Bài tập Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số [-3; 4].

Vì với mọi x₀ $\in$ (-3; 4), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {3 + x} + \sqrt {4 - x} } \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) nên hàm số liên tục trên khoảng (-3; 4). Ngoài ra, ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \left( {\sqrt {3 + x} + \sqrt {4 - x} } \right) = \sqrt 7 = f\left( { - 3} \right)\) nên hàm số liên tục phải tại x = -3.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {\sqrt {3 + x} + \sqrt {4 - x} } \right) = \sqrt 7 = f\left( 4 \right)\) nên hàm số liên tục trái tại x = 4.

Do đó, hàm số liên tục trên [-3; 4].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hàm số có nghĩa khi x² – 3x + 2 $\ne$ 0 $\iff$ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 1\end{array} \right.\).

Vậy hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1); (1; 2) và (2; +$\infty$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Nếu \(x \ne \sqrt 3 \) thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên \(\left( { - \infty ;\sqrt 3 } \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\). Tại \(x = \sqrt 3 \), ta có: \(f\left( {\sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{{x^2} - 3}}{{x - \sqrt 3 }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \frac{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {x - \sqrt 3 } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left( {x + \sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 \).

Do đó hàm số liên tục tại x = \(\sqrt 3 \).

Vậy hàm số liên tục trên ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: D = ℝ\{-2; -3}.

Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) là hàm phân thức và liên tục trên (-$\infty$; -3); (-3; -2) và (-2; +$\infty$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = x² – 2x + 2 xác định trên ℝ nên liên tục trên (1; +$\infty$).

Hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) xác định trên ℝ\{1} nên liên tục trên (1; +$\infty$).

Hàm số \(y = \sqrt {x - 1} \) xác định trên [1; +$\infty$) nên liên tục trên (1; +$\infty$).

Hàm số \(y = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2}}\) không xác định tại điểm x = 2 nên gián đoạn tại điểm đó. Vậy hàm số đã cho không liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - x - 1}}{{x - 1}}\) xác định trên khoảng (-$\infty$; 1) nên hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1).

b) Đúng. Hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x + 15} \) xác định trên khoảng (1; +$\infty$) nên hàm số liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

c) Đúng. h(1) = g(1) = \(\sqrt {1 + 15} = 4\).

d) Sai. Tập xác định của hàm số h(x) là ℝ.

Trên khoảng (-$\infty$; 1), ta có: \(h\left( x \right) = f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - x - 1}}{{x - 1}}\) nên hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1).

Trên khoảng (1; +$\infty$) ta có: \(h\left( x \right) = g\left( x \right) = \sqrt {x + 15} \) nên hàm số h(x) liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

Tại x = 1. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2{x^2} - x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + 1} \right) = 3\]

và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x + 15} = 4\]. Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right)\] nên không tồn tại \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} h\left( x \right)\].

Do đó, hàm số h(x) không liên tục tại x = 1 nên hàm số h(x) không liên tục trên ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện xác định: x + 4 $\ge$ 0 $\ge$ x -4.

Do đó f(x) liên tục trên [-4; +$\infty$).

b) Đúng. Vì hàm số f(x) liên tục trên [-4; +$\infty$) nên sẽ liên tục trên [-2; 5].

c) Sai. Hàm số xác định khi x $\ge$ -4.

d) Sai. Hàm số không xác định với mọi số thực.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \ne 1\end{array} \right.\).

Do đó, D = [-2; +$\infty$)\{1} nên hàm số liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

b) Đúng. Vì hàm số liên tục trên khoảng (1; +$\infty$) nên sẽ liên tục trên [2; 5].

c) Sai. Hàm số xác định khi x $\ge$ -2, x $\ne$ 1 nên không liên tục trên trên ℝ.

d) Sai. Hàm số không xác định tại x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. T(2) = 50000.

b) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} T\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( {35000x} \right) = 35000 \cdot 4 = 140000\).

c) Sai. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} T\left( x \right) = 120000 \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} T\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} T\left( x \right)\) suy ra hàm số không liên tục tại x = 4.

d) Đúng. Khi x > 4, T(x) = 35000x là hàm đa thức nên liên tục trên (4; +$\infty$).

Lại có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} T\left( x \right) = T\left( 4 \right)\) nên hàm số liên tục trên [4; +$\infty$).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Đồ thị hàm số C = C(t) biểu thị chi phí theo thời gian đỗ xe.

b) Sai. Từ đồ thị ta thấy hàm số C(t) bị gián đoạn tại t = 1 (giờ), t = 2 (giờ), t = 3 (giờ), t = 4 giờ nên hàm số không liên tục trên [0; +$\infty$).

c) Sai. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ + }} C\left( t \right) = 180000;\,\,\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ - }} C\left( t \right) = 140000\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ + }} C\left( t \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ - }} C\left( t \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} C\left( t \right)\).

d) Đúng. Nhận thấy khi một người có thời gian đỗ xe tăng dần đến 3 giờ và một người có thời gian đỗ xe giảm dần đến 3 giờ thì chênh lệch chi phí giữa hai người luôn là: 180000 – 140000 = 40000 (đồng).

Do đó, chênh lệch chi phí giữa hai người không thay đổi.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6.

Hàm số xác định khi \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 \ne 0\\x - 1 \ne 0\\x - 5 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne 1\\x \ne 5\end{array} \right.\).

Vậy hàm số liên tục trên (-$\infty$; -2); (-2; 1); (1; 5); (5; +$\infty$).

Do đó: a₃ = 2; a₄ = 5 $\Rightarrow$ a₄ + a₄ = 1 + 5 = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2.

Với x < 2, f(x) = x² – 4x + 1, là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng (-$\infty$; 2).

Với x > 2, f(x) = 5, là hàm hằng nên liên tục trên khoảng (2; +$\infty$).

Tại x = 2, ta có: f(2) = 5.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 4x + 1} \right) = - 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 5 = 5\).

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) không tồn tại.

Suy ra hàm số không liên tục tại x = 2.

Vì hàm số gián đoạn tại x = 2 nên khoảng lớn nhất có dạng (2; +$\infty$). Do đó, a = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Hàm số P(t) trên (0; 4] có công thức:

\(P\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}30\,\,khi\,\,0 < t \le 1\\40\,\,khi\,\,1 < t \le 2\\40\,\,khi\,\,2 < t \le 3\\60\,\,khi\,\,3 < t \le 4\end{array} \right.\) (P tính theo nghìn đồng, t tính theo giờ).

Trên mỗi nửa khoảng (0; 1]; (1; 2]; (2; 3]; (3; 4], hàm số đều có dạng P(t) = c (c là hằng số) nên hàm số liên tục trên các khoảng này.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} 30 = 30\); \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} 40 = 40\). Do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ - }} P\left( t \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{t \to {1^ + }} P\left( t \right)\) nên hàm số gián đoạn tại t = 1.

Tương tự, chỉ ra được hàm số không liên tục tại các điểm t = 2 và t = 3.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng (0; 1]; (1; 2]; (2; 3] và (3; 4]; gián đoạn tại các điểm t = 1, t = 2 và t = 3.

Vậy trên nửa khoảng (0; 4] hàm số có 3 điểm gián đoạn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2.

Hàm số xác định khi: cosx $\ne$ 0 $\iff$ \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \), k $\in$ ℤ.

Do đó, hàm số liên tục trên mỗi khoảng nằm giữa hai điểm liên tiếp mà cosx = 0.

Vậy khoảng chứa điểm 0 là: \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\). Suy ra \(a = - \frac{\pi }{2};b = \frac{\pi }{2}\).

Khi đó, \(P = \frac{{2\left( {b - a} \right)}}{\pi } = \frac{{2\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}} \right)}}{\pi } = 2\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -1.

Vì x < −5, f(x) = x² + ax + b là hàm đa thức nên hàm số f(x) liên tục trên (−∞; −5).

Vì −5 < x < 10, f(x) = x + 17 là hàm đa thức nên hàm số f(x) liên tục trên (−5; 10).

Vì x > 10, f(x) = ax + b + 10 là hàm đa thức nên hàm số f(x) liên tục trên (10; +∞).

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 5 và x = 10.

Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f\left( x \right) = {\left( { - 5} \right)^2} + \left( { - 5} \right)a + b = 25 - 5a + b\) và f(-5) = -5 + 27 = 12.

Để hàm số liên tục tại x = 5 thì 25 – 5a + b = 12 Þ -5a + b = -13 (1)

Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{10}^ + }} f\left( x \right) = 10a + b + 10\) và f(10) = 10 + 17 = 27.

Để hàm số liên tục tại x = 10 thì 10a + b + 10 = 27 $\Rightarrow$ 10a + b = 17 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 5a + b = - 13\\10a + b = 17\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 3\end{array} \right.\).

Do đó, a + b = 2 – 3 = -1.