Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 11)
31 câu hỏi
Trong không gian Oxyz, gọi A' là điểm đối xứng với A (3; 5; −7) qua trục Oz. Hãy tìm tọa độ điểm A'
A'(−3; −5; −7).
A'(3; 5; 7).
A'(0; 0; −7).V
A'(3; 5; 0).
Đáp án đúng là A
Gọi M là hình chiếu của điểm A trên trục Oz
M là hình chiếu của điểm A trên trục Oz nên tọa độ của điểm M (0; 0; −7)
Vì A' đối xứng với A qua Oz nên M là trung điểm của AA'
Do đó ta có:
xM = xA+xA'2=3+xA'2= 0
yM = yA+yA'2=5+yA'2= 0
zM = zA+zA'2=−7+zA'2 = −7
Vậy Điểm A' có tọa độ là A' (−3; −5; −7).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O?
2y + 3z + 1 = 0.
2x + 3z = 0.
2x + 3 = 0.
−2x + y + 1 = 0.
Đáp án đúng là B
Thay điểm O (0; 0; 0) vào phương trình 2y + 3z + 1 = 0, ta được:
2.0 + 3.0 + 1 ≠ 0.
Do đó phương trình mặt phẳng2y + 3z + 1 = 0 không đi qua gốc tọa độ O.
Thay điểm O (0; 0; 0) vào phương trình 2x + 3z = 0, ta được:
2.0 + 3.0 = 0.
Do đó phương trình mặt phẳng2x + 3z = 0đi qua gốc tọa độ O.
Thay điểm O (0; 0; 0) vào phương trình 2x + 3 = 0, ta được:
2.0 + 3 = 3 ≠ 0.
Do đó phương trình mặt phẳng2x + 3 = 0 không đi qua gốc tọa độ O.
Thay điểm O (0; 0; 0) vào phương trình −2x + y + 1 = 0, ta được:
−2.0 +0+ 1 =1 ≠ 0.
Do đó phương trình mặt phẳng−2x + y + 1 = 0 không đi qua gốc tọa độ O.
Vậy chọn đáp án B.
Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
∫3x2dx = 9x3 + C.
∫3x2dx = x3 + C.
∫3x2dx = 32x + C.
∫3x2dx = 6x + C.
Đáp án đúng là B
Ta có công thức tính nguyên hàm là: ∫axndx = a.xn+1n+1 + C
Vậy nên ∫3x2dx = x3 + C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình (x + 2)2 + (y − 1)2 + z2 = 4. Hãy tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu
I (2; −1; 0), R = 4.
I (−2; 1; 0), R = 4.
I (2; −1; 0), R = 2
I (−2; 1; 0), R = 2.
Đáp án đúng là D
Ta có: Phương trình tổng quát của mặt cầu tâm I (a; b; c) có bán kính R là
(x – a )2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Do đó tâm I và bán kính R của mặt cầu (S): (x + 2)2 + (y − 1)2 + z2 = 4 lần lượt là I (−2; 1; 0) và R = 2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình x – 3z + 5 = 0. Hãy tìm tọa độ một vectơ pháp tuyến n→ của (P)
n→= (1; 0; –3).
n→= (1; –3; 5).
n→= (1; –3; 0).
n→= (0; –3; 5).
Đáp án đúng là A
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng có VTPT n→ = (a; b; c) có dạng là ax + by + cz + d = 0.
Do đó tọa độ một vectơ pháp tuyến của (P): x – 3z + 5 = 0 là n→ = (1; 0; –3).
Nếu ∫01fxdx = 4 thì ∫012.fxdx bằng
16
4
8
2
Đáp án đúng là C
∫122f(x)dx = 2.∫12f(x)dx = 2. 4 = 8.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 4 = 0 và (Q): 4x – 2y + 6z – 4 = 0. Hãy tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
(P) // (Q).
(P) ⋂ (Q) = d.
(P) ≡ (Q).
(P) ⊥ (Q).
Đáp án đúng là A
Xét hai mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 4 = 0 và (Q): 4x – 2y + 6z – 4 = 0, ta có :
24=-1-2=36≠44
Do đó (P) và (Q) song song với nhau
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB, biết A (2; –3; 0), B (2; 3; 2)
I (0; 3; 2).
I (–2; 0; –1).
I (2; 0; 1).
I (0; –3; –2).
Đáp án đúng là C
Ta có: xI = xA+xB2=2+22= 2
yI = yA+yB2=−3+32 = 0
zI = zA+zB2=0+22 = 1
Vậy tọa độ trung điểm I là I (2; 0; 1).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A (3; 5; –7) lên trục Oz. Hãy tìm tọa độ của điểm H
H (0; 0; –7).
H (3; 5; 0).
H (0; 0; 7).
H (–3; –5; 0).
Đáp án đúng là A
Vì H là hình chiếu vuông góc của điểm A (3; 5; –7) lên trên trục Oz nên x = 0, y = 0 và z = –7
Vậy tọa độ điểm H là H (0; 0; –7).
Hãy tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 3x + 1sin2x
F(x) = 3xln3+ cotx + C.
F(x) = 3x.ln3 + cotx + C.
F(x) = 3xln3– cotx + C.
F(x) = 3x.ln3 – cotx + C.
Đáp án đúng là A
∫3x+1sin2xdx=∫3xdx+∫1sin2xdx
= 3xln3 + cotx + C.
Họ các nguyên hàm F(x) của hàm số f (x) = 5x – x là
F(x) = 5x.ln2 – x22+ C.
F(x) = 5x – x2+ C.
F(x) = 5xln5– 1+ C.
F(x) = 5xln5-x22+ C.
Đáp án đúng là D
∫5x– xdx=∫5xdx−∫xdx=5xln5−x22+C
Cho hai hàm số f (x) và g (x) liên tục trên đoạn [a; b] và số thực c thỏa mãn a < c < b. Khẳng định nào sau đây là sai?
∫abk.fxdx = k∫abfxdx(k là hằng số khác 0).
∫abfxgxdx = ∫abfxdx .∫abgxdx
∫abfx+gxdx =∫abfxdx +∫abgxdx
∫abfxdx =∫acfxdx +∫cbfxdx
Đáp án đúng là B
Theo tính chất của tích phân:
∫abk.fxdx = k∫abfxdx ( k là hằng số khác 0). Do đó đáp án A đúng.
∫abfx+gxdx =∫abfxdx +∫abgxdx. Do đó đáp án C đúng, B sai.
∫abfxdx =∫acfxdx +∫cbfxdx. Do đó đáp án D đúng.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 3z – 4 = 0. Trong các điểm sau, điểm nào thuộc mặt phẳng (P)?
Q (0; –3; 5).
N (1; –3; 5).
P (1; –3; 0).
M (0; –4; 0).
Đáp án đúng là D
Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:
+ Thay tọa độ điểm Q (0; –3; 5) vào phương trình mặt phẳng ta được:
2x – y + 3z – 4 = 0
2.0 – (–3) + 3.5 – 4 = 0
14 = 0 (vô lý)
Vậy nên điểm Q không thuộc mặt phẳng (P)
+ Thay tọa độ điểm N (1; –3; 5) vào phương trình mặt phẳng ta được
2x – y + 3z – 4 = 0
2.1 – (–3) + 3.5 – 4 = 0
16 = 0 (vô lý)
Vậy nên điểm N không thuộc mặt phẳng (P)
+ Thay tọa độ điểm P (1; –3; 0) vào phương trình mặt phẳng ta được:
2x – y + 3z – 4 = 0
2.1 – (–3) + 3.0 – 4 = 0
1 = 0 (vô lý)
Vậy nên điểm P không thuộc mặt phẳng (P)
+ Thay tọa độ điểm M (0; –4; 0) vào phương trình mặt phẳng ta được:
2x – y + 3z – 4 = 0
2.0 – (–4) + 3.0 – 4 = 0
0 = 0 (đúng)
Vậy nên điểm M thuộc mặt phẳng (P)
Do đó chọn đáp án D, điểm thuộc mặt phẳng (P) là điểm M (0; –4; 0).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ a→ thỏa mãn hệ thức a→ = –2j→ + 3k→. Bộ số nào dưới đây là tọa độ của vectơ a→
(–2; 3; 0).
(0; –2; 3).
(–2; 0; 3).
(0; 3; –2).
Đáp án đúng là B
Trên mỗi trục tọa độ người ta quy ước các vectơ đơn vị i→, j→, k→.Tất cả các vectơ trong không gian đều được biểu diễn qua các vectơ đơn vị.
Vậy nên tọa độ vectơ a→ là (0; –2; 3).
Cho hàm số g (x) xác định trên K và G (x) là một nguyên hàm của g (x) trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?
G (x) = g (x), ∀ x ÎK.
g'(x)= G (x), ∀ x ÎK.
G'(x)= g (x), ∀ x Î K.
G'(x) = g'(x), ∀ x ÎK.
Đáp án đúng là C
Vì G (x) là nguyên hàm của g (x) nên đạo hàm của G(x) sẽ bằng g(x): G'(x) = g (x).
Do đó khẳng định đúng là C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ a→ = (–2; 3; 1). Hãy tính độ dài của vectơ a→
a→=2
a→=2
a→=6
a→=14
Đáp án đúng là D
Độ dài của vectơ a→ là:
a→=−22+32+12=14
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (–1; 2; 1), B (2; 1; 0). Mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là
3x – y – z – 6 = 0.
x + 3y + z – 5 = 0.
3x – y – z + 6 = 0.
x + 3y + z – 6 = 0.
Đáp án đúng là C
Gọi mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng (P).
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng AB nên VTPT của mặt phẳng (P) là AB→ = (3; –1; –1).
Do đó phương trình mặt phẳng (P) có dạng là 3x – y – z + d = 0 (1)
Vì mặt phẳng (P) đi qua điểm A (–1; 2; 1) nên thay tọa độ điểm A vào (1) ta được:
3.(–1) – 2 – 1 + d = 0 => d = 6
Vậy mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là:
3x – y – z + 6 = 0.
Cho ∫05fxdx = –2. Tích phân ∫054fx−2xdx bằng
-33
33
6
-10
Đáp án đúng là A
Ta có: ∫054fx−2xdx=4.∫05fxdx−∫052xdx
= 4. (–2) – 25 = –33.
Nếu các số hữu tỉ a, b thỏa mãn ∫01aex+bdx = e + 2 thì giá trị của biểu thức a + b bằng
6
3
5
4
Đáp án đúng là D
Ta có: ∫01aex+bdx =∫01aexdx +∫01bdx
= a.ex01+b.x01= ae – a + b.
Theo giả thiết thì: ∫01aex+bdx = e + 2.
Khi đó ∫01aex+bdx = ae – a + b = e + 2.
Do đó a = 1, b = 3.
Vậy a + b = 1 + 3 = 4.
Hãy tìm họ nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = e5x + 3 + (2x + 1)2022
F (x) = 15e5x + 3 + 2x + 120232023+ C.
F (x) = e5x + 3 +12.2x + 120232023+ C.
F (x) = e5x + 3 +2x + 120232023+ C.
F (x) = 15e5x + 3 + 12.2x + 120232023+ C.
Đáp án đúng là D
Ta có công thức: ∫eax+bdx=1a.eax+b+C∫ax+bndx=1a.(n+1).ax+bn+1+C
Do đó:
∫e5x + 3+ 2x + 12022 dx=∫e5x+3dx+∫2x+12022dx=15e5x + 3+12.2x + 120232023+C
Trong không gian Oxyz, cho A (0; –1; 1), B (–2; 1; –1), C (–1; 3; 2). Biết rằng ABCD là hình bình hành, khi đó tọa độ điểm D là
D (1; 1; 4).
D (1; 3; 4).
D−1;1;23.
D (–1; –3; –2).
Đáp án đúng là A
Vì ABCD là hình bình hành nên:
xD = 2.xA+xC−xB2 =2.0−1+22. Do đóxD = 1.
yD = 2.yA+yC−yB2 = 2.−1+3−12 . Do đó yD= 1.
zD = 2. zA+zC−zB2= 2.1+2+12 . Do đó zD = 4.
Vậy tọa độ điểm D là D (1; 1; 4).
Cho biết ∫1e1+xx2dx = a + be, với a, b Î ℝ. Giá trị a.b bằng
1
-1
-2
2
Đáp án đúng là C
∫1e1+xx2dx=∫1e1x2dx+∫1e1xdx=−1x1e+lnx1e
= –1e+ 1 + 1 = 2 –1e.
Do đó a = 2, b = –1.
Vậy a.b = 2. (–1) = –2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số F (x) = m2x3 + (3m + 2) x2 – 4x + 3 là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3x2 + 10x – 4.
m = 2.
m = 1.
m = ±1.
m = ±2.
Đáp án đúng là B
Ta có ∫3x2+10x– 4dx = x3 + 5x2 – 4 + C.
Vì F (x) = m2x3 + (3m + 2) x2 – 4x +3 là một nguyên hàm của f (x) nên:
x3 + 5x2 – 4 + C = m2x3 + (3m + 2) x2 – 4x +3
Do đóm2 = 1 và 3m + 2 = 5.
Giải hệ phương trình m2=13m+2=5 ta tìm được m = 1 thỏa mãn yêu cầu đầu bài.
Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I (–1; 2; –3) và đi qua điểm A (2; 0; 0) có phương trình là
(x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 11.
(x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 22.
(x – 1)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 22.
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 2.
Đáp án đúng là B
Mặt cầu có tâm I (–1; 2; –3) nên phương trình mặt cầu có dạng là:
(x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = R2 (1)
Vì mặt cầu đi qua điểm A (2; 0; 0) nên thay tọa độ điểm A vào (1) ta được:
(2 + 1)2 + (0 – 2)2 + (0 + 3)2 = R2 => R2 = 22
Vậy phương trình mặt cầu là: (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 22.
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm A (2; –1; 2) và song song với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 2 = 0 có phương trình là
2x – y + 3z – 9 = 0.
2x – y + 3z + 11 = 0.
2x – y + 3z – 11 = 0.
2x – y – 3z + 11 = 0.
Đáp án đúng là C
Phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (P) nên có dạng:
2x – y + 3z + d = 0 (1)
Mặt phẳng đó đi qua điểm A(2; –1; 2) nên thay tọa độ điểm A vào (1) ta được:
2.2 – (–1) + 3.2 + d = 0 => d = –11
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x – y + 3z – 11 = 0.
Hãy tìm một nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 1cos2x, biết Fπ4= 3.
F (x) = tanx + C.
F (x) = tanx + 2.
F (x) = tanx + 4.
F (x) = tanx + 3.
Đáp án đúng là B
Ta có: F(x) =∫1cos2xdx = tanx + C
Theo đầu bài thì Fπ4 = 3 do đó
tan π4 + C = 3 => C = 2
Vậy F(x) = tanx + 2.
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ A (2; 0; 1) đến mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 6 = 0 bằng
83
23
89
29
Đáp án đúng là A
Ta có công thức tính khoảng cách từ một điểm M (x0; y0; z0) đến một mặt phẳng ax + by + cz + d = 0 là: ax0+by0+cz0+da2+b2+c2.
Áp dụng công thức trên ta tính được khoảng cách từ A (2; 0; 1) đến mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 6 = 0 là:
d(A, (P)) = 2.2+0.1+1.(−2)+622+12+(−2)2=83
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M (3; 2; 8), N (0; 1; 3) và P (2; m; 4). Tìm giá trị m sao cho tam giác MPN vuông tại N
m = 4.
m = –1.
m = 25.
m = –10.
Đáp án đúng là D
Ta có: NP→ = (2; m – 1; 1), MN→= (–3; –1; –5)
Vì tam giác MNP vuông tại N nên MN→.NP→ = 0
2. (–3) + (m – 1). (–1) + 1. (–5) = 0
–m – 10 = 0
m = – 10.
Tính I = ∫0π2xsinxdx.
Đặt u = x => du = dx
dv = sinxdx => v = – cosx + C
Chọn C = 0 => v = – cosx
=> I = ∫0π2xsinxdx =−x.cosx0π2 + ∫0π2cosxdx
= – π2.cosπ2 +0. cos (0) + sinx0π2
= sinπ2 – sin (0)= 1.
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A (1; 2; 0), B (2; 3; 1) và song song với Oz.
Ta có: AB→ = (1; 1; 1), uOz→= (0; 0; 1).
Vì phương trình mặt phẳng song song với trục Oz và đi qua hai điểm A, B nên VTPT của mặt phẳng đó là: n→ = AB→,uOz→ = (1.1–1.0; 1.0 –1.1; 1.0 –1.0).
Suy ra n→= (1; –1; 0).
Do đó phương trình mặt phẳng đó có dạng là: x – y + d = 0 (1)
Vì mặt phẳng đi qua điểm B (2; 3; 1) nên thay tọa độ điểm B vào (1) ta được:
2 – 3 + d = 0 => d = 1.
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: x – y + 1 = 0.
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 3] thỏa ∫03fxdx= 10 và f(3) = 3. Tính ∫09f'xdx.
Đặt x = t (t > 0) => x = t2 => dx = 2tdt
Đổi cận:
![Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 3] thỏa tích phân từ 0 đến 3 f(x)dx= 10 và f(3) = 3. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/07/blobid0-1658212165.png)
∫09f'xdx = 2.∫03f't.tdt = 2.∫03f'x.xdx
Đặt u = x => du = dx
dv = f '(x) dx => v = f (x) + C
Chọn C = 0 => v = f (x)
⇒∫03f'x.xdx=x.fx03−∫03fxdx
= 3. f (3) – 0. f (0) – 10
= 3.3 – 10 = – 1
Do đó ∫09f'xdx = 2.∫03f'x.xdx = 2. (–1) = – 2.
Vậy ∫09f'xdx= – 2.
