Đề kiểm tra Hàm số liên tục lớp 11 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho hàm số \[f\left( x \right)\] xác định trên \[\left[ {a;b} \right]\]. Tìm mệnh đề đúng.
Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục trên \[\left[ {a;b} \right]\] và \[f\left( a \right)f\left( b \right) > 0\] thì phương trình \[f\left( x \right) = 0\] không có nghiệm trong khoảng \[\left( {a;b} \right)\].
Nếu \[f\left( a \right)f\left( b \right) < 0\] thì phương trình \[f\left( x \right) = 0\] có ít nhất một nghiệm trong khoảng \[\left( {a;b} \right)\].
Nếu hàm số \[f\left( x \right)\] liên tục, tăng trên \[\left[ {a;b} \right]\] và \[f\left( a \right)f\left( b \right) > 0\] thì phương trình \[f\left( x \right) = 0\] không có nghiệm trong khoảng \[\left( {a;b} \right)\].
Nếu phương trình \[f\left( x \right) = 0\]có nghiệm trong khoảng \[\left( {a;b} \right)\] thì hàm số \[f\left( x \right)\] phải liên tục trên \[\left( {a;b} \right)\].
Vì \[f\left( a \right)f\left( b \right) > 0\] nên \[f\left( a \right)\] và \[f\left( b \right)\] cùng dương hoặc cùng âm. Mà \[f\left( x \right)\] liên tục, tăng trên \[\left[ {a;b} \right]\] nên đồ thị hàm \[f\left( x \right)\] nằm trên hoặc nằm dưới trục hoành trên \[\left[ {a;b} \right]\] hay phương trình \[f\left( x \right) = 0\] không có nghiệm trong khoảng \[\left( {a;b} \right)\].
Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Nếu \(f(a).f(b) > 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm nằm trong \(\left( {a;b} \right)\).
Nếu \(f(a).f(b) < 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong \(\left( {a;b} \right)\).
Nếu \(f(a).f(b) > 0\) thì phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong \(\left( {a;b} \right)\).
Nếu phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất một nghiệm nằm trong \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f(a).f(b) < 0\).
Chọn B
Vì theo định lý 3 trang 139/sgk.
Cho đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như hình vẽ sau:
Chọn mệnh đề đúng.
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng không liên tục tại điểm \(x = 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục tại điểm \(x = 0\) nhưng không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục và không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
Chọn B
Đồ thị là một đường liền nét, nhưng bị “gãy” tại điểm \(x = 0\) nên nó liên tục tại điểm \(x = 0\) nhưng không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
Hình nào trong các hình dưới đây là đồ thị của hàm số không liên tục tại \(x = 1\)?
.
.
.
.
Chọn D
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y\) nên hàm số không liên tục tại \(x = 1\).
Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, đơn điệu trên \(\left[ {a;\,b} \right]\) và \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\) thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất.
Có đúng hai mệnh đề sai.
Cả ba mệnh đề đều đúng.
Cả ba mệnh đề đều sai.
Có đúng một mệnh đề sai.
Chọn D
Khẳng định thứ nhất sai vì thiếu tính liên tục trên đoạn \(\left[ {a;\,b} \right]\).
Cho hàm số y=1−x31−x,khi x<11 ,khi x≥1. Hãy chọn kết luận đúng
\(y\) liên tục phải tại \(x = 1\).
\(y\) liên tục tại \(x = 1\).
\(y\) liên tục trái tại \(x = 1\).
\(y\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Chọn A
Ta có: \(y\left( 1 \right) = 1\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 + x + {x^2}} \right) = 4\)
Nhận thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = y\left( 1 \right)\). Suy ra \(y\) liên tục phải tại \(x = 1\).
Hàm số nào sau đây liên tục tại \(x = 1\):
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\).
\(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
A. \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) suy ra \(f\left( x \right)\) không liên tục tại \(x = 1\).
B. \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}}\)
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x - 1}} = - \infty \] suy ra \(f\left( x \right)\) không liên tục tại \(x = 1\).
C. \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\)
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 3 = f\left( 1 \right)\] suy ra \(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).
D. \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = + \infty \) suy ra \(f\left( x \right)\) không liên tục tại \(x = 1\).
Hàm số nào dưới đây gián đoạn tại điểm \({x_0} = - 1\).
\(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\).
\(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\).
\(y = \frac{x}{{x - 1}}\).
\(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 1}}\).
Ta có \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) không xác định tại \({x_0} = - 1\) nên gián đoạn tại \({x_0} = - 1\).
Hàm số nào sau đây gián đoạn tại \(x = 2\)?
\[y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}\].
\[y = \sin x\].
\[y = {x^4} - 2{x^2} + 1\]
\[y = \tan x\].
Chọn A
Ta có: \(y = \frac{{3x - 4}}{{x - 2}}\) có tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\), do đó gián đoạn tại \(x = 2\).
Hàm số \[y = \frac{x}{{x + 1}}\] gián đoạn tại điểm \[{x_0}\] bằng?
\[{x_0} = 2018\].
\[{x_0} = 1\].
\[{x_0} = 0\]
\[{x_0} = - 1\].
Chọn D
Vì hàm số \[y = \frac{x}{{x + 1}}\] có TXĐ: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\] nên hàm số gián đoạn tại điểm .
Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{x - 3}}\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ne 3\\ - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 3\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại \({x_0} = 3\).
Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại \({x_0} = 3\).
Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại \({x_0} = 3\).
Hàm số liên tục và có đạo hàm tại \({x_0} = 3\).
Chọn D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 4} \right) = - 1 = y\left( 3 \right)\) nên hàm số liên tục tại \({x_0} = 3\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {{x^2} - 7x + 12} \right) - \left( {{3^2} - 7.3 + 12} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {{x^2} - 7x + 12} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 4} \right) = - 1 \Rightarrow y'\left( 3 \right) = - 1\).
Cho hàm số fx=x−2x+2−2 khi x≠24 khi x=2 Chọn mệnh đề đúng?
Hàm số liên tục tại \(x = 2\).
Hàm số gián đoạn tại \(x = 2\).
\(f\left( 4 \right) = 2\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 2\).
Chọn A
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\sqrt {x + 2} - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)}}{{x - 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {\sqrt {x + 2} + 2} \right)\)\( = 4\)
\(f\left( 2 \right) = 4\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\)
Vậy hàm số liên tục tại \(x = 2\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \pi x}&{{\rm{khi}}\,\,\left| x \right| \le 1}\\{x + 1\;}&{{\rm{khi}}\,\;\left| x \right| > 1}\end{array}} \right.\]. Các mệnh đề sau đúng/sai?
a) Hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
b) Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
c) Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
d) Hàm số gián đoạn tại \(x = \pm 1\).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \sin \pi x = 0\)\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right)\) do đó hàm số gián đoạn tại \(x = 1\).
Tương tự: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \sin \pi x = 0\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} f\left( x \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right)\)\( = f\left( { - 1} \right)\) do đó hàm số liên tục tại \(x = - 1\).
Với \(x \ne \pm 1\) thì hàm số liên tục trên tập xác định.
Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Cho các hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}}}&{{\rm{ khi }}x \ne 2}\\{4,5}&{{\rm{ khi }}x = 2}\end{array}} \right.\) và \(g(x) = \frac{2}{{x - 1}}\) . Khi đó:
a) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = 4\)
c) Hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
d) Hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \(g(2) = \frac{2}{{2 - 1}} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{2}{{x - 1}} = 2\); suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = g(2)\).
Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Ta có: \(f(2) = 4,5\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} (x + 2) = 4\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f(x) \ne f(2)\).
Vậy hàm số \(f(x)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Xét được tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó:
a) \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 8x\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
b) \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\) là hàm số liên tục trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\).
c) \(f(x) = \frac{{\sin x + 1}}{{x + 1}}\) là hàm số liên tục trên các khoảng \(( - \infty ;0),(0; + \infty )\).
d) \(f(x) = \sqrt {x - 2} \) là hàm số liên tục trên nửa khoảng \([2; + \infty )\).
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Vì \(f(x) = {x^3} - {x^2} + 8x\) là hàm đa thức nên hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
b) Vì \(f(x) = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 3x}}\) là hàm phân thức có tập xác định \(( - \infty ;0) \cup (0;3) \cup (3; + \infty )\) nên hàm số liên tục trên các khoảng \(( - \infty ;0),(0;3),(3; + \infty )\).
c) Tập xác định của hàm số \(f(x) = \frac{{\sin x + 1}}{{x + 1}}\) là \(( - \infty ; - 1) \cup ( - 1; + \infty )\).
Trên các khoảng đó, hàm lượng giác \(y = \sin x + 1\) (tử thức) và hàm số đa thức \(y = x + 1\) (mẫu thức) đều liên tục.
Do vậy hàm \(f(x)\) liên tục trên các khoảng \(( - \infty ; - 1),( - 1; + \infty )\).
d) Tập xác định của hàm số \(f(x) = \sqrt {x - 2} \) là \([2; + \infty )\).
Với mỗi \({x_0}\) tuỳ ý thuộc \((2; + \infty )\), ta luôn có \(f\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \sqrt {{x_0} - 2} \); vì vậy hàm số liên tục trên khoảng \((2; + \infty )\). (1)
Mặt khác: \(f(2) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x) = 0\) nên \(f(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\); suy ra hàm số liên tục tại điểm \(x = 2\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra hàm số \(f(x)\) liên tục trên nửa khoảng \([2; + \infty )\).
Cho các hàm số sau: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \frac{x}{2}{\rm{ khi }}x \le 1}\\{\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}}{\rm{ khi }}x > 1}\end{array}} \right.\), \(g(x) = {x^2} - 3x + 1\) và \(h(x) = \sin \frac{{\pi x}}{4}\)
a) Hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
b) Hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
c) Hàm số \(h(x)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
d) Hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) không liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
Ta có: \(f(1) = - \frac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - x}}{2} = - \frac{1}{2}\),
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{(x - 1)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \frac{1}{2}{\rm{. }}\)
Vậy \(f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = - \frac{1}{2}\) nên hàm số \(f(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Ta có: \(g(1) = - 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x) = {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1\) nên \(g(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g(x)\).
Vậy hàm số \(g(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Ta có: \(h(2) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h(x) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1\) nên \(h(2) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h(x)\).
Vậy hàm số \(h(x)\) liên tục tại điểm \({x_0} = 2\).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Tìm giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2{\rm{ n\~O u }}x \le 1}\\{mx + 1{\rm{ n\~O u }}x > 1}\end{array}} \right.\) liên tục tại \(x = 1\).
Ta có \(f(1) = 3,\quad \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = m + 1\). Vậy hàm số đã cho liên tục tại \(x = 1\) khi và chỉ khi \(m + 1 = 3\) hay \(m = 2\).
Tìm các khoảng trên đó hàm số \(f(x) = \frac{{\cos x}}{{{x^2} - 1}}\) liên tục.
Tập xác định của hàm số \(f(x)\) là \(( - \infty ; - 1) \cup ( - 1;1) \cup (1; + \infty )\). Trên các khoảng này hàm số \(f(x)\) là thương của hai hàm liên tục, trong đó mẫu thức \({x^2} - 1 \ne 0\). Vậy hàm số đã cho liên tục trên các khoảng \(( - \infty ; - 1),( - 1;1)\), \((1; + \infty )\).
Chứng tỏ rằng phương trình \(2{x^5} + a\left( {{x^2} - 1} \right) + 1 = 0\) luôn có nghiệm với mọi số thực \(a\).
Xét hàm số \(f(x) = 2{x^5} + a\left( {{x^2} - 1} \right) + 1\). Ta có \(f(1) = 3 > 0,f( - 1) = - 1 < 0\).
Do \(f(x)\) là hàm đa thức nên nó liên tục trên \([ - 1;1]\). Do đó, theo tính chất của hàm liên tục, tồn tại ít nhất một điểm \(c \in [ - 1;1]\) sao cho \(f(c) = 0\). Nói cách khác, \(x = c\) là một nghiệm của phương trình đã cho.
Cho hàm số \(g(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) trừ điểm \(x = 0\). Xét tính liên tục của hàm số \(f(x) = \frac{{g(x)}}{x}\) tại \(x = 1\).
Do hàm số \(g(x)\) liên tục tại \(x = 1\) nên hàm số \(f(x) = \frac{{g(x)}}{x}\) cũng liên tục tại \(x = 1\).
Cho hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}3&{{\rm{ n\~O u }}x \le 1}\\{ax + b}&{{\rm{ n\~O u }}1 < x < 2.{\rm{ }}}\\5&{{\rm{ n\~O u }}x \ge 2}\end{array}} \right.\]Xác định\({\rm{ }}a,b{\rm{ }}\)để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Theo cách xác định hàm số \(f(x)\), ta có \(f(1) = 3 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\) và \(f(2) = 5 = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\). Hơn nữa, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x) = a + b,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x) = 2a + b\).
Vậy hàm số \(f(x)\) liên tục tại \(x = 1\) và \(x = 2\) khi và chỉ khi \(a + b = 3,2a + b = 5\).
Từ đó, \(a = 2,b = 1\).
Chứng minh rằng phương trình \[4{x^4} + 2{x^2} - x - 3 = 0\]có ít nhất 2 nghiệm trong khoảng \[\left( { - 1;1} \right)\].
Đặt \[f\left( x \right) = 4{x^4} + 2{x^2} - x - 3\].
+ Hàm số \[f\left( x \right) = 4{x^4} + 2{x^2} - x - 3\] liên tục trên \[\mathbb{R}\] nên liên tục trên \[\left[ { - 1;0} \right]\], \[\left[ {0;1} \right]\].
+ Ta có \[f\left( { - 1} \right) = 4\,\], \[f\left( 0 \right) = - 3\], \[f\left( 1 \right) = 2\]
Vì \[f\left( { - 1} \right).\,f\left( 0 \right) < 0\,\]nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \[\left( { - 1;0} \right)\].
Vì \[f\left( 0 \right).\,f\left( 1 \right) < 0\,\]nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \[\left( {0;1} \right)\].
Mà \[\left( { - 1;0} \right)\]và \[\left( {0;1} \right)\]là hai khoảng phân biệt.
Vậy phương trình \[4{x^4} + 2{x^2} - x - 3 = 0\] có ít nhất hai nghiệm trong khoảng \[\left( { - 1;1} \right)\].
