Bài tập Tìm điều kiện của tham số m để hàm số liên tục lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

•  $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(\sqrt{3-x}+1\right)=3$;

•  $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(mx+1\right)=m+1$.

Do đó, hàm số liên tục tại x = 0 khi  $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)$ hay m + 1 = 3 hay m = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {3x + m} \right) = 12 + m = f\left( 4 \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left[ {\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right] = 32\)

Hàm số f(x) liên tục tại x = 4 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) \Leftrightarrow 12 + m = 32 \Leftrightarrow m = 20\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {3x + m} \right) = 12 + m = f\left( 4 \right)\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left[ {\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right] = 32\)

Hàm số f(x) liên tục tại x = 4 khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) \Leftrightarrow 12 + m = 32 \Leftrightarrow m = 20\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {4 - x} - x - 2\sqrt {1 + x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {4 - x} - 2\sqrt {1 + x} }}{x} - 1} \right)\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{4 - x - 4 - 4x}}{{x\left( {\sqrt {4 - x} + 2\sqrt {1 + x} } \right)}} - 1} \right) = - \frac{9}{4}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {m + \frac{{4 - x}}{{x - 2}}} \right) = m - 2\) và f(0) = m – 2.

Để hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow m - 2 = - \frac{9}{4} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}\).

Vậy \(m \in \left( { - \frac{2}{5};0} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = n\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^3} - {x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2}\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 1} \right) = m + 1\end{array} \right.\)

Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 = m + 1 = n \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 1\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: f(1) = m² + m – 8 và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - 3x} \right) = - 2\).

Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1

Û \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + m - 8 = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 3\end{array} \right.\).

Vậy S = {2; -3}. Tích các phần tử S là -6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Sai. Hàm số xác định trên ℝ

b) Đúng. Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 45} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \left( {x + 45} \right) = 90\).

c) Đúng. Ta có: f(20) = 65.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 20} \left( {x + 45} \right) = 65 = f\left( {20} \right)\) nên f(x) liên tục tại x = 20.

d) Sai. Với x $\ne$ 45 thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}}\) hàm số xác định trên khoảng (-$\infty$; 45) $\cup$ (45; +$\infty$).

Suy ra hàm số liên tục trên từng khoảng (-$\infty$; 45) và (45; +$\infty$).

Hàm số liên tục trên ℝ $\iff$ hàm số liên tục tại x = 45 $\iff$ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 45} f\left( x \right) = f\left( {45} \right)\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = 2m + 4 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{\left( {x - 45} \right)\left( {x + 45} \right)}}{{x - 45}} = 2m + 4\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \left( {x + 45} \right) = 2m + 4 \Leftrightarrow 90 = 2m + 4 \Leftrightarrow m = 43\).

Suy ra m = 43 thì hàm số liên tục trên ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.          b) Sai.                  c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Hàm số xác định trên ℝ.

b) Sai. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = 4\]

c) Đúng. Với x > 1 thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}}\), hàm số xác định trên (1; +$\infty$). Do đó hàm số liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

d) Sai. Với x > 1 thì \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}}\), hàm số xác định trên (1; +$\infty$). Do đó hàm số liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

Với x < 1 thì f(x) = mx + 3, hàm số xác định trên khoảng (-$\infty$; 1). Do đó hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1).

Hàm số liên tục trên ℝ $\iff$ hàm số liên tục tại x = 1 Û \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 4,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 3} \right) = m + 3;\,\,f\left( 1 \right) = m + 3\)

Suy ra m + 3 = 4 $\iff$ m = 1 nên hàm số liên tục trên ℝ khi m = 1.

Đáp án: a) Đúng.            b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: f(1) = 8 + m².

b) Sai. Tập xác định: D = [-3; +$\infty$)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} \frac{{m{x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {mx + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}}{{x - 1}}\)

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} \left[ {\left( {mx + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)} \right] = 4\left( {m + 2} \right) = 4m + 8\].

c) Đúng. Hàm số đã cho liên tục tại x = 1 khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4\left( {m + 2} \right) = 8 + {m^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\)

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 1 khi m = 0.

d) Đúng. Từ ý c, ta có 2 giá trị của m để hàm số liên tục trên x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Đúng.               d) Đúng.

a) Sai. Tập xác định: D = ℝ\{2}. Do đó x₀ = 2 $\notin$ D nên hàm số gián đoạn tại x₀ = 2.

b) Sai. Tập xác định: D = ℝ. Do đó, x₀ = -2 $\in$ D.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 4\], f(-2) = -3.

Do đó, \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) \ne f\left( { - 2} \right)\] nên hàm số gián đoạn tại x₀ = -2.

c) Đúng. Tập xác định: D = ℝ. Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {2x - m} \right) = 8 - m = f\left( 4 \right)\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left[ {\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right] = 32\]

Hàm số f(x) liên tục tại x = 4 khi và chỉ khi

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) \Leftrightarrow 8 - m = 32 \Leftrightarrow m = - 24.\]

d) Đúng. Tập xác định: D = ℝ. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = {k^2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\left( {x - 2} \right)^2} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2 - {x^2}} \right) = 1\end{array} \right.\).

Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 1 khi và chỉ khi

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne f\left( 1 \right) \Leftrightarrow {k^2} \ne 1 \Leftrightarrow k \ne \pm 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng.          b) Đúng.              c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Ta có: \(g\left( 2 \right) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\).

b) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\).

c) Đúng. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và \(g\left( 1 \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vì \(g\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)\)nên hàm số g(x) liên tục tại điểm x₀ = 1.

d) Sai. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) nên \(g\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right)\).

Vậy hàm số g(x) liên tục tại điểm x₀ = 2 và ta có \(f\left( 2 \right) = \frac{{2m + 1}}{6}\).

Để hàm số f(x) liên tục tại x₀ = 2 $\iff$ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{6} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = 1\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1.

Ta có: \(f\left( 1 \right) = m - \frac{1}{2}\) và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx - \frac{1}{2}} \right) = m - \frac{1}{2}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{2}\]

Hàm số f(x) liên tục tại x₀ = 1 khi và chỉ khi: \(f\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \Leftrightarrow m - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow m = 1\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 3 \right) = 1 - 3{m^2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{\sqrt {4x - 3} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {4x - 3} + x} \right)}}{{1 - x}} = - 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {1 - {m^2}x} \right) = 1 - 3{m^2}\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \frac{1}{3};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \left( {\frac{3}{x}} \right) = \frac{1}{3}\] và \(f\left( 9 \right) = \frac{1}{3}\) nên hàm số liên tục tại x = 9.

Lại có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {3 - \sqrt {9 - x} } \right)\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}}{{x\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }} = \frac{1}{6}\] và f(0) = m.

Vậy để hàm số liên tục trên [0; +$\infty$) thì \(m = \frac{1}{6}\)

$\Rightarrow$ a = 1, b = 6 $\Rightarrow$ T = a + 2b = 1 + 2.6 = 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2020.

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{2017}} + x - 2}}{{\sqrt {2019x - 1} - \sqrt {x + 2019} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {\left( {{x^{2017}} - 1} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] \cdot \left( {\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} } \right)}}{{\left( {2019x + 1} \right) - \left( {x + 2019} \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left[ {\frac{{{x^{2017}} - 1}}{{x - 1}} + 1} \right] \cdot \left( {\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} } \right)}}{{2018\left( {x - 1} \right)}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{2016}} + {x^{2015}} + ... + x + 1} \right)\left( {\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} } \right)}}{{2018}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} }}{{2018}}\]

\( = \frac{{2017\sqrt {2020} }}{{1009}} + \frac{{\sqrt {2020} }}{{1009}} = 2\sqrt {2020} \).

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì m = \(2\sqrt {2020} \) $\Rightarrow$ n = 2020.

Do đó, giá trị của n = 2020.