Đề kiểm tra Hàm số liên tục lớp 11 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}}\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2\\mx + m + 1\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\end{array} \right.\,\,\) liên tục tại điểm \(x = 2\).
\(m = \frac{1}{6}\).
\(m = - \frac{1}{6}\).
\(m = - \frac{1}{2}\).
\(m = \frac{1}{2}\).
Chọn B
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1}}{x} = \frac{1}{2}\).
\(f\left( 2 \right) = 3m + 1\).
Để hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\)\( \Leftrightarrow 3m + 1 = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow m = - \frac{1}{6}\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{{{x^2}}}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ne 0\\2a - \frac{5}{4}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x = 0\end{array} \right.\). Tìm các giá trị thực của tham số \(a\) để hàm số\(f\left( x \right)\)liên tục tại \(x = 0\).
\(a = - \frac{3}{4}\).
\(a = \frac{4}{3}\).
\(a = - \frac{4}{3}\).
\(a = \frac{3}{4}\).
Chọn D
+ Ta có \(f\left( 0 \right) = 2a - \frac{5}{4}\).
+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^2} + 4} - 2}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^2} + 4} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 4} + 2}}} \right) = \frac{1}{4}.\)
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0\) khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow 2a - \frac{5}{4} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = \frac{3}{4}\).
Tìm \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}}&{{\rm{khi}}}&{x \ne 1}\\a&{{\rm{khi}}}&{x = 1}\end{array}} \right.\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
\(a = 1\).
\(a = 0\).
\(a = 2\).
\(a = - 1\).
Chọn C
Tập xác định \[D = R\].
\[f\left( 1 \right) = a\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = 2\].
\[f\left( x \right)\] liên tục tại \[{x_0} = 1\] khi và chỉ khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow a = 2\].
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số f(x)=x2−x−2x−2 khi x≠2m khi x=2 liên tục tại x=2.
\(m = 3.\)
\(m = 1.\)
\(m = 2.\)
\(m = 0.\)
Chọn A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x + 1)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 1) = 3.\)
Hàm số liên tục tại x=2 \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow m = 3.\)
Để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}}\quad khi\;\;x \ne 1\\m\quad \quad \quad \quad \quad khi\;\;x = 1\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 1\) thì giá trị \(m\) bằng
\(0,5\).
\(1,5\).
\(1\).
\(2\).
Chọn A
\(f\left( 1 \right) = m\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^2} - 3x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2x - 1}}{2} = \frac{1}{2}\).
Để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).
Cho hàm số fx=x2+x−2x−1 khi x≠13m khi x=1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số gián đoạn tại \[x = 1.\]
\[m \ne 2.\]
\[m \ne 1.\]
\[m \ne 2.\]
\[m \ne 3.\]
Tập xác định của hàm số là \[\mathbb{R}.\]
Hàm số gián đoạn tại \[x = 1\] khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \ne f\left( 1 \right) \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{x - 1}} \ne 3m\]
\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 1}} \ne 3m \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 2} \right) \ne 3m \Leftrightarrow 3 \ne 3m \Leftrightarrow m \ne 1.\]
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}}&{{\rm{khi}}}&{x < 0}\\{m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}}&{{\rm{khi}}}&{x \ge 0}\end{array}} \right.\) liên tục tại \(x = 0\).
\[m = 1\].
\[m = - 2\].
\[m = - 1\].
\[m = 0\].
Ta có
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = m + 1\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}} \right) = \]\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = - 1\].
\[f\left( 0 \right) = m + 1\]
Để hàm liên tục tại \(x = 0\) thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\]\( \Leftrightarrow m + 1 = - 1 \Rightarrow m = - 2\).
Giá trị của tham số \[a\] để hàm số \[y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}}{\rm{ khi }}x \ne 2\\a + 2x{\rm{ }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x = 2\end{array} \right.\] liên tục tại \[x = 2\].
\(\frac{1}{4}\).
\(1\).
\[ - \frac{{15}}{4}\].
\(4\).
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = \frac{1}{4}\].
Hàm số liên tục tại \[x = 2\]\[ \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\]\[ \Leftrightarrow a + 4 = \frac{1}{4}\]\[ \Leftrightarrow a = - \frac{{15}}{4}\].
Hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1\,\,khi\,\,x \le 1\,\\x + m\,\,khi\,\,x > 1\,\end{array} \right.\] liên tục tại điểm \({x_0} = 1\) khi \(m\) nhận giá trị
\(m = - 2\).
\(m = 2\).
\(m = - 1\).
\(m = 1\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + m} \right) = 1 + m\). Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 2 = m + 1 \Leftrightarrow m = 1\).
Tìm tất cả các giá trị thực của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}\,\,\,\,\,khi\,\,x \ne 2\\{m^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 2\).
\(m = \sqrt 3 \).
\(m = 1\).
\(m = \pm \sqrt 3 \).
\(m = \pm 1\).
Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}} = {m^2}\)\( \Leftrightarrow 3 = {m^2}\)\( \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \).
Tìm \(m\) để hàm số \[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 1}}\,\,\,khi\,\,x > - 1\\mx + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le - 1\end{array} \right.\] liên tục tại điểm \(x = - 1\).
\(m = 2\).
\(m = 0\).
\[m = - 4\].
\(m = 4\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 1}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \left( {x + 3} \right)\)\( = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( {mx + 2} \right)\)\( = - m + 2\).
\(f\left( { - 1} \right) = - m + 2\).
Để hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = - 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 2 = - m + 2\)\( \Leftrightarrow m = 0\).
Cho hàm số f(x)=4x−7−1x2−4khi x>25x−92khi x≤2 Tìm giá trị của \(m\) để hàm số liên tục tại \(x = 3\)?
\(m = 1\).
\(m = 2\).
\(m = 3\).
\(m = 0\).
Chọn B
Ta có: \(f\left( 3 \right) = m\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^3} - 6{x^2} + 11x - 6}}{{x - 3}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 2\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho các hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {4x - 7} - 1}}{{{x^2} - 4}} & {\rm{khi}}\,x > 2\\\frac{{5x - 9}}{2} & & {\rm{khi}}\,x \le 2\end{array} \right.\) và \(g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{2 - x}}}&{{\rm{ khi }}x > 2}\\{\frac{{1 - x}}{4}}&{{\rm{ khi }}x \le 2}\end{array}} \right.\).
Khi đó:
a) Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
b) Hàm số \(g\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \({x_0} = 2\).
c) Giới hạn\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \frac{1}{4}{\rm{. }}\)
d) Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f(2) = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{\sqrt {4x - 7} - 1}}{{{x^2} - 4}} = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \frac{1}{2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2)\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Ta có: \(g(2) = \frac{{1 - 2}}{4} = - \frac{1}{4};\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\frac{{1 - x}}{4}} \right) = - \frac{1}{4}\);
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{2 - x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 2 - 4}}{{(2 - x)(\sqrt {x + 2} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{ - 1}}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = - \frac{1}{4}{\rm{. }}\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = - \frac{1}{4} = g(2)\).
Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{x}{2}{\rm{ khi }}x \le 1}\\{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ khi }}x > 1}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = {x^2} - 3x + 1\) . Khi đó:
a) Hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
b) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
c) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \frac{1}{2}{\rm{. }}\)
d) Hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(f(1) = - \frac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}\),
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}{\rm{. }}\)
Vậy \(f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - \frac{1}{2}\) nên hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Ta có: \(g(1) = - 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1\) nên \(g(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)\).
Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2 - \sqrt {x + 5} }}{{{x^2} - 5x - 4}} & {\rm{khi}}\,x > - 1\\{x^2} - 9x & & {\rm{khi}}\,x \le - 1\end{array} \right.\) và \(g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}}}&{{\rm{ khi }}x \ne - 1}\\{2a + 1}&{{\rm{ khi }}x = - 1}\end{array}} \right.\). Khi đó:
a) Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \frac{1}{8}\)
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 1\)
c) Hàm số \(g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = - 1\) khi \(a = \frac{1}{2}\)
d) Khi \(a = - \frac{1}{2}\) hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = - 1\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f( - 1) = 10 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2 - \sqrt {x + 5} }}{{{x^3} - 5x - 4}} = \frac{1}{8} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x)\).
\( \Rightarrow \) Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f(x)\).
Vậy hàm số gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 1\).
-Ta có: \(g( - 1) = 2a - 1\).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = - 2\].
Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = - 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g(x) = g( - 1)\).
\( \Rightarrow 2a - 1 = - 2 \Leftrightarrow a = \frac{{ - 1}}{2}{\rm{. }}\)
Xét được tính liên tục của hàm số:
a) \(f(x) = \frac{{3x - 2}}{{x - 5}}\) là hàm số liên tục trên mỗi khoảng \(( - \infty ;5),(5; + \infty )\).
b) \(f(x) = \sin x - 2\cos x + 3\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
c) \(f(x) = \sqrt {4 - {x^2}} \) là hàm số liên tục trên đoạn \([ - 2;2]\).
d) \(f(x) = \sqrt {2 - x} + 3\sqrt {x + 1} \) là hàm số liên tục trên đoạn \([ - 1;2]\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) Hàm số \(f(x)\) có tập xác định là \(( - \infty ;5) \cup (5; + \infty )\) và \(f(x)\) là hàm phân thức nên nó liên tục trên mỗi khoảng \(( - \infty ;5),(5; + \infty )\).
b) Hàm số \(f(x) = \sin x - 2\cos x + 3\) là hàm số lượng giác có tập xác định là \(\mathbb{R}\) nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
c) Tập xác định của hàm số là \(D = [ - 2;2]\).
Với mỗi \({x_0} \in ( - 2;2)\); ta luôn có \(f\left( {{x_0}} \right) = \sqrt {4 - x_0^2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\), vì vậy hàm số liên tục trên khoảng \(( - 2;2)\).
Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \sqrt {4 - {2^2}} = 0\) và \(f(2) = 0\) nên hàm số liên tục về bên trái tại điểm \({x_0} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \sqrt {4 - {{( - 2)}^2}} = 0\) và \(f( - 2) = 0\) nên hàm số liên tục về bên phải tại điểm \({x_0} = - 2\).
Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn \([ - 2;2]\).
d) Tập xác định của hàm số là \(D = [ - 1;2]\).
Với mỗi \({x_0} \in ( - 1;2)\), ta luôn có \(f\left( {{x_0}} \right) = \sqrt {2 - {x_0}} + 3\sqrt {{x_0} + 1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\), vì vậy hàm số liên tục trên khoảng \(( - 1;2)\).
Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \sqrt {2 - 2} + 3\sqrt {2 + 1} = 3\sqrt 3 \) và \(f(2) = 3\sqrt 3 \) nên hàm số liên tục về bên trái tại điểm \({x_0} = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \sqrt {2 + 1} + 3\sqrt { - 1 + 1} = \sqrt 3 \) và \(f( - 1) = \sqrt 3 \) nên hàm số liên tục về bên phải tại điểm \({x_0} = - 1\).
Vậy hàm số đã cho liên tục trên đoạn \([ - 1;2]\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}x&{{\rm{ n\~O u }}x > 0}\\1&{{\rm{ n\~O u }}x = 0}\\{ - x}&{{\rm{ n\~O u }}x < 0}\end{array}} \right.\) tại \(x = 0\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 0\). Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0\). Nhưng do \(f(0) = 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)\) nên hàm số \(f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\).
Cho hàm số \(y = f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + ax + b}&{{\rm{ khi }}|x| < 2}\\{x(2 - x)}&{{\rm{ khi }}|x| \ge 2}\end{array}} \right.\)
Tìm giá trị của các tham số \(a\) và \(b\) sao cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} [x(2 - x)] = - 8 = f( - 2)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = 4 - 2a + b\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} [x(2 - x)] = 0 = f(2)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = 4 + 2a + b\end{array}\)
Hàm số liên tục tại \(x = - 2\) và \(x = 2\) khi và chỉ khi
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 2a + b = - 8}\\{4 + 2a + b = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a + b = - 12}\\{2a + b = - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = - 8}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Vậy \(a = 2,b = - 8\) là các giá trị cần tìm.
Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x}&{{\rm{ ne\'a u }}x < 0}\\0&{{\rm{ ne\'a u }}x = 0}\\{{x^2}}&{{\rm{ ne\'a u }}x > 0}\end{array}} \right.\) tại điểm \({x_0} = 0\).
Hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), do đó \({x_0} = 0\) thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^2} = {0^2} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} ( - x) = 0\).
Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = 0\), suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = 0\).
Lại có \(f(0) = 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\). Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 0\).
Cho \(f(x)\) và \(g(x)\) là các hàm số liên tục tại \(x = 1\). Biết \(f(1) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [2f(x) - g(x)] = 3\).
Tính \(g(1)\).
Vì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\) nên hàm số \(2f(x)\) cũng liên tục tại \(x = 1\).
Mà hàm số \(g(x)\) liên tục tại \(x = 1\). Do đó, hàm số \(y = 2f(x) - g(x)\) liên tục tại \(x = 1\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [2f(x) - g(x)] = 2f(1) - g(1)\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} [2f(x) - g(x)] = 3\) và \(f(1) = 2\) nên ta có \(3 = 2.2 - g(1) \Leftrightarrow g(1) = 1\).
Vậy \(g(1) = 1\).
Tìm các giá trị của \(m\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}}&{{\rm{khi}}}&{x < 0}\\{m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}}&{{\rm{khi}}}&{x \ge 0}\end{array}} \right.\) liên tục tại \[x = 0\]?
Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\] và \[x = 0 \in D\].
\[f\left( 0 \right) = m + 1\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {m + \frac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right) = m + 1\].
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {\frac{{\sqrt {1 - x} - \sqrt {1 + x} }}{x}} \right) = \]\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2x}}{{x\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - 2}}{{\left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {1 + x} } \right)}} = - 1\].
Để hàm liên tục tại \[x = 0\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\]\( \Leftrightarrow m + 1 = - 1 \Leftrightarrow m = - 2\).
Vậy \[m = - 2\] thỏa mãn đề bài.
Tại một nhà gửi xe, phí gửi xe ô tô con được tính 20 nghìn đồng cho 1 giờ đầu và 10 nghìn đồng cho mỗi giờ tiếp theo. Gọi \(P(t)\) (tính theo chục nghìn đồng) là số tiền phí gửi xe ô tô con tại nhà gửi xe này trong \(t\) giờ (với \(0 < t \le 4\) ). Viết công thức xác định hàm số \(y = P(t)\), vẽ đồ thị hàm số và xét tính liên tục của nó trên nửa khoảng \((0;4]\).
Hàm số \(P(t)\) trên \((0;4]\) có công thức:
\(P(t) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}2&{{\rm{ khi }}}&{0 < t \le 1}\\3&{{\rm{ khi }}}&{1 < t \le 2}\\4&{{\rm{ khi }}}&{2 < t \le 3}\\5&{{\rm{ khi }}}&{3 < t \le 4}\end{array}} \right.\)(\(P\)tính theo chục nghìn đồng, \(t\) tính theo giờ).
Đồ thị của hàm số \(P(t)\) như Hình 1.
Trên mỗi nữa khoảng \((0;1],(1;2],(2;3]\) và \((3;4]\), hàm số đều có dạng \(P(t) = c\) (\[c\]là hằng số) nên hàm số liên tục trên mỗi khoảng này.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} 2 = 2;\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} P(t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} 3 = 3\). Do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} P(t) \ne \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} P(t)\) nên hàm số không liên tục tại điểm \(t = 1\).
Tương tự, chỉ ra được hàm số không liên tục tại các điểm \(t = 2\) và \(t = 3\).
Vậy hàm số liên tục trên các nửa khoảng \((0;1],(1;2],(2;3]\) và \[\left( {3;4} \right];\]gián đoạn tại các điểm \(t = 1,t = 2\) và \(t = 3\).
