Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) (Đề 10)
50 câu hỏi
Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = x2 + 3 và y = 4x. Xác định mệnh đề đúng:
S = ∫13x2+4x+3dx
S = ∫13−x2−4x+3dx
S = ∫13x2−4x+3dx
S = ∫13x2+3−4xdx
Đáp án đúng là: B
Phương trình trục hoành :
x2 + 3 = 4x
Û x2 + 3 – 4x = 0
Û x=3x=1
Do đó diện tích của hình phẳng là: S = ∫13x2−4x+3dx
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; −1) và B(2; 3; 2). Vectơ AB→ có tọa độ là:
(−1; −2; 3)
(1; 2; 3)
(3; 5; 1)
(3; 4; 1)
Đáp án đúng là: B
Ta có AB→ = (2 – 1; 3 – 1; 2 + 1) = (1; 2; 3).
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng đi qua A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) có phương trình là:
x1+y2+z3=0
x1+y2+z3=−1
x1+y2+z3=1
x1+y2+z3=6
Đáp án đúng là: C
Mặt phẳng đi qua A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3) có phương trình là: x1+y2+z3=1
Mặt phẳng x + 2y – 3z = 0 không đi qua điểm nào dưới đây?
M(1; 1; 1)
Q(2; −1; 0)
P(−1; 2; 1)
N(1; 2; 3)
Đáp án đúng là: D
Thay các điểm và mặt phẳng sao cho mặt phẳng có giá trị khác 0 thì sẽ không đi qua mặt phẳng
Thay điểm N(1; 2; 3) vào mặt phẳng : 1 + 2.2 – 3.3 = – 4 ≠ 0.
Vậy N(1; 2; 3) không thuộc mặt phẳng x + 2y – 3z = 0.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −4; 3) và B(2; 2; 7). Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:
(4; −2; 10)
(2; 6; 4)
(2; −1; 5)
(1; 3; 2)
Đáp án đúng là: C
Trung điểm của đoạn thẳng AB là :
x=2+22y=−4+22z=3+72⇔x=2y=−1z=5
Vậy trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ là (2; −1; 5).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 0, x = 1, đồ thị hàm sốy = x và trục Ox là:
S = 14
S = 2
S = 1
S = 12
Đáp án đúng là: D
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng x = 0, x = 1, đồ thị hàm số y = x và trục Ox là:
∫01xdx=x2201=12
Cho f(x) là hàm số liên tục trên [a; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x). Khẳng định nào sau đây đúng?
∫abf(x)dx= f(b) – f(a)
∫abf(x)dx= −F(b) – F(a)
∫abf(x)dx= F(a) – F(b)
∫abf(x)dx= F(b) – F(a)
Đáp án đúng là: D
Ta có ∫abf(x)dx = F(x)ab = F(b) – F(a).
Cho ∫13f(x)dx = 2, giá trị của ∫01f(2x+1)dx bằng
1
4
2
3
Đáp án đúng là: A
Đặt u = 2x + 1 Û du = 2dx Þ dx = 12du
Đổi cận:
x | 1 | 0 |
u | 3 | 1 |
Ta có: ∫13f(u)12du=12∫13f(u)du=12∫13f(x)dx=12.2=1
Cho ∫2x+1x−2dx = ax + blnx−2 với a, b Î ℚ, giá trị của S = a + b là
S = 4
S = 7
S = 1
S = 2
Đáp án đúng là: B
∫2x+1x−2dx=∫2+5x−2dx
= 2x + 5lnx−2 + C.
Do đó a = 2, b = 5.
Vậy S = a + b = 2 + 5 = 7.
Khẳng định nào sau đây sai?
∫lnxdx=1x+C
∫exdx= ex + C
∫xdx=x22+C
∫1xdx=lnx+C
Đáp án đúng là: A
Ta có: ∫1xdx=lnx + C nên đáp án A sai.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 2; 1). Tính độ dài đoạn thẳng OA?
OA = 4
OA = 9
OA = 5
OA = 3
Đáp án đúng là: D
Ta có : A(2; 2; 1) và O(0; 0; 0).
Nên OA = 22+22+1 = 3.
Giá trị của I = ∫12xdx là:
1
−1
32
23
Đáp án đúng là: C
Ta có ∫12xdx=x2212==222−122=32
Điều kiện của m để phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z + m = 0 là phương trình một mặt cầu là:
m < 6
m ≥ 6
m > 6
m ≤ 6
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình:x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 4z + m = 0.
Điều kiện để phương trình là một mặt cầu:
Phương trình được viết thành: (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z + 2)2 = 6 – m
R > 0 Û 6 – m > 0 Û m < 6
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng 2x – y + 2z + 1 = 0 và 2x – y + 2z – 1 = 0 là
0
32
1
23
Đáp án đúng là: D
Gọi (P): 2x – y + 2z + 1= 0
(Q) : 2x – y + 2z – 1= 0
Lấy điểm M (−2; −1; 1)
d((P);(Q)) = d(M;(Q)) = 2.(−2)+2.(−1)+4.1−122+1+22=23
Diện tích của hình phẳng (H) được giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) (phần tô đậm trong hình vẽ) được tính theo công thức:
S=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
S =∫abf(x)dx
S=∫abf(x)dx
S=−∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
Đáp án đúng là: D
Từ đồthị hàm số, ta thấy:
Từ x Î [a; c] nằm dưới trục hoành.
Từ x Î [c; b] nằm trên trục hoành.
Áp dụng công thức diện tích hình phẳng ta có:
S=∫abf(x)dx=∫ac0−f(x)dx+∫cbf(x)−0dx=−∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx
Cho ∫12f(x)dx = 3, giá trị của ∫122x+f(x)dx là:
3
6
5
4
Đáp án đúng là: B
∫122x+f(x)dx=∫122xdx+∫12f(x)dx=x212+3=6
Cho ∫12f(x)dx= 4 và ∫−12f(x)dx= 5, giá trị của ∫−11f(x)dx là
9
1
6
5
Đáp án đúng là: B
∫−11f(x)dx=∫21f(x)dx+∫−12f(x)dx=−4 + 5 = 1
Trong không gian Oxyz, hình chiếu vuông góc của điểm M(3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là
(3; −1; 0)
(0; −1; 0)
(0; 0; 1)
(3; 0; 0)
Đáp án đúng là: C
Hình chiếu vuông góc của điểm M(3; −1; 1) trên trục Oz có tọa độ là (0; 0; 1).
Khẳng định nào sau đây đúng?
∫sinxdx= cosx + C
∫sinxdx= sinx + C
∫cosdx= sinx + C
∫cosdx= −sinx + C
Đáp án đúng là: C
Ta có ∫cosxdx= sinx + C.
Do đó chọn đáp án C.
Nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x là:
F(x) = 2xln2+ C
F(x) = 2x – 1 + C
F(x) = −2x + C
F(x) = 2x + C
Đáp án đúng là: A
Ta có ∫2xdx=2xln2+C
Cho hai hàm số f(x) và g(x) xác định và liên tục trên R. Tìm khẳng định sai?
∫f(x).g(x)dx=∫f(x)dx.∫g(x)dx
∫k.f(x)dx=k∫f(x)dx
∫f'(x)dx= f(x) + C
∫f(x)+g(x)dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
Đáp án đúng là: A
Đáp án A sai do không có công thức ∫f(x).g(x)dx=∫f(x)dx.∫g(x)dx
Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua hai điểm A(1; 1; 2); B(2; 1; −1) và vuông góc với mặt phẳng (α) : 2x – 2y + z – 1 = 0 có phương trình là:
6x + 7y – 2z + 17 = 0
6x – 7y + 2z + 17 = 0
6x + 7y + 2z – 17 = 0
6x + 7y + 2z + 17 = 0
Đáp án đúng là: C
Gọi u→ là AB→ có tọa độ (1; 0; −3).
Gọi v→ là vectơ pháp tuyến của (α) là: v→ = (2; −2; 1).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là u→.v→ = (−6; −7; −2) = (6; 7; 2).
Phương trình mặt phẳng đi qua A(1; 1; 2) có vectơ pháp tuyến là (6; 7; 2) là:
6(x −1) + 7(y – 1) + 2(z – 2) = 0
Û 6x + 7y + 2z – 6 – 7 – 4 = 0
Û 6x + 7y + 2z − 17 = 0.
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 4. Tâm và bán kính của mặt cầu đã cho là:
I(−1; −2; −3) và R = 2
I(1; 2; 3) và R = 4
I(−1; −2; −3) và R = 16
I(1; 2; 3) và R = 2
Đáp án đúng là: D
Mặt cầu (S) : (x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 4 có tâm I(1; 2; 3) và R = 4 = 2
Mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 2 có phương trình là:
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 4
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z – 3)2 = 2
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 2
(x + 1)2 + (y + 2)2 + (z + 3)2 = 4
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 2 có phương trình là:
(x – 1)2 + (y – 2)2 + (z + 3)2 = 4.
Cho hàm số f(x) liên tục tren R. Gọi V là thể tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = −1 và x = 4 (như hình vẽ bên) khi quay quanh trục Ox. Mệnh đề nào sau đây sai?
V = π∫−11f2(x)dx−∫14f2(x)dx
V = ∫−14πf2(x)dx
V = π∫−14f2(x)dx
V = π∫−11f2(x)dx+∫14f2(x)dx
Đáp án đúng là: A
Ta có: hàm số f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [−1; 1]; f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [1; 4], nên ta có:
V=π∫−14f2(x)dx=π∫14f2(x)dx+∫−11f2(x)dx
Vậy thể tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = −1 và x = 4 là:
V=π∫14f2(x)dx+∫−11f2(x)dx
Nguyên hàm của hàm số f(x) = sin2x là:
F(x) = sin2x + C
F(x) = sin2x2+C
F(x) = −cos2x + C
F(x) = −cos2x2+C
Đáp án đúng là: D
Ta có ∫sin2xdx=−cos2x2+C
Chọn khẳng định đúng?
∫abf'(x)dx= f(a) – f(b).
∫abf'(x)dx= f(a)− f(b).
∫abf'(x)dx= f(b) – f(a).
∫abf'(x)dx= f(b) – f(a).
Đáp án đúng là: D
Do f'(x) có nguyên hàm là f(x) nên ∫f'(x)dx = f(x) + C.
Từ đó ta có: ∫abf'(x)dx = f(b) – f(a).
Tính tích phân ∫01x(x2+3)dx bằng cách đặt ẩn phụ t = x2 + 3 thì tích phân trở thành:
∫01tdt2
∫34tdt2
∫34tdt
−∫01tdt
Đáp án đúng là: B
Đặt t = x2 + 3 Û dt = 2xdx Þ xdx = 12dt
Đổi cận :
x | 1 | 0 |
t | 4 | 3 |
Do đó: ∫01x(x2+3)dx=∫3412tdt
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1; 2; −3) và song song với mặt phẳng 2x – y + 3z + 2022 = 0 là:
2x – y + 3z – 4 =0
2x – y + 3z + 4 = 0
2x – y + 3z + 9 = 0
x – 2y – 4 = 0
Đáp án đúng là: C
Gọi phương trình cần tìm là (P).
Gọi (Q) là mặt phẳng 2x – y + 3z + 2022.
Do (P) và (Q) song song nên vectơ pháp tuyến của (Q) cũng là vectơ pháp tuyến của (P)
Phương trình (P) đi qua A(1; 2; −3) và có vectơ pháp tuyến (2; −1; 3) là:
2(x – 1) −1(y – 2) + 3(z + 3) = 0
Û 2x – y + 3z – 2 + 2 + 9 = 0
Û 2x – y + 3z + 9 = 0.
Khoảng cách từ điểm A(1; 1; 3) đến x – 2y + 2z – 1 = 0 là:
53
0
43
1
Đáp án đúng là: C
Gọi mặt phẳng(P) có phương trình: 2x – y + 3z + 2022 = 0.
Khi đó, khoảng cách từ điểm A(1; 1; 3) đến x – 2y + 2z – 1 = 0 là:
d(A;(P)) = 1.1−2.1+2.3−11+22+22=43.
Tìm họ nguyên hàm F(x) = ∫x2dx
F(x) = x33+ C
F(x) = 2x + C
F(x) = −x33+ C
F(x) = x2 + C
Đáp án đúng là: A
Ta có ∫x2dx=x33+C
Trong không gian Oxyz, cho u→=i→-2j→+3k→. Vectơ u→ có tọa độ:
(−1; −2; 3)
(3; −2; 1)
(−2; 3; 1)
(1; −2; 3)
Đáp án đúng là: D
Ta có: u→=i→-2j→+3k→
Khi đó, vectơ u→ có tọa độ là (1; −2; 3).
Mặt phẳng đi qua M(1; 2; 3) và nhận n→ = (2; −1; 1) làm vectơ pháp tuyến là:
2x – y + z + 3 = 0
2x –y + z – 3 = 0
2x + y + z + 3 = 0
2x – y – z – 3 = 0
Đáp án đúng là: B
Mặt phẳng đi qua M(1; 2; 3) và nhận n→= (2; −1; 1) làm vectơ pháp tuyến là:
2(x – 1) – 1(y – 2) + 1(z – 3) = 0
Û 2x – y + z – 2 + 2 – 3 = 0
Vậy mặt phẳng2x – y + z – 3 = 0 đi qua M(1; 2; 3) và nhận n→= (2; −1; 1) làm vectơ pháp tuyến.
Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = ex , chọn mệnh đề đúng:
F(x) = −ex + C
F(x) = ex + C
F(x) = exx+ C
F(x) = ex2+ C
Đáp án đúng là: B
Ta có ∫exdx = ex + C.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thằng x = a, x = b được tính theo công thức:
S = ∫abf(x)dx
S = ∫abf(x)dx
S = ∫abf(x)dx
S = ∫abf(x)dx
Đáp án đúng là: A
Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục hoành và hai đường thằng x = a, x = b có công thức tính là: S = ∫abf(x)dx .
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
∫−12(2x−2)dx
∫−12(−2x+2)dx
∫−12(−2x2+2x+4)dx
∫−12(2x2−2x−4)dx
Đáp án đúng là: C
Phương trình trục hoành là:
x2 – 2x −1 = −x2 + 3
Û −x2 + 3 – x2 + 2x + 1 = 0
Û −2x2 + 2x + 4 = 0
Û x=2x=−1
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x2 – 2x – 1 và y = −x2 + 3 là:
S = ∫−12−2x2+2x+4dx
Cho hình phẳng (α) : 2x – 3y – 4z + 1 = 0. Khi đó, một vectơ pháp tuyến của (α)
n→= (2; −3; −4)
n→= (−2; 3; 1)
n→= (2; 3; −4)
n→= (2; −3; 4)
Đáp án đúng là: A
Hình phẳng (α) : 2x – 3x – 4z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là: n→ = (2; −3; −4).
Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và x = a, x = b là:
V = ∫abf(x)dx
V = π∫abf(x)dx
V = π∫abf(x)dx
V = π∫abf2(x)dx
Đáp án đúng là: D
Vì V là thể tích vật thể tròn xoay nhận được khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và x = a, x = b là:
V = π∫abf2(x)dx
Tích phân I = ∫022xdx. Khẳng định nào sau đây đúng?
I = ∫022xdx=4x202
I = ∫022xdx=x220
I = ∫022xdx=202
I = ∫022xdx=x202
Đáp án đúng là: D
Ta có ∫022xdx=x202
Do đó khẳng định D đúng.
Cho đường thẳng y = 34x và parabol y = 12x2 + a, (a là tham số thực dương). Gọi S1, S2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1 = S2 thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
0;316
316;732
14;932
732;14
Đáp án đúng là: B
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là
34x = 12x2 + a Û 2x2 – 3x + 4a = 0 (*)
Ta có: (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương nên phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt nên:
Δ>0S>0P>0 Û 9a−32a>02a>0
Û 0 < a < 932.
Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 12x2 − 34x + a.
Khi đó:
S1 = ∫0x112x2−34x+adx
= 16x3−38x2+ax0x1 = F(x1).
S2 = ∫x1x2−12x2+34x−adx
= −F(x)x1x2 = −F(x2) + F(x1).
Ta có: S1 = S2 Û F(x2) = 0
Û 16x23-38x22 + ax2 = 0
Û 4x22 − 9x2 + 24a = 0
Do x2 là nghiệm của phương trình (*) nên ta có hệ phương trình:
2x22−3x2+4a=04x22−9x2+24a=0⇔2x22−3x2+4a=016a−3x2=0⇔2.2569a2−16a+4a=0x2=16a3⇒5129a2−12a=0⇔a=0a=27128
Đối chiếu điều kiện của a nên ta có a=27128∈316;712
Cho f(x) là hàm số liên tục trên ℝ thỏa mãn f(1) = 1 và ∫01f(t)dt=13, tính I=∫0π2sin2x . f'(sinx) dx.
I = 23
I = 13
I = 43
I = -23
Đáp án đúng là: C
Đặt t = sinx Û dt = cosxdx
Đổi cận :
Khi đó: I = ∫0π2sin2xdx. f'(sinx)dx
=∫0π22sinx.cosx . f'(sinx)dx=2.∫01t.f'(t)dt
Đặt u=tdv=f'(t)dt⇔du=dtv=f(t)
Do đó: I=2-t.f(t)01−∫01f(t)dt=21−13=43
Một cốc thủy tinh có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc là một đường Parabol. Tính thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được:
V » 251,33 cm3
V » 502,65 cm3
V » 100,53 cm3
V » 320 cm3
Đáp án đúng là: A
Parabol có dạng y = ax2 (P)
(P) đi qua A (−4; 10), ta có:
10 = a. 42 Û a =1016 hay a =58
Nên y = 58x2 hay x2 = 85y
Thể tích khi quay (P) quanh Oy là:
V = π∫01085ydy = 80π » 251,2 (cm3).
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và ∫0π2f(sinx)dx = 5. Tính I=∫0πxf(sinx)dx
I = 10π
I = 52π
5π
5
Đáp án đúng là: C
Với I1 = ∫0π2f(sinx)dx.
Đặt x = π2− t Û dx = −dt
Đổi cận :
![Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và tích phân từ 0 đến pi/2 f(sinx)dx = 5. Tính (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2022/07/blobid3-1658160077.png)
Do đó: I1 = ∫π20fsinπ2−tdt = ∫0π2fcostdt.
Từ đó suy ra được: f(sinx) = f(cosx)
∫0πx.f(sinx)dx = ∫0π2x.f(sinx)dx+∫π2πx.f(sinx)dx
Đổi biến u = π2 − x
Nên I2 = ∫0π2π2−u.f(cosu)du = ∫0π2π2−x.f(sinx)dx.
Do đó: 2I2 = ∫0π2π2.f(sinx)dx Þ I2 = π4.∫0π2f(sinx)dx.
Với ∫0π2f(sinx)dx=5
Đặt t = π – x.
Suy ra I1 = ∫π2πf(sin(π−t))dt = ∫π2πf(−sint)dt.
Đổi biến: v = 3π2− t
Suy ra I1 = ∫π2πf−sin3π2−vdv = ∫π2πf(cosv)dv
Trên π2;π thì sinx = −cosx, ta có:
I3 = ∫π2πx.f(sinx)dx.
Đổi biến : u = 3π2− x,ta được:
I3 = ∫π2π3π2−u.fsin3π2−udu
= ∫π2π3π2−u.f(−cosu)du
Từ đó, ta có:2I3 = ∫π2π3π2.f(−sinx)dx
Þ I3 = ∫π2π3π4.f(−sinx)dx
Þ I = I2 + I3 = π.∫ππ2f(x)dx = 5π.
Vậy I = ∫0πxf(sinx)dx = 5π.
Phương trình x2 + y2 + z2 + 2x – 2z + m – 5 = 0 là phương trình một mặt cầu, khi đó diện tích xung quanh của khối cầu đó là:
S = 4π(7 – m)
S = π(7 – m)
S = 16π(m – 7)
S = 4π(m – 7)
Đáp án đúng là: A
Ta có: x2 + y2 + z2 + 2x – 2z + m – 5 = 0
Û(x + 1)2 – 1 + y2 + (z − 1)2 – 1 + m – 5 = 0
Û (x + 1)2 + y2 + (z – 1)2 = 7 – m
Suy ra R2 = 7 – m.
Do đó Sxq = 4πR2 = 4π.(7 – m).
Biết ∫(x+3).e−2xdx=−1me−2x(2x+n)+C, với m, n Î ℚ. Khi đó tổng S = m2 + n2 có giá trị bằng
10
65
41
5
Đáp án đúng là: B
Đặt: u=x+3dv=e−2xdx⇔du=dxv=−12e−2x
Do đó: ∫(x+3).e−2xdx=−12e−2x(x+3)+12∫e−2xdx
=−12.e−2x(x+3)−14e−2x+C=−14e−2x.(2x+6+1)+C=−14e−2x(2x+7)+C
Do đó m = 4, n = 7.
Vậy S = m2 + n2 = 42 + 72 = 65.
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1); B(2; −1; 3) và điểm M(a; b; 0) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất. Giá trị của a + b là:
-2
2
1
3
Đáp án đúng là: B
Ta có: MA2 + MB2 = (a – 1)2 + (b – 2)2 + 12 +(a – 2)2 + (b + 1)2 + 32
= 2a2 + 2b2 – 6a – 2b + 10 = 2(a2 + b2 – 3a – b + 5)
= 2a−322+b−122+52 ≥ 52
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : a = 32, b = 12.
Vậy a + b = 32+12 = 2.
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0 và mặt cầu (S) có tâm I(0; −2; 1). Biết mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có diện tích 2π. Mặt cầu (S) có phương trình là
x2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 3
x2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 1
x2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 3
x2 + (y + 2)2 + (z + 1)2 = 2
Đáp án đúng là: C
Gọi R, r lần lượt là bán kính của mặt cầu và đường tròn giao tuyến.
Theo giả thiết ta có: πr2 = 2π Û r2 = 2 Û r = 2.
Khi đó: d(I,(P)) = 0+2.(−2)−2.1+312+22+22 = 1.
Mặt khác: d(I; (P)) = 1
Suy ra R2 = r2 + dI,(P)2 = 22+12 = 3.
Vậy phương trình mặt cầu là: x2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 3.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (3; 2; 1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (P) .
4x – 2y + z − 10 = 0
3x + 2y + z + 10 = 0
2x – 2y + z + 9 = 0
x – 2y + z − 10 = 0
Đáp án đúng là: D
Gọi A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng: xa+yb+zc=1 (với a, b, c ≠0)
Vì (P) qua M nên : 3a+2b+1c=1 (1)
Ta có: MA→ = (a – 3, – 2, – 1); MB→ = (−3, b – 2, −1);
BC→ = (0; −b; c); AC→= (−a; 0; c).
Vì M là trực tâm tam giác ABC nên :
MA→.BC→=0MB→.AC→=0 Þ 2b=c3a=c (2)
Từ (1) và (2) ta được: a = 143; b = 142; c = 14.
Khi đó phương trình (P): 3x + 2y + z – 14 = 0 có vectơ pháp tuyến là u→ = (3; 2; 1).
Gọi (Q) là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (P).
Mặt phẳng (P) ^ (Q) nên n(P)→^ n(Q)→ .
Lấy đáp án D có n(Q)→ = (1; −2; 1).
Suy ra n(P)→.n(Q)→ = (1; −2; 1) . (3; 2; 1) = 3 – 4 + 1 = 0.
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) có dạng x – 2y + z – 10 = 0.
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0; +∞) và ∫03fx+1dx = 8. Tính tích phân I = ∫12xf(x)dx
I = 8
I = 2
I = 16
I = 4
Đáp án đúng là: D
Ta có ∫03fx+1dx=8
Đặt u = x+1 Û u2 = x + 1 Û 2udu = dx.
Đổi cận
Do đó ta được: ∫12f(u)2udu=8
Û 2∫12f(u)udu=8 Þ ∫12uf(u)du=4
Do đó ∫12xf(x)dx=4.
Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (x) < 0, ∀ x > 0 và có đạo hàm f '(x) liên tục trên khoảng (0; +∞) thỏa mãn f '(x) = (2x +1)f2(x), ∀ x >0 và f(1) = −12. Giá trị của biểu thức f(1) + f(2) + ... + f(2022) bằng
−20222021
−20222023
−20192020
−20212022
Đáp án đúng là: B
Ta có: f '(x) = (2x + 1).f2(x) nên f'(x)f2(x)=2x+1
Û −1f(x)'=2x+1
Û −1f(x)=∫(2x+1)dx
Û −1f(x) = x2 + x + C
Cho x = 1, ta có:
−1f(1)=12+1+C
Û −1f(1) = 2 + C
Û 2 = 2 + C Û C = 0.
Do đó: −1f(x) = x2 + x
Û f(x) = −1x2+x
Û f(x) = −1x(x+1)=1x+1−1x.
Từ đó ta có:
f(1) = 11+1−11= 12−1;
f(2) = 13−12.
Tương tự như vậy:
f(2022) = 12023−12022
Vậy f(1) + f(2) + ... + f(2022) = 12023−11= −20222023.
