Bài tập Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có f(1) =  $\frac{1}{3}$.

 $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-x}{x^2+2x-3}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x}{x+3}=\frac{1}{3}=f\left(1\right)$.

Vậy hàm số liên tục tại x = 1.

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho không xác định tại x = 1 nên không liên tục tại x = 1.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy, hàm số trên không xác định tại các điểm x = 0, x = 2 và x = −2 nên không liên tục tại các điểm đó. Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: C

 $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{1-2x}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x+1-1+2x}{x\left(\sqrt{2x+1}+\sqrt{1-2x}\right)}$

 $=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{1-2x}}=2$.

Vậy hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi  $f\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=2$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số đã cho không xác định tại điểm x = 2 nên không liên tục tại điểm đó. Vậy đáp án A là đáp án sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có  $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x^3-5x+7\right)=5$.

Đáp án đúng là: A

Hàm số trên không xác định tại x = 0 và x = 4. Vậy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: D

Để hàm số liên tục trên ℝ thì:

Đáp án đúng là: A

Ta thấy hàm số trên không xác định tại x = 1 nên không liên tục tại x = 1. Vậy đáp án A sai.

Đáp án đúng là: D

 $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x}{\sqrt{x+1}-1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{x+1-1}$

 $=\underset{x\to 0}{\lim }2\left(\sqrt{x+1}+1\right)=4=f\left(0\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{5}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}}\)

Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right.\).

Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{5}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt 2 \left( {2 - 1} \right)}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\) và \(f\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 2 } \frac{5}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = f\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).

Suy ra hàm số liên tục tại x =\(\sqrt 2 \)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x - 3}}\) không xác định tại x = 3 nên gián đoạn tại x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hàm số liên tục tại x = 1 $\iff$ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 5\). Suy ra f(1) = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

+) Với x > -1, ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt {3 + 2x} - 1}}{{x + 1}} = \frac{{\left( {\sqrt {3 + 2x} - 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}}\)

\( = \frac{{3 + 2x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}} = \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {\sqrt {3 + 2x} + 1} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt {3 + 2x} + 1}}\).

+) Vì x $\ne$-1 nên hàm số liên tục trên khoảng (-1; +$\infty$).

+) Với x $\le$-1, ta có: f(x) = 2023x + 2024, là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên (-$\infty$; -1] .

+) Tại x =-1, ta có: f(-1) = 2023.(-1) + 2024 = 1.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {2023x + 2024} \right) = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {3 + 2x} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {\frac{2}{{\sqrt {3 + 2x} + 1}}} \right) = 1\)

Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) = 1\) nên hàm số liên tục tại x =-1.

+) Tại x = 0, ta có: f(0) = \(\frac{{\sqrt 3 - 1}}{1} = \sqrt 3 - 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\frac{{\sqrt {3 + 2x} - 1}}{{x + 1}}} \right) = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{1} = \sqrt 3 - 1\)

Nhận thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) = f(0) nên hàm số liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số liên tục tại x = 5; x =-1 và x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\) có tập xác định: D =ℝ\{3} nên hàm số gián đoạn tại điểm

x₀ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: \[f\left( 1 \right) = - \frac{1}{2}\] và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\).

Vậy \(f\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = - \frac{1}{2}\).

b) Đúng. Ta có: g(1) =-1 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1\) nên \(g\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\).

Vậy hàm số g(x) liên tục tại điểm x₀ = 1.

c) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}\)

d) Đúng. Hàm số g(x) liên tục tại điểm x₀ = 1.

Hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀ = 1.

Nên hàm số y = f(x) + g(x) liên tục tại điểm x₀ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Trên khoảng (-$\infty$; -1), ta có: f(x) = x² + x + 1. Vì hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; -1) nên hàm số liên tục tại điểm x =-2.

b) Sai. Trên khoảng (-1; 1), ta có: f(x) = x + 2. Vì hàm số liên tục trên khoảng (-1; 1) nên hàm số liên tục tại điểm x = 0.

c) Đúng. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = f\left( { - 1} \right) = 1\];

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 2} \right) = 1\). Suy ra hàm số liên tục tại x =-1.

d) Sai. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + 3} \right) = 5\]. Suy ra hàm số không liên tục tại x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Sai.                   d) Đúng.

a) Đúng. Ta có hàm số \(y = \cos \frac{{\pi x}}{2}\) xác định trên [-1; 1] và hàm số y = x – 1 xác định trên (-$\infty$; -1) $\cup$ (1; +$\infty$) nên hàm số đã cho có tập xác định là ℝ.

b) Sai. g(-1) =\(\cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 0\).

c) Sai. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = - 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \cos \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = \cos \left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} g\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} g\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} g\left( x \right)\)

Do đó, hàm số g(x) không liên tục tại x =-1.

d) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \cos \left( {\frac{{\pi x}}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right)\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 0\) đồng thời g(1) = \(\cos \frac{\pi }{2} = 0\).

Do đó, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = g\left( 1 \right)\). Vậy hàm số g(x) liên tục tại x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Khi x =-2, ta có f(-2) =-6.

b) Sai. f(-2) =-6.

c) Đúng. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - x - 6}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 3} \right) = - 5\]

d) Sai. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = - 5 \ne f\left( { - 2} \right) = - 6\] nên hàm số f(x) bị gián đoạn tại x =-2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Sai.                   d) Đúng.

Hàm số h(x) xác định trên khoảng (-$\infty$; 0), (0; 2) và (2; +$\infty$). Suy ra, ý a, b đúng.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}h\left( 0 \right) = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} 2x = 0\end{array} \right.\)$\to$ h(x) không liên tục tại x = 0.

Lại có: \[\left\{ \begin{array}{l}h\left( 2 \right) = 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {3x - 1} \right) = 5\end{array} \right.\]$\to$ h(x) liên tục tại x = 2

a) Đúng. Hàm số liên tại tục tại x =-1

b) Đúng. Hàm số liên tục tại x = 3.

c) Sai. Hàm số gián đoạn tại x = 0.

d) Đúng. Hàm số liên tục tại x = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 72.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{x^2} - 16}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {x + 4} \right) = 4 + 4 = 8\).

và f(4) = 8. Do đó, hàm số liên tục tại x = 4 Þ a = 4.

Khi đó: \(P = {\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right)} \right)^2} + f\left( 4 \right) = {8^2} + 8 = 64 + 8 = 72\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3.

Tập xác định: D =ℝ

Ta có: f(3) = 3² - 4.3 + 3 = 0

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x + 1} \right) = - 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {{x^2} - 4x + 3} \right) = 0\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right)\) nên hàm số gián đoạn tại x₀ = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16.

Tập xác định: D =ℝ

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {3x + 20} \right) = 32\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left[ {\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right] = 32\)

f(4) = 3×4 + 20 = 32.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)\) nên hàm số liên tục tại x₀ = 4.

Do đó, a = 4 $\Rightarrow$ 2a = 2×4 = 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1.

Ta có: f(1) =-2.1 =-2.

Lại có:

\[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - 2x} \right) = - 2\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\frac{{x - 1}}{{\sqrt {2 - x} - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - x} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {2 - x} - 1} \right)\left( {\sqrt {2 - x + 1} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\sqrt {2 - x} + 1}}{{ - 1}} = - 2\end{array} \right.\]

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\) nên hàm số liên tục tại x = 1.

Vậy m = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5.

Ta có: v(5) = 10 và \[\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ - }} 10 = 10\] và \[\mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {5^ + }} \left( {{t^2} - 5t + 10} \right) = 10\]

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} v\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} v\left( t \right) = f\left( 5 \right)\) nên hàm số liên tục tại t = 5. Do đó, a = 5.