = (4 − i) z

Û  |z|.z – 3.|z| −|z|. i) + 2i = 4z – z.i

Û z(|z| – 4 + i) = 3|z| + (|z| – 2)i

Lấy môđun hai vế ta được:

|z|.$\sqrt{{\left(\left|z\right|-4\right)}^2+1^2}$= $\sqrt{{\left(3\left|z\right|\right)}^2+{\left(\left|z\right|-2\right)}^2}$

Đặt |z| = t, t ≥ 0 ta được:

t.$\sqrt{{\left(t-4\right)}^2+1}$= $\sqrt{9t^2+{\left(t-2\right)}^2}$

Û t²(t² – 8t + 16 + 1) = 9t² + t² – 4t + 4

Û t⁴ – 8t³ + 7t² + 4t – 4 = 0

Û (t – 1)(t³ – 7t² + 4) = 0

Giải phương trình trên ta sẽ được 3 giá trị t thỏa mãn t ≥ 0

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Ta có: f(x) = 5^x nên

Þ f (x) = $\int 5^{\text{x}}d\text{x}$= $\frac{5^{\text{x}}}{\ln 5}$ + C (1)

Thay x = 0 vào (1) ta được:

f(0) = $\frac{5^0}{\ln 5}$+ C = $\frac{1}{\ln 5}$ + C

mà f (0) = $\frac{2}{\ln 5}$ 

Þ C = $\frac{1}{\ln 5}$

Vậy nên f (x) = $\frac{5^{\text{x}}}{\ln 5}$+ $\frac{1}{\ln 5}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{z}{4+3i}$ = 2

Û z = 2. (4 + 3i) = 8 + 6i

Môđun của số phức z là: |z| = $\sqrt{8^2+6^2}$= 10.

Đáp án đúng là: B

Giả sử mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d): $\frac{x-1}{-2}$ = $\frac{y+2}{-1}$ = $\frac{z-3}{2}$ 

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d):

Mà ${\overrightarrow{u}}_{\left(d\right)}$ = (− 2; − 1; 2)

Þ ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}$ = (2; 1; − 2)

Do mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O (0; 0; 0) và có ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}$ = (2; 1; − 2) nên phương trình mặt phẳng (P) là:  

2x + y – 2z = 0

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x + y − 2z = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có: x² + y² + z² − 4x + 2y + 6z − 11 = 0

Û (x − 2)² + (y + 1)² + (z + 3)² = 25

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I (a; b; c) bán kính R có phương trình chính tắc của (S) là:

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²

Do đó bán kính của mặt cầu (S): (x − 2)² + (y + 1)² + (z + 3)² = 25 là 5.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int f\left(x\right)d\text{x}$= $\int \left(\frac{1}{{\cos }^2\text{x}}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)d\text{x}$

= $\int \frac{1}{{\cos }^2\text{x}}d\text{x}$− $\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}d\text{x}$

= tanx − (−cotx) + C

= tanx + cotx + C.

Đáp án đúng là: B

Với A (1; 2; 2) và B (3; 1; 0) ta có độ dài đoạn thẳng AB là:

|AB| = $\sqrt{{(3-1)}^2+{(1-2)}^2+{(0-2)}^2}$= 3.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là A

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d vậy nên vectơ chỉ phương của đường thẳng d chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):

${\overrightarrow{u}}_{\left(d\right)}$= ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}$= (2; −1; 3)

Vậy ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}$= (2; −1; 3).

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[4+f\left(x\right)\right]d\text{x}$ = $\underset{0}{\overset{3}{\int }}4d\text{x}$+ $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}$

=${\left.4\text{x}\right|}_0^3$+ ${\left.\text{F}\left(\text{x}\right)\right|}_0^3$

= 4.3 − 4.0 + ${\left.\left(x^2+x-1\right)\right|}_0^3$

= 12 + 3² + 3 − 1 – (0² + 0 – 1)

= 24.

Đáp án đúng là D

Với $\overrightarrow{a}$ = (1; 2; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (3; 2; 1) ta có:

$\overrightarrow{a}$.$\overrightarrow{b}$ = 1.3 + 2.2 + 3.1 = 10.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Ta có: z = 1 + 2i nên phần thực của số phức z là 1 và phần ảo của số phức z là 2.

Nên tổng phần thực và phần ảo của số phức z là: 1 + 2 = 3.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int 2^x{.3}^{x}d\text{x}$= $\int 6^{x}d\text{x}$= $\frac{6^{\text{x}}}{\ln 6}$+ C.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Với A (1; 2; 2) và B (3; 1; 0) ta có:

$\overrightarrow{AB}$ = (3 − 1; 1 − 2; 0 − 2)

= (2; −1; −2).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Với A(3; −1; 1), B(−1; 0; 0), C(0; 1; 0), D(0; 0; 2) ta có:

• $\overrightarrow{BA}$ = (4; −1; 1);

• $\overrightarrow{BC}$ = (1; 1; 0);

• $\overrightarrow{B\text{D}}$ = (1; 0; 2);

• $\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{B\text{D}}\right]$ = (1.2 − 0.0; 0.1 − 1.2; 1.0 − 1.1)

Þ $\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{B\text{D}}\right]$ = (2; −2; −1);

 • $\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{B\text{D}}\right]$.$\overrightarrow{BA}$= 4.2 + (−1). (−2) + 1. (−1) = 9

V_ABCD = $\frac{1}{6}$.$\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{B\text{D}}\right]$.$\overrightarrow{BA}$ = $\frac{1}{6}$.9 = $\frac{3}{2}$ (đvtt)

S_BCD = $\frac{1}{2}$.$\left|\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{B\text{D}}\right]\right|$ = $\frac{1}{2}$.$\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}$ = $\frac{3}{2}$ (đvdt)

Mặt khác: V_ABCD = $\frac{1}{3}$.AH. S_BCD

Þ AH = $\frac{3V_{ABC\text{D}}}{S_{BC\text{D}}}$= $\frac{3.\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}$ = 3.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Ta có: Phương trình mặt phẳng Oxy là: z = 0

Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng Oxy tạo ra đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên ta có:

2πR = 8π Þ R = 4

Khoảng cách từ điểm I(1; −2; 3) đến mặt phẳng Oxy là:

d(I, (Oxy)) = $\frac{\left|3\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}$= 3

Bán kính của mặt cầu (S) là: R₁ = $\sqrt{R^2+d^2}=\sqrt{4^2+3^2}$= 5

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính bằng 5 là:

(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 25.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Gọi điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A xuống mặt phẳng (P)

Gọi AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d, H ∈ d

Þ AM ≤ AH

Theo đề bài, khoảng cách từ A đến (d) đạt giá trị nhỏ nhất

Þ AM = AH và điểm M trùng với điểm H, M ∈ d

Vì AM ⊥ (P), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM.

Mặt phẳng (P): 4x − y + 2z + 13 = 0 có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_{\left(P\right)}$ = (4; −1; 2)

Þ ${\overrightarrow{u}}_{AM}$ = (4; −1; 2)

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{AM}$= (4; −1; 2) và đi qua điểm A(1; 2; 3) nên có phương trình tham số là: $\left\{\begin{array}{l}x=1+4t\\ y=2-t\\ z=3+2t\end{array}\right.$

• M ∈ d Þ Điểm M có tọa độ là: M(1 + 4t; 2 – t; 3 + 2t)

• M ∈ (P) Þ Thay tọa điểm M (1 + 4t; 2 – t; 3 + 2t) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

4. (1 + 4t) – (2 – t) + 2. (3 + 2t) + 13 = 0

Þ 4 + 16t – 2 + t + 6 + 4t + 13 = 0

Þ 21t = –21

Þ t = –1

Þ Điểm M có tọa độ là: M(–3; 3; 1)

Với B(0; 1; −6) và M(–3; 3; 1) ta có:

$\overrightarrow{BM}$ = (–3 – 0; 3 – 1; 1 – (–6)) = (–3; 2; 7)

Vậy $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{BM}$ = (3; −2; −7).

Đáp án đúng là: D

Giả sử: z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Þ $\overline{z}$= a – bi

Þ $\overline{z}$. z  = (a + bi)(a – bi) = a² + b²

Ta có: ( + 2i). (z − 4)

= $\overline{z}$. z – 4 + 2iz – 8i

= a² + b² – 4. (a – bi) + 2i. (a + bi) – 8i

= a² + b² – 4a + 4bi + 2ai + 2bi² – 8i

= a² + b² – 4a – 2b + (4b + 2a – 8). i

Vì ($\overline{z}$ + 2i). (z − 4) là số thuần ảo nên a² + b² – 4a – 2b = 0

Û (a – 2)² + (b – 1)² = 5

Û |a – 2 + (b – 1).i|  = $\sqrt{5}$

Û |a + bi – 2 – i| = $\sqrt{5}$

Û |z – 2 – i| = $\sqrt{5}$

Ta có: w = (1 + i). z + 1 − 2i

Þ w = (1 + i). z – (1 + i).(2 + i) + 1 − 2i + (1 + i).(2 + i)

Þ w = (1 + i). (z – 2 – i) + 1 − 2i + 2 + i + 2i + i²

Þ w = (1 + i). (z – 2 – i) + 1 − 2i + 2 + 3i – 1

Þ w = (1 + i). (z – 2 – i) + 2 + i

Þ w – 2 – i = (1 + i). (z – 2 – i)

Þ |w – 2 – i| = |(1 + i). (z – 2 – i)|

Þ |w – 2 – i| = |(1 + i)|. |(z – 2 – i)|

Þ |w – 2 – i| = $\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{5}=\sqrt{10}$

Gọi w = x + yi

Þ |x + yi − 2 – i| = $\sqrt{10}$

Þ |x – 2 + (y – 1)i| = $\sqrt{10}$

Þ (x − 2)² + (y – 1)² = 10

Vậy nên tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 + i). z + 1 − 2i là đường tròn có bán kính bằng $\sqrt{10}$

Đáp án đúng là: C

Ta có: Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là: $\frac{x}{2}$ + $\frac{y}{b}$ + $\frac{z}{c}$ = 1

Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm I (2; –3; 1) nên thay tọa độ điểm I vào phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) ta được: $\frac{2}{2}$ + $\frac{-3}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = 1

Þ $\frac{-3}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = 0 Þ $\frac{3}{b}$ = $\frac{1}{c}$

Þ b = 3c (1)

Với A(2; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ta có:

$\overrightarrow{OA}$ = (2; 0; 0), $\overrightarrow{OB}$ = (0; b; 0), $\overrightarrow{OC}$ = (0; 0; c)

Þ $\left[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right]=$bc

Þ $\left[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right].\overrightarrow{OA}$ = 2bc.

Thể tích tứ diện OABC là $\frac{1}{6}$.$\left[\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right].\overrightarrow{OA}$ = $\frac{1}{6}$.2bc = $\frac{1}{3}$bc.

Vì thể tích khối tứ diện OABC bằng 1 nên:

$\frac{1}{3}$bc = 1 Þ bc = 3 (2)

Thay (1) vào (2) ta có: 3c.c = 3

Þ c² = 1 Þ c = 1 (do c > 0)

Þ b = 3.1 = 3.

Do đó: b + c = 3 + 1 = 4.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Đặt t = $\sqrt{x}$ (t ≥ 0)

Þ t² = x

Þ 2tdt = dx

Đổi cận:

 Þ $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)}d\text{x}$= $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2t.f\left(t\right)}{t+1}dt$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2x.f\left(x\right)}{x+1}dx$ 

Mà $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)}d\text{x}$= 4

Þ $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{2x.f\left(x\right)}{x+1}dx$ = 4

Þ $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x.f\left(x\right)}{x+1}dx$ = 2

Đặt u = ln (x + 1) Þ du = $\frac{1}{x+1}$

dv = f (x)dx Þ v = f (x) + C

Chọn C = 0 Þ v = f (x)

Þ $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\ln \left(x+1\right)f\text{'}\left(x\right)d\text{x}$= ${\left.\left[f\left(x\right).\ln \left(x+1\right)\right]\right|}_1^2$ – $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$ 

= f (2). ln3 – f (1).ln2 – $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$

= 3.ln3 – 0.ln2 – $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$

= 3.ln3 – $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$

Mà $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\ln \left(x+1\right)f\text{'}\left(x\right)d\text{x}$= 1 + 3ln3

Þ$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$= –1

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x.f\left(x\right)}{x+1}dx$+=$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\left(x+1\right).f\left(x\right)}{x+1}dx$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}$

Þ E =$\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)d\text{x}$ = $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{x.f\left(x\right)}{x+1}dx$+$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{x+1}d\text{x}$ = 2 – 1 = 1.

Vậy ta chọn phương án B.