Đề kiểm tra Hàm số liên tục lớp 11 (có lời giải) - Đề 3

Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} = {m^2}\)\( \Leftrightarrow 3 = {m^2}\)\( \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3 \).

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {x + 3} \right)\)\( = 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( {mx + 2} \right)\)\( =  - m + 2\).

\(f\left( { - 1} \right) =  - m + 2\).

Để hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x =  - 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 2 =  - m + 2\)\( \Leftrightarrow m = 0\).

Chọn B

Ta có: \(f\left( 3 \right) = m\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{x - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 2\).

Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f(2) = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {4x - 7} - 1}}{{{x^2} - 4}} = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\).

Vậy hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

Ta có: \(g(2) = \frac{{1 - 2}}{4} = - \frac{1}{4};\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{1 - x}}{4}} \right) = - \frac{1}{4}\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{2 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 2 - 4}}{{(2 - x)(\sqrt {x + 2} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 1}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = - \frac{1}{4}{\rm{. }}\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = - \frac{1}{4} = g(2)\).

Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

Ta có: \(f(1) = - \frac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}\),

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}{\rm{. }}\)

Vậy \(f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - \frac{1}{2}\) nên hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Ta có: \(g(1) = - 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1\) nên \(g(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)\).

Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f( - 1) = 10 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2 - \sqrt {x + 5} }}{{{x^3} - 5x - 4}} = \frac{1}{8} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)\).

\( \Rightarrow \) Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)\).

Vậy hàm số gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 1\).

-Ta có: \(g( - 1) = 2a - 1\).

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = - 2\].

Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = - 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g(x) = g( - 1)\).

\( \Rightarrow 2a - 1 = - 2 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{. }}\)

a) Hàm số \(f(x)\) có tập xác định là \(( - \infty ;5) \cup (5; + \infty )\) và \(f(x)\) là hàm phân thức nên nó liên tục trên mỗi khoảng \(( - \infty ;5),(5; + \infty )\).

b) Hàm số \(f(x) = \sin x - 2\cos x + 3\) là hàm số lượng giác có tập xác định là \(\mathbb{R}\) nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).

c) Tập xác định của hàm số là \(D = [ - 2;2]\).

Với mỗi \({x_0} \in ( - 2;2)\); ta luôn có \(f\left( {{x_0}} \right) = \sqrt {4 - x_0^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\), vì vậy hàm số liên tục trên khoảng \(( - 2;2)\).

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \sqrt {4 - {2^2}} = 0\) và \(f(2) = 0\) nên hàm số liên tục về bên trái tại điểm \({x_0} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \sqrt {4 - {{( - 2)}^2}} = 0\) và \(f( - 2) = 0\) nên hàm số liên tục về bên phải tại điểm \({x_0} = - 2\).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn \([ - 2;2]\).

d) Tập xác định của hàm số là \(D = [ - 1;2]\).

Với mỗi \({x_0} \in ( - 1;2)\), ta luôn có \(f\left( {{x_0}} \right) = \sqrt {2 - {x_0}} + 3\sqrt {{x_0} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\), vì vậy hàm số liên tục trên khoảng \(( - 1;2)\).

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \sqrt {2 - 2} + 3\sqrt {2 + 1} = 3\sqrt 3 \) và \(f(2) = 3\sqrt 3 \) nên hàm số liên tục về bên trái tại điểm \({x_0} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \sqrt {2 + 1} + 3\sqrt { - 1 + 1} = \sqrt 3 \) và \(f( - 1) = \sqrt 3 \) nên hàm số liên tục về bên phải tại điểm \({x_0} = - 1\).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn \([ - 1;2]\).

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 0\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0\). Nhưng do \(f(0) = 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\) nên hàm số \(f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\).

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} [x(2 - x)] = - 8 = f( - 2)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = 4 - 2a + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} [x(2 - x)] = 0 = f(2)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = 4 + 2a + b\end{array}\)

Hàm số liên tục tại \(x = - 2\) và \(x = 2\) khi và chỉ khi

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 2a + b = - 8}\\{4 + 2a + b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + b = - 12}\\{2a + b = - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = - 8}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Vậy \(a = 2,b = - 8\) là các giá trị cần tìm.

Hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), do đó \({x_0} = 0\) thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = {0^2} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} ( - x) = 0\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 0\), suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0\).

Lại có \(f(0) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\). Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 0\).

Vì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\) nên hàm số \(2f(x)\) cũng liên tục tại \(x = 1\).

Mà hàm số \(g(x)\) liên tục tại \(x = 1\). Do đó, hàm số \(y = 2f(x) - g(x)\) liên tục tại \(x = 1\).

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [2f(x) - g(x)] = 2f(1) - g(1)\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [2f(x) - g(x)] = 3\) và \(f(1) = 2\) nên ta có \(3 = 2.2 - g(1) \Leftrightarrow g(1) = 1\).

Vậy \(g(1) = 1\).

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\] và \[x = 0 \in D\].

\[f\left( 0 \right) = m + 1\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = m + 1\].

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}} \right) = \]\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = - 1\].

Để hàm liên tục tại \[x = 0\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\]\( \Leftrightarrow m + 1 = - 1 \Leftrightarrow m = - 2\).

Vậy \[m = - 2\] thỏa mãn đề bài.

Hàm số \(P(t)\) trên \((0;4]\) có công thức:

\(P(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2&{{\rm{ khi }}}&{0 < t \le 1}\\3&{{\rm{ khi }}}&{1 < t \le 2}\\4&{{\rm{ khi }}}&{2 < t \le 3}\\5&{{\rm{ khi }}}&{3 < t \le 4}\end{array}} \right.\)(\(P\)tính theo chục nghìn đồng, \(t\) tính theo giờ).

Đồ thị của hàm số \(P(t)\) như Hình 1.

Trên mỗi nữa khoảng \((0;1],(1;2],(2;3]\) và \((3;4]\), hàm số đều có dạng \(P(t) = c\) (\[c\]là hằng số) nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng này.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} 2 = 2;\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} 3 = 3\). Do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} P(t) \ne \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} P(t)\) nên hàm số không liên tục tại điểm \(t = 1\).

Tương tự, chỉ ra được hàm số không liên tục tại các điểm \(t = 2\) và \(t = 3\).

Vậy hàm số liên tục trên các nửa khoảng \((0;1],(1;2],(2;3]\) và \[\left( {3;4} \right];\]gián đoạn tại các điểm \(t = 1,t = 2\) và \(t = 3\).