Đề kiểm tra Học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) - Đề 1

Đáp án đúng là: C

Đặt t = 1+x 

Þ t² = 1 + x Þ 2tdt = dx

Vậy ∫11+1+xdx= ∫2t1+tdt.

Đáp án đúng là: B

Ta có: Mỗi số phức z = x + yi được biểu diễn một điểm M (x; y)

Do đó số phức có điểm biểu diễn M (3; – 2) là z = 3 – 2i.

Đáp án đúng là: C

Đặt u = lnxÞ du = 1xdx

dv = xdx Þ v = 12x² + C

Chọn C = 0 ⇒ v = 12x²

Ta có: ∫12xlnxdx= lnx.12x212– ∫1212x2.1xdx

= ln2.12.4 – ln1. 12.1 – ∫12x2dx

= 2ln2 – x2412

= 2ln2 – 224−124

= 2ln2 – 1 + 14

= 2ln2 – 34

Mà ∫12xlnxdx= aln2 + b4

Þ a = 2, b = – 3

Do đó a + b = 2 + (– 3) =– 1.

Đáp án đúng là: D

Ta có: Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

V = π ∫abfx2dx

Vậy hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 1cosx, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = π4 quay quanh trục hoành ta được khối tròn xoay có thể tích bằng:

V = π. ∫0π41cosx2dx

= π. ∫0π41cos2xdx

= π. tanx0π4

= π. (tanπ4 – tan0)

= π. (1 − 0)

= π.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Giả sử z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Þ số phức liên hợp của z là  = a − bi

Thay z = a + bi và  = a − bi vào 2z + 3 = 15 − 4i ta được:

2. (a + bi) + 3. (a − bi) = 15 − 4i

Û 2a + 2bi + 3a – 3bi = 15 – 4i

Û 5a − bi = 15 − 4i

⇔5a=15−b=−4⇔a=3b=4

Do đó z = 3 + 4i có phần ảo là 4.

Đáp án đúng là A, B

Ta có: w = 2 + i nên w¯ = 2 −i

Þ iz + w¯= i. (4 + 3i) + 2 –i

 = 4i + 3i² + 2 – i

= 2 + 3i + 3i²

Ta lại có i² = − 1

Þ iz + w¯= 2 + 3i − 3 = − 1 + 3i.

Vậy ta chọn phương án A, B.

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của MN nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ MN→

Với M (2; 1; 0) và N (4; 3; 2) ta có:

MN→= (2; 2; 2)

Þ MN→ = (1; 1; 1)

Gọi I là trung điểm của đoạn MN nên tọa độ điểm I là:

x_I = xM+xN2 = 2+42= 3

y_I = yM+yN2 = 1+32= 2

z_I = zM+zN2= 0+22= 1

Vậy tọa độ điểm I là I(3; 2; 1)

Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của MN nên mặt phẳng (P) đi qua điểm I(3; 2; 1)

Mặt phẳng (P) có VTPT là n(P)→= (1; 1; 1) và đi qua điểm I(3; 2; 1) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

1. (x− 3) + 1. (y − 2) + 1. (z − 1) = 0

Ûx + y + z − 6 = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x + y + z − 6 = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có: ∫1ax±bdx = 1a.ln|ax ± b|

Vậy nên ∫12x−4dx = 12ln|2x – 4| + C.

Đáp án đúng là: A

Với z = 4 + 3i và w = 2 + i ta có:

z + w = 4 + 3i + 2 + i

= 6 + 4i.

Đáp án đúng là: C

Hàm số F (x) = x + 1x (với x ≠ 0) là một nguyên hàm của hàm số f (x) nên đạo hàm hàm số F (x) ta tìm được f (x)

Vậy nên F(x) = f (x) = x+1x'= 1 − 1x2.

Đáp án đúng là: B

Đặt u = x Þdu = dx

dv = coxdx Þv = sinx + C                                   

Chọn C = 0 Þv = sinx

Þ ∫xcosxdx= xsinx − ∫sinxdx

= xsinx + cosx + C₁

Chọn C₁ = 0 thì ∫xcosxdx= xsinx + cosx.

Đáp án đúng là: A

Ta có: f '(x) = (x³ + 3x)' = 3x² + 3

f '(1) = 3.1² + 3 = 6

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và điểm M₀ (x₀; y₀) ∈ (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M₀ có dạng y = f'(x₀)(x − x₀)+ y₀

Vậy nên phương trình đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm M (1; 4) là:

y = 6. (x − 1) + 4

Þ y = 6x − 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

x³ + 3x = 6x – 2 Û x³ – 3x + 2 = 0

Û (x³ – x) – (2x – 2) = 0

Û x(x – 1)(x + 1) – 2(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x² + x – 2) = 0

Û (x – 1)².(x + 2) = 0

Û x=−2x=1

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là:

x³ + 3x = 0 Û x=0x2=−3vl

Û x = 0

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và trục hoành là:

6x – 2 = 0 Û x = 13

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), (d) và trục hoành là:

S = ∫013x3+3x + ∫131x3+3x−6x+2dx

S = ∫013x3+3x + ∫131x3−3x+2dx

=x44+32x2013+x44−32x2+2x131

=1344+32.132+144−32.12+2.1−1344+32.132−2.13

 

=181.4+32.19+14−32+2−181.4+32.19−23

=16+14−32+2+16−23

=512

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Phương trình đi qua hai điểm A (1; 0; 2) và B (4; 1; 0) nên vectơ chỉ phương của đường thẳng đó là vectơ AB→: ud→= AB→ = (3; 1; −2)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng có là ud→= (3; 1; −2) và đi qua điểm A(1; 0; 2) là: x=1+3ty=tz=2−2t.

Đáp án đúng là: D

Ta có: |z| (z − 3 − i) + 2i = (4 − i) z

Û |z|.z – 3.|z| −|z|. i) + 2i = 4z – z.i

Û z(|z| – 4 + i) = 3|z| + (|z| – 2)i

Lấy môđun hai vế ta được:

|z|.z−42+12= 3z2+z−22

Đặt |z| = t, t ≥ 0 ta được:

t.t−42+1= 9t2+t−22

Û t²(t² – 8t + 16 + 1) = 9t² + t² – 4t + 4

Û t⁴ – 8t³ + 7t² + 4t – 4 = 0

Û (t – 1)(t³ – 7t² + 4) = 0

Giải phương trình trên ta sẽ được 3 giá trị t thỏa mãn t ≥ 0

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Ta có: f(x) = 5^x nên

Þ f (x) = ∫5xdx= 5xln5 + C (1)

Thay x = 0 vào (1) ta được:

f(0) = 50ln5+ C = 1ln5 + C

mà f (0) = 2ln5 

Þ C = 1ln5

Vậy nên f (x) = 5xln5+ 1ln5.

Đáp án đúng là: C

Ta có: z4+3i = 2

Û z = 2. (4 + 3i) = 8 + 6i

Môđun của số phức z là: |z| = 82+62= 10.

Đáp án đúng là: B

Giả sử mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d): x−1−2 = y+2−1 = z−32 

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d):

Mà u→d = (− 2; − 1; 2)

Þ n→P = (2; 1; − 2)

Do mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ O (0; 0; 0) và có n→P = (2; 1; − 2) nên phương trình mặt phẳng (P) là:  

2x + y – 2z = 0

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x + y − 2z = 0.

Đáp án đúng là: C

Ta có: x² + y² + z² − 4x + 2y + 6z − 11 = 0

Û (x − 2)² + (y + 1)² + (z + 3)² = 25

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I (a; b; c) bán kính R có phương trình chính tắc của (S) là:

(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²

Do đó bán kính của mặt cầu (S): (x − 2)² + (y + 1)² + (z + 3)² = 25 là 5.

Đáp án đúng là: A

Ta có: ∫fxdx= ∫ 1cos2x−1sin2xdx

= ∫ 1cos2xdx− ∫1sin2xdx

= tanx − (−cotx) + C

= tanx + cotx + C.

Đáp án đúng là: B

Với A (1; 2; 2) và B (3; 1; 0) ta có độ dài đoạn thẳng AB là:

|AB| = (3−1)2+(1−2)2+(0−2)2= 3.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là A

Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d vậy nên vectơ chỉ phương của đường thẳng d chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):

u→d= n→P= (2; −1; 3)

Vậy n→P= (2; −1; 3).

Đáp án đúng là: B

Ta có: ∫034+fxdx = ∫034dx+ ∫03fxdx

=4x03+ Fx03

= 4.3 − 4.0 + x2+ x − 103

= 12 + 3² + 3 − 1 – (0² + 0 – 1)

= 24.

Đáp án đúng là D

Với a→ = (1; 2; 3) và b→ = (3; 2; 1) ta có:

a→.b→ = 1.3 + 2.2 + 3.1 = 10.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Ta có: z = 1 + 2i nên phần thực của số phức z là 1 và phần ảo của số phức z là 2.

Nên tổng phần thực và phần ảo của số phức z là: 1 + 2 = 3.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có: ∫2x.3xdx= ∫6xdx= 6xln6+ C.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Với A (1; 2; 2) và B (3; 1; 0) ta có:

AB→ = (3 − 1; 1 − 2; 0 − 2)

= (2; −1; −2).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Với A(3; −1; 1), B(−1; 0; 0), C(0; 1; 0), D(0; 0; 2) ta có:

• BA→ = (4; −1; 1);

• BC→ = (1; 1; 0);

• BD→ = (1; 0; 2);

• BC→,BD→ = (1.2 − 0.0; 0.1 − 1.2; 1.0 − 1.1)

Þ BC→,BD→ = (2; −2; −1);

 • BC→,BD→.BA→= 4.2 + (−1). (−2) + 1. (−1) = 9

V_ABCD = 16.BC→,BD→.BA→ = 16.9 = 32 (đvtt)

S_BCD = 12.BC→,BD→ = 12.22+−22+−12 = 32 (đvdt)

Mặt khác: V_ABCD = 13.AH. S_BCD

Þ AH = 3VABCDSBCD= 3.3232 = 3.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Ta có: Phương trình mặt phẳng Oxy là: z = 0

Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng Oxy tạo ra đường tròn giao tuyến có chu vi bằng 8π nên ta có:

2πR = 8π Þ R = 4

Khoảng cách từ điểm I(1; −2; 3) đến mặt phẳng Oxy là:

d(I, (Oxy)) = 302+02+12= 3

Bán kính của mặt cầu (S) là: R₁ = R2+d2=42+32= 5

Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3) và bán kính bằng 5 là:

(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 25.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Gọi điểm M là hình chiếu vuông góc của điểm A xuống mặt phẳng (P)

Gọi AH là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d, H ∈ d

ÞAM ≤ AH

Theo đề bài, khoảng cách từ A đến (d) đạt giá trị nhỏ nhất

Þ AM = AH và điểm M trùng với điểm H, M ∈ d

Vì AM ⊥ (P), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AM.

Mặt phẳng (P): 4x − y + 2z + 13 = 0 có vectơ pháp tuyến là n→(P) = (4; −1; 2)

Þ u→AM = (4; −1; 2)

Đường thẳng AM có vectơ chỉ phương là u→AM= (4; −1; 2) và đi qua điểm A(1; 2; 3) nên có phương trình tham số là: x=1+4ty=2−tz=3+2t

• M ∈ d Þ Điểm M có tọa độ là: M(1 + 4t; 2 – t; 3 + 2t)

• M ∈ (P)Þ Thay tọa điểm M (1 + 4t; 2 – t; 3 + 2t) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

4. (1 + 4t) – (2 – t) + 2. (3 + 2t) + 13 = 0

Þ 4 + 16t – 2 + t + 6 + 4t + 13 = 0

Þ 21t = –21

Þ t = –1

Þ Điểm M có tọa độ là: M(–3; 3; 1)

Với B(0; 1; −6) và M(–3; 3; 1) ta có:

BM→ = (–3 – 0; 3 – 1; 1 – (–6)) = (–3; 2; 7)

Vậy u→ = BM→ = (3; −2; −7).

Đáp án đúng là: D

Giả sử: z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Þ z¯= a – bi

Þ z¯. z  = (a + bi)(a – bi) = a² + b²

Ta có: ( + 2i). (z − 4)

= z¯. z – 4 + 2iz – 8i

= a² + b² – 4. (a – bi) + 2i. (a + bi) – 8i

= a² + b² – 4a + 4bi + 2ai + 2bi² – 8i

= a² + b² – 4a – 2b + (4b + 2a – 8). i

Vì (z¯ + 2i). (z − 4) là số thuần ảo nên a² + b² – 4a – 2b = 0

Û (a – 2)² + (b – 1)² = 5

Û |a – 2 + (b – 1).i|  = 5

Û |a + bi – 2 – i| = 5

Û |z – 2 – i| = 5

Ta có: w = (1 + i). z + 1 − 2i

Þw = (1 + i). z – (1 + i).(2 + i) + 1 − 2i + (1 + i).(2 + i)

Þw = (1 + i). (z – 2 – i) + 1 − 2i + 2 + i + 2i + i²

Þw = (1 + i). (z – 2 – i) + 1 − 2i + 2 + 3i – 1

Þw = (1 + i). (z – 2 – i) + 2 + i

Þw – 2 – i = (1 + i). (z – 2 – i)

Þ |w – 2 – i| = |(1 + i). (z – 2 – i)|

Þ |w – 2 – i| = |(1 + i)|. |(z – 2 – i)|

Þ |w – 2 – i| = 12+12.5=10

Gọi w = x + yi

Þ |x + yi − 2 – i| = 10

Þ |x – 2 + (y – 1)i| = 10

Þ (x − 2)² + (y – 1)² = 10

Vậy nên tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 + i). z + 1 − 2i là đường tròn có bán kính bằng 10

Đáp án đúng là: C

Ta có: Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng (P) là: x2 + yb + zc = 1

Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm I (2; –3; 1) nên thay tọa độ điểm I vào phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) ta được: 22 + −3b + 1c = 1

Þ −3b + 1c = 0 Þ 3b = 1c

Þ b = 3c (1)

Với A(2; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) ta có:

OA→ = (2; 0; 0), OB→ = (0; b; 0), OC→ = (0; 0; c)

Þ OB→,OC→=bc

Þ OB→,OC→.OA→ = 2bc.

Thể tích tứ diện OABC là 16.OB→,OC→.OA→ = 16.2bc = 13bc.

Vì thể tích khối tứ diện OABC bằng 1 nên:

13bc = 1 Þ bc = 3 (2)

Thay (1) vào (2) ta có: 3c.c = 3

Þ c² = 1 Þ c = 1 (do c > 0)

Þ b = 3.1 = 3.

Do đó: b + c = 3 + 1 = 4.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Đặt t = x (t ≥ 0)

Þ t² = x

Þ 2tdt = dx

Đổi cận:

x	1	4
t	1	2

 Þ ∫14fxx+1dx= ∫122t.ftt+1dt = ∫122x.fxx+1dx 

Mà ∫14fxx+1dx= 4

Þ ∫122x.fxx+1dx = 4

Þ ∫12x.fxx+1dx = 2

Đặt u = ln (x + 1) Þ du = 1x+1

dv = f (x)dx Þ v = f (x) + C

Chọn C = 0 Þ v = f (x)

Þ ∫12lnx+1f'xdx= fx.lnx+112 – ∫12fxx+1dx 

= f (2). ln3 – f (1).ln2 – ∫12fxx+1dx

= 3.ln3 – 0.ln2 – ∫12fxx+1dx

= 3.ln3 – ∫12fxx+1dx

Mà ∫12lnx+1f'xdx= 1 + 3ln3

Þ∫12fxx+1dx= –1

Ta có: ∫12x.fxx+1dx+=∫12fxx+1dx = ∫12x+1.fxx+1dx = ∫12fxdx

Þ E =∫12fxdx = ∫12x.fxx+1dx+∫12fxx+1dx = 2 – 1 = 1.

Vậy ta chọn phương án B.