Đề kiểm tra Hàm số liên tục lớp 11 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - x}}\]. Kết luận nào sau đây đúng?
Hàm số liên tục tại \[x = - 1\].
Hàm số liên tục tại \[x = 0\].
Hàm số liên tục tại \[x = 1\].
Hàm số liên tục tại \[x = \frac{1}{2}\].
Chọn D
Tại \[x = \frac{1}{2}\], ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{1}{2}} \frac{{2x - 1}}{{{x^3} - 1}} = 0 = f\left( {\frac{1}{2}} \right)\]. Vậy hàm số liên tục tại \[x = 2\].
Cho hàm số \[y = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 1}}\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số không liên tục tại các điểm \(x = \pm 1\).
Hàm số liên tục tại mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Hàm số liên tục tại các điểm \(x = - 1\).
Hàm số liên tục tại các điểm \(x = 1\).
Chọn A
Hàm số \[y = \frac{{x - 3}}{{{x^2} - 1}}\] có tập xác định \[\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\]. Do đó hàm số không liên tục tại các điểm \(x = \pm 1\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(y = {x^3} - x\).
\(y = \cot x\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\).
\(y = \sqrt {{x^2} - 1} \).
Chọn A
Vì \(y = {x^3} - x\) là đa thức nên nó liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Cho bốn hàm số \({f_1}\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + 1\), \({f_2}\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\), \({f_3}\left( x \right) = \cos x + 3\) và \({f_4}\left( x \right) = {\log _3}x\). Hỏi có bao nhiêu hàm số liên tục trên tập \(\mathbb{R}\)?
\[1\].
\[3\].
\[4\].
\[2\].
* Ta có hai hàm số \({f_2}\left( x \right) = \frac{{3x + 1}}{{x - 2}}\) và \({f_4}\left( x \right) = {\log _3}x\) có tập xác định không phải là tập \(\mathbb{R}\) nên không thỏa yêu cầu.
* Cả hai hàm số \({f_1}\left( x \right) = 2{x^3} - 3x + 1\) và \({f_3}\left( x \right) = \cos x + 3\) đều có tập xác định là \(\mathbb{R}\) đồng thời liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \[\mathbb{R}\]?
\[f\left( x \right) = \tan x + 5\].
\[f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\].
\[f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \].
\[f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\].
Chọn D
Hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\] là hàm phân thức hữu tỉ và có TXĐ là \[D = \mathbb{R}\] do đó hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\] liên tục trên \[\mathbb{R}\].
Cho hàm số \[y = f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}{\rm{ khi }}x \ne 1\\2m + 1{\rm{ khi }}x = 1\end{array} \right.\]. Giá trị của tham số \[m\] để hàm số liên tục tại điểm \[{x_0} = 1\] là:
\(m = - \frac{1}{2}\).
\(m = 2\).
\(m = 1\).
\(m = 0\).
Chọn C
Ta có \[f(1) = 2m + 1\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} ({x^2} + x + 1) = 3\]
Để hàm số liên tục tại điểm \[{x_0} = 1\]thì \[f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} y \Rightarrow 2m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 1\].
Để hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x + 2\begin{array}{*{20}{c}}{}&{{\rm{khi}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x \le - 1}\end{array}}\end{array}\\4x + a\begin{array}{*{20}{c}}{}&{}&{\,\,{\rm{khi}}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{x > - 1}\end{array}}\end{array}\end{array} \right.\) liên tục tại điểm \(x = - 1\) thì giá trị của \(a\) là
\( - 4\).
4.
1.
\( - 1\).
Chọn B
Hàm số liên tục tại \(x = - 1\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = = y\left( { - 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {4x + a} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = y\left( { - 1} \right)\) \( \Leftrightarrow a - 4 = 0 \Leftrightarrow a = 4\).
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\;\;\;\;khi\;x \ne 1\\3x + m\;\quad \quad \quad \quad \;\;khi\;x = 1\end{array} \right.\] liên tục tại \(x = 1\).
\(m = 0\).
\(m = 6\).
\(m = 4\).
\(m = 2\).
Chọn A
Ta có: \(f\left( 1 \right) = m + 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3\).
Để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3 = m + 3 \Leftrightarrow m = 0\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} - \sqrt {x + 2018} }}\,\,khi\,\,x \ne 1\\k\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\). Tìm \(k\) để hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
\[k = 2\sqrt {2019} \].
\[k = \frac{{2017.\sqrt {2018} }}{2}\].
\[k = 1\].
\[k = \frac{{20016}}{{2017}}\sqrt {2019} \].
Chọn A
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{2016}} + x - 2}}{{\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} - \sqrt {x + 2018} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{2016}} - 1 + x - 1} \right)\left( {\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017{\rm{x}} - 2017}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{2015}} + {x^{2014}} + ... + x + 1 + 1} \right)\left( {\sqrt {2018{\rm{x}} + 1} + \sqrt {x + 2018} } \right)}}{{2017\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}\)\( = 2\sqrt {2019} \)
Để hàm số liên tục tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) \( \Leftrightarrow k = 2\sqrt {2019} \).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne 1\\a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\). Tìm \[a\] để hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\].
\(a = 0\).
\(a = - \frac{1}{2}\).
\(a = \frac{1}{2}\).
\(a = 1\).
Chọn C
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x + 1}}\]\[ = \frac{1}{2}\].
Để hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\] khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\]\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \[m\] để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}}{\rm{ khi x > 2 }}\\mx - 4{\rm{ khi x}} \le {\rm{2}}\end{array} \right.\)liên tục tại \[x = 2\].
\[m = 3\].
\(m = 2\).
\[m = - 2\].
Không tồn tại \[m\].
Chọn A
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2\].
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {mx - 4} \right) = 2m - 4\)
Hàm số liên tục tại \[x = 2\] khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 2m - 4 = 2 \Leftrightarrow m = 3\).
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {x + 3} - m}}{{x - 1}}\,khi\,x \ne 1\\n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x = 1\end{array} \right..\) Để hàm số liên tục tại \({x_0} = 1\) thì giá trị của biểu thức \(\left( {m + n} \right)\) tương ứng bằng:
\(\frac{3}{4}.\)
\(1.\)
\( - \frac{1}{2}.\)
\(\frac{9}{4}.\)
Chọn D
Ta có: \(f\left( 1 \right) = n.\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + m} \right)}}.\)
Hàm số liên tục tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\, \Leftrightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + m} \right)}}\,\,\,\,(1).\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)tồn tại khi \(1\) là nghiệm của phương trình: \(1 + 3 - {m^2} = 0\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 2\end{array} \right..\)
+ Khi \(m = 2\) thì \(\left( 1 \right)\, \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}} \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \Rightarrow n = \frac{1}{4}.\)
+ Khi \(m = - 2\) thì \(\left( 1 \right) \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3} - 2}}\) suy ra không tồn tại \(n.\)
Vậy \(m + n = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.\)
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho phương trình \(2{x^3} - 8x - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\). Các mệnh đề sau đúng/sai?
a) Phương trình không có nghiệm lớn hơn \(3\).
b) Phương trình có đúng \(3\) nghiệm phân biệt.
c) Phương trình có \(2\) nghiệm lớn hơn \(2\).
d) Phương trình có nghiệm trong khoảng \(\left( { - 5; - 1} \right)\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
Chọn C
Hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 8x - 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Do \(f\left( { - 5} \right) = - 211,\,\)\(f\left( { - 1} \right) = 5 > 0,\,\)\(f\left( 2 \right) = - 1 < 0,\,\)\(f\left( 3 \right) = 29 > 0\) nên phương trình có ít nhất \(3\) nghiệm trên \(\left( { - 5; - 1} \right),\,\left( { - 1;2} \right),\,\left( {2;3} \right)\). Mà phương trình bậc ba có tối đa \(3\) nghiệm nên phương trình có đúng \(3\) nghiệm trên \(\mathbb{R}\). Do đó C sai.
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} & {\rm{khi}}\,x \ne 1\\x + 1 & {\rm{khi}}\,x = 1\end{array} \right.\) và \(g(x) = 4{x^2} - x + 1\). Khi đó:
a) Ta có \(f(1) = 2\)
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)
c) Hàm số \(g\left( x \right)\)liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)
d) Hàm số \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2\).
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( {{x_0}} \right){\rm{. }}\)
Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Ta có: \(g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)\)
Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\{\frac{{2a + 1}}{6}}&{{\rm{ khi }}x = 2}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\). Khi đó:
a) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{2}\)
b) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
c) Khi \(a = 1\) thì hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 2\)
d) Khi \(a = 0\) thì hàm số \(y = f\left( x \right) + g\left( x \right)\) liên tục tại \({x_0} = 2\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \(f(2) = \frac{{2a + 1}}{6}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1 - 1}}{{(x - 2)(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \frac{1}{2}.\)
Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \frac{{2a + 1}}{6} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1\).
Ta có: \(g(2) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) nên \(g(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)\).
Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - \sqrt {5x + 11} }}{{2{x^2} - 5x - 18}} & {\rm{khi}}\,x > - 2\\4 - {x^2} & & {\rm{khi}}\,x \le - 2\end{array} \right.\) và \(g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne - 2}\\{2x + a}&{{\rm{ khi }}x = - 2}\end{array}} \right.\) , khi đó:
a) Ta có\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \frac{5}{{26}}\)
b) Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\)
c) Để hàm số \(g\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\) thì \(a = 1\)
d) Khi \(a = - 1\) thì hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 2\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f( - 2) = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{1 - \sqrt {5x + 11} }}{{2{x^2} - 5x - 18}} = \frac{5}{{26}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x)\). \( \Rightarrow \) Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)\).
Vậy hàm số gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 2\).
Ta có: \(g\left( {{x_0}} \right) = g( - 2) = - 4 + a\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = - 5\).
Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} g(x) = g( - 2)\).
\( \Rightarrow - 4 + a = - 5 \Leftrightarrow a = - 1.{\rm{ }}\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tìm tham số \(m\) để hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}}&{{\rm{ n\~O u }}x < 1}\\{mx + 1}&{{\rm{ n\~O u }}x \ge 1}\end{array}} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có \(f(1) = m + 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = 2\).
Vậy hàm số liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(m = 1\).
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\a&{{\rm{ khi }}x = 2.}\end{array}} \right.\)
Tìm giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(y = f(x)\) liên tục tại \(x = 2\).
Lời giải
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(\sqrt {x + 2} - 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}}{{(x - 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2 - 4}}{{(x - 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = \frac{1}{4}{\rm{. }}\)Hàm số liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \frac{1}{4} = a\).
Vậy \(a = \frac{1}{4}\) là giá trị cần tìm.
Cho hai hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - x{\rm{ khi }}x < 1}\\{{x^2} + x{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - {x^2}{\rm{ khi }}x < 1}\\{ - {x^2} + a{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\)
Tìm giá trị của tham số \(a\) sao cho hàm số \(h(x) = f(x) + g(x)\) liên tục tại \(x = 1\).
\(h(x) = f(x) + g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + x - {x^2}}&{{\rm{ khi }}x < 1}\\{x + a}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2 + x - {x^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x^2} = 2 + 1 - {1^2} = 2;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = 1 + a;h(1) = 1 + a.\end{array}\)
Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \sqrt {x - 1} \) tại \({x_0} = 2\).
Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \([1; + \infty )\). Do đó \({x_0}\) thuộc tập xác định của hàm số. Ta có
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {x - 1} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 1)} = 1 = f(2).\)
Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 2\).
Xét tính liên tục của hàm số \(y = f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x|x - 3|}}{{x - 3}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 3}\\3&{{\rm{ khi }}x = 3}\end{array}} \right.\) tại điểm \(x = 3\).
Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\), chứa điểm 3 .
Ta có: \(f(3) = 3\);
Khi \(x > 3,f(x) = \frac{{x(x - 3)}}{{x - 3}} = x\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} x = 3\);
Khi \(x < 3,f(x) = \frac{{x(3 - x)}}{{x - 3}} = - x\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} ( - x) = - 3\).
Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x)\).
Do đó, hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại điểm \(x = 3\).
Cho hàm số fx=3−9−xx , 0<x<9m , x=03x , x≥9.Tìm m để f(x) liên tục trên [0;+∞).
+ TXĐ: \[D = \left[ {0; + \infty } \right)\].
+ Với \(x \ge 9\) thì \(f(x) = \frac{3}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên nửa khoảng \(\left[ {9; + \infty } \right)\) nên liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {9; + \infty } \right)\).
+ Với \(0 < x < 9\) thì \(f(x) = \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng \(\left( {0;9} \right)\) nên liên tục trên khoảng \(\left( {0;9} \right)\).
+ Tại điểm \[x = 0\]:
Ta có \[f\left( 0 \right) = m\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }}\]\[ = \frac{1}{6}\].
Vậy để hàm số liên tục trên \[\left[ {0; + \infty } \right)\] thì khi hàm số liên tục tại \[x = 0\]\( \Leftrightarrow \)\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f(0)\]\[ \Leftrightarrow m = \frac{1}{6}\].
