Đề kiểm tra Hàm số liên tục lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn C

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x  - 1}}{{x - 1}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt x  + 1}}\]\[ = \frac{1}{2}\].

Để hàm số liên tục tại \[{x_0} = 1\] khi \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\]\( \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\).

Chọn A

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} x = 2\].

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {mx - 4} \right) = 2m - 4\)

Hàm số liên tục tại \[x = 2\] khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \Leftrightarrow 2m - 4 = 2 \Leftrightarrow m = 3\).

Chọn D

Ta có: \(f\left( 1 \right) = n.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + m} \right)}}.\)

Hàm số liên tục tại \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\, \Leftrightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 3 - {m^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + m} \right)}}\,\,\,\,(1).\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right)\)tồn tại khi \(1\) là nghiệm của phương trình: \(1 + 3 - {m^2} = 0\, \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right..\)

+ Khi \(m = 2\) thì \(\left( 1 \right)\, \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x + 3}  + 2} \right)}} \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3}  + 2}} \Rightarrow n = \frac{1}{4}.\)

+ Khi \(m =  - 2\) thì \(\left( 1 \right) \Rightarrow n = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {x + 3}  - 2}}\) suy ra không tồn tại \(n.\)

Vậy \(m + n = 2 + \frac{1}{4} = \frac{9}{4}.\)

Chọn C

Hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 8x - 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Do \(f\left( { - 5} \right) = - 211,\,\)\(f\left( { - 1} \right) = 5 > 0,\,\)\(f\left( 2 \right) = - 1 < 0,\,\)\(f\left( 3 \right) = 29 > 0\) nên phương trình có ít nhất \(3\) nghiệm trên \(\left( { - 5; - 1} \right),\,\left( { - 1;2} \right),\,\left( {2;3} \right)\). Mà phương trình bậc ba có tối đa \(3\) nghiệm nên phương trình có đúng \(3\) nghiệm trên \(\mathbb{R}\). Do đó C sai.

Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f(1) = 1 + 1 = 2\).

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2 = f\left( {{x_0}} \right){\rm{. }}\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Ta có: \(g\left( {{x_0}} \right) = g(1) = 4\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {4{x^2} - x + 1} \right) = 4 = g(1)\)

Vậy hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).

Ta có: \(f(2) = \frac{{2a + 1}}{6}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 1 - 1}}{{(x - 2)(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{(x - 1)(\sqrt {x - 1} + 1)}} = \frac{1}{2}.\)

Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 2 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \frac{{2a + 1}}{6} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = 1\).

Ta có: \(g(2) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) nên \(g(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)\).

Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).

Ta có: \(f\left( {{x_0}} \right) = f( - 2) = 0 = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{1 - \sqrt {5x + 11} }}{{2{x^2} - 5x - 18}} = \frac{5}{{26}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x)\). \( \Rightarrow \) Không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)\).

Vậy hàm số gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 2\).

Ta có: \(g\left( {{x_0}} \right) = g( - 2) = - 4 + a\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = - 5\).

Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = - 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} g(x) = g( - 2)\).

\( \Rightarrow - 4 + a = - 5 \Leftrightarrow a = - 1.{\rm{ }}\)

Ta có \(f(1) = m + 1 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = 2\).

Vậy hàm số liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(m = 1\).

Lời giải

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x + 2} - 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(\sqrt {x + 2} - 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}}{{(x - 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x + 2 - 4}}{{(x - 2)(\sqrt {x + 2} + 2)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x + 2} + 2}} = \frac{1}{4}{\rm{. }}\)Hàm số liên tục tại \(x = 2\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = f(2) \Leftrightarrow \frac{1}{4} = a\).

Vậy \(a = \frac{1}{4}\) là giá trị cần tìm.

\(h(x) = f(x) + g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 + x - {x^2}}&{{\rm{ khi }}x < 1}\\{x + a}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\end{array}} \right.\)

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2 + x - {x^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} 2 + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {x^2} = 2 + 1 - {1^2} = 2;\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} (x + a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} a = 1 + a;h(1) = 1 + a.\end{array}\)

Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \([1; + \infty )\). Do đó \({x_0}\) thuộc tập xác định của hàm số. Ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \sqrt {x - 1} = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x - 1)} = 1 = f(2).\)

Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục tại \({x_0} = 2\).

Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\), chứa điểm 3 .

Ta có: \(f(3) = 3\);

Khi \(x > 3,f(x) = \frac{{x(x - 3)}}{{x - 3}} = x\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} x = 3\);

Khi \(x < 3,f(x) = \frac{{x(3 - x)}}{{x - 3}} = - x\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} ( - x) = - 3\).

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f(x) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f(x)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x)\).

Do đó, hàm số \(y = f(x)\) không liên tục tại điểm \(x = 3\).

+ TXĐ: \[D = \left[ {0; + \infty } \right)\].

+ Với \(x \ge 9\) thì \(f(x) = \frac{3}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên nửa khoảng \(\left[ {9; + \infty } \right)\) nên liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {9; + \infty } \right)\).

+ Với \(0 < x < 9\) thì \(f(x) = \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng \(\left( {0;9} \right)\) nên liên tục trên khoảng \(\left( {0;9} \right)\).

+ Tại điểm \[x = 0\]:

Ta có \[f\left( 0 \right) = m\] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\]\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }}\]\[ = \frac{1}{6}\].

Vậy để hàm số liên tục trên \[\left[ {0; + \infty } \right)\] thì khi hàm số liên tục tại \[x = 0\]\( \Leftrightarrow \)\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f(0)\]\[ \Leftrightarrow m = \frac{1}{6}\].